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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：22050
類 科： 統計
科 目： 迴歸分析
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
若無特別標示，本試題採用顯著水準為 0.1 及90%信心水準為原則。
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第
一
頁
附表：F分佈 α=0.1 臨界值 Fdf1,df2,0.1
df1df2 15 16 17 18 19 20
1 3.073 3.048 3.026 3.007 2.990 2.975
2 2.695 2.668 2.645 2.624 2.606 2.589
3 2.490 2.462 2.437 2.416 2.397 2.380
4 2.361 2.333 2.308 2.286 2.266 2.249
一、若考慮配適一簡單線性迴歸模型 y=α+βx+ε，其中 α、β為參數，ε為隨機誤差，且
假設其為具均數 0，標準差σ之常態分配。今於配適模型後，繪出殘差對自變數 x
的分析圖。請分別針對圖(a)-(c)的結果，說明迴歸模型是否恰當？若模型不恰當時，
請指出對於參數估計值是否會有偏差（bias）之影響，對於有關參數的假設檢定是
否正確，另外也請提出修正的方法。（18 分）
二、根據下列 3變數，6個觀察值的資料
Y 1 0 1 1 0 0
X1 1 -2 1 0 0 0
X2 0 1 2 2 1 0
令Y、X1、X2 分表各變數觀察值所形成的向量，另定義 X0 為長度等於 6且元素
均等於 1的向量。在以向量表示法的迴歸模型 M：Y=β0X0 + β1X1+β2X2 + ε中，
如何將 β0X0 + β1X1 + β2X2 更精簡的以矩陣與參數向量表示？另外，在一般情形
下，此時 ε之機率分佈為何？（4分）
計算迴歸模型 M中之參數向量的最小平方估計量及估計其變異數共變異數矩陣
（variance-covariance matrix）。（8分）
令Y
ˆ為長度等於 6的向量，其元素為迴歸模型 M對Y的配適值（fitted values），
則存在一矩陣 H使得Y
ˆ=HY，計算此矩陣 H。（4分）
計算迴歸模型 M中的變異數膨脹因子（variance inflation factor, vif）vif(X1)與
vif(X2)。（4分）
（請接第二頁）
20 40 60 80 100 120
-20 0 20 40
(a)
x
Residual
20 40 60 80 100 120
-2 -1 0 1 2 3
(b)
x
Residual
20 40 60 80 100 120
-200 -100 0 50 100
(c)
x
Residual
(a) (b) (c)
x x x
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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：22050
類 科： 統計
科 目： 迴歸分析
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第
二
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三、三高（高血壓、高血糖、高血脂）與許多重大慢性病皆有重要關係。為了解個人體
質、生活習慣等對於三高的影響因子，並對社會大眾提出建議與注意事項。因此，
研究人員由臺灣數個醫學中心，採用隨機抽樣法蒐集了 10000 個就診慢性病者的資
料進行調查分析。該資料測量每個人的血壓（以收縮壓為例，單位為 mmHg）及其
他相關變數如下：
性別（男性為1，女性為 0），年齡（25-85 歲），身體質量指數 BMI（定義為身高/體重2，
單位為 m/kg2），量血壓習慣（有量血壓習慣者為 1，反之為 0），量血糖習慣（有
量血糖習慣者為 1，反之為 0），量血脂習慣（有量血脂習慣者為 1，反之為 0），
喝酒習慣（平均每天喝 1瓶600c.c.啤酒或相當之酒類以上者為 1，反之為 0），抽
煙習慣（有抽煙習慣者為 1，反之為 0），外食頻率（每週外食次數），運動習
慣（有運動習慣者為 1，反之為 0），睡眠品質（睡眠品質佳者為 1，反之為 0）。
研究者建立血壓(y)對所有解釋變數的迴歸模型，得到如下表（LM1）之結果，其殘
差分析也無明顯瑕疵。
模型 LM1 之所有變數的解釋力為多少？一般來說，此解釋力算是高、中或低？並
解釋表中「F-statistic：4961 on 11 and 9988 DF, p-value：<2.2e-16」之意義。（4分）
在模型 LM1 下，以兩人之不同的性別、年齡及 BMI 解釋參數估計值所代表之意
義。（6分）
為了去蕪存菁，研究人員去除兩個非常不顯著的變數並得到下表模型 LM2 之結
果。根據 LM1 及LM2，請就下面 1.或2.擇一回答（兩項均答者不予評分）。
（10 分）
1. 說明 LM1 與LM2 何者較佳或差不多，並建議大眾那些變數為三高影響因子應
儘量避免或注意？
2. 此分析結果不適合用來推薦三高影響因子（說明原因及提出改進方法，此結論
是否與題結論矛盾？）。
（請接第三頁）
模型 LM2 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
（Intercept） 97.551 0.624 156.414 0.0000
性別 19.570 0.111 176.780 0.0000
年齡 0.452 0.005 86.912 0.0000
身體質量指數 BMI 1.247 0.457 2.726 0.0064
量血壓習慣 2.070 0.108 19.081 0.0000
量血糖習慣 0.556 0.100 5.532 0.0000
量血脂習慣 3.013 0.311 9.702 0.0000
喝酒習慣 -0.746 0.294 -2.539 0.0111
外食頻率 -1.836 0.979 -1.876 0.0607
運動習慣 2.934 0.858 3.420 0.0006
Residual standard error：4.923 on 9990 degrees of freedom
Multiple R-squared：0.8453, Adjusted R-squared：0.8451
F-statistic：6064 on 9 and 9990 DF, p-value：< 2.2e-16
模型 LM1 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
（Intercept） 97.487 0.627 155.365 0.0000
性別 19.564 0.113 173.786 0.0000
年齡 0.452 0.005 86.894 0.0000
身體質量指數 BMI 1.249 0.458 2.729 0.0064
量血壓習慣 2.070 0.108 19.084 0.0000
量血糖習慣 0.557 0.100 5.545 0.0000
量血脂習慣 3.012 0.311 9.697 0.0000
喝酒習慣 -0.741 0.294 -2.522 0.0117
抽煙習慣 0.046 0.049 0.936 0.3494
外食頻率 -1.827 0.979 -1.866 0.0621
運動習慣 2.933 0.858 3.418 0.0006
睡眠品質 -0.005 0.019 -0.284 0.7764
Residual standard error：4.923 on 9988 degrees of freedom
Multiple R-squared：0.8453, Adjusted R-squared：0.8451
F-statistic：4961 on 11 and 9988 DF, p-value：< 2.2e-16
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第
三
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四、一個學習效果評量相關分析的報告裏，資料內容由 20 人（男女各半）的 4個變數
(y,x1,x2,x3)所構成。其中 y為學習效果（其平均值 96.2 且標準差為 24.47），x1 = 1
或0表男性及女性，x2（其平均值 83.6 且標準差為 5.9）與 x3（其平均值 65 且標
準差為 10.3）分別表某性向測驗的兩種分數。下圖為資料之 4個變數間的散佈圖；此
外，下表也列出配適學習效果 y與不同解釋變數之迴歸模型的 R2。
考慮模型 M1，完成下面的分析表，說明填入之 F value 及t value 的值所代表意義。
（12 分）
Analysis of Variance Table：Response：y
Df Sum Sq Mean Sq F value
x1
Residuals
Total
Coefficients：
Estimate Std. Error t value
Intercept
x1
考慮模型 M1，計算 y在x1 = 1 之信心水準為 90%的預測區間。（5分）
在M1-M7 模式中，給定進入模式水準（entry level）α=0.1，採用 F檢定法，列
出前進選取（forward selection）程序與其最終選定之模式。（10 分）
根據準則 Akaike Information Criterion（AIC），依序列出 M1-M7 模式中的最佳 3
個模型。（10 分）
針對 M7 模式，在顯著水準 α=0.1下，檢定 x2 與x3 之係數是否同時等於0。（5分）
y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 50 60 70 80
60 80 100 120
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x1
x2
75 80 85 90
60 80 100 120
50 60 70 80
75 80 85 90
x3
Model Variables
in model R2
M1 x1 0.397
M2 x2 0.413
M3 x3 0.487
M4 x2, x3 0.504
M5 x1, x2 0.676
M6 x1, x3 0.697
M7 x1,x2, x3 0.697
y
x1
x2
x3