質因數分解
概念一：最大公因數
班上選班長！全班 24 人有 18 位投給
小龍，也就是，班上有
18
24
的人投給小龍。
將
18
24
約分成數字較小的分數，可以比較容易感覺小龍
得票的比例。
18
24
=
9
12
=
3
4
3 和 4
沒有公因數
了，此時兩個數字的關係，我們稱為
互質
；而分子和分母
互質
的分數被稱為
最簡分數
。
18
=
2
×
9
=
2
×
3
×
3
=
6
×
3
24
=
2
×
12
=
2
×
3
×
4
=
6
×
4
只要找出分母和分子的最大公因數，就可以將分數約分為最簡分數。
練習一下！
小育有一塊 120 坪的土地，土地上蓋了一棟地坪約 72 坪的別墅；我們可以說，
小育的別墅占地約是全部的
72
120
。請問別墅的占地有超過
2
3
嗎？還是不到
3
4
？
可以跟孩子討論解題思維。比較分母或比較分子。
72
120
=
1.8
3
72
120
=
2.4
4
沒有超過
2
3
。
不到
3
4
。
( 2 )
( 2 )
( 3 )
( 3 )
最
簡
分
數
18
24
3
4
約分的
公因數
再約分的
公因數
18 和 24 的
最大公因數
( 40 )
( 40 )
( 30 )
( 30 )
（除了 1 以外）
還記得怎麼找兩個數的最大公因數嗎？
列舉法
72 的因數有：1，2，3，4，6，
12、18、24、36、72
。
120 的因數有：1，2，3，4，5，6，
20、24、30、40、60、
120。
72 和 120 的最大公因數是
24
。
因數分解法
請逐步分解找共同的因數（公因數）來得到最大公因數。
也可以各自分解到無法再分解：
72
=2
×
2
×
2
×
3
×
3。
換你試試看！120
=2
× 2 × 2 × 3 × 5
。
請將所有分解的公因數圈出來，它們的乘積就是 72 和 120
的最大公因數。
將一個數寫成幾個既是質數也是因數的乘積，這樣的格
式，我們稱作數的
質因數分解
（完全分解）；如果將質因數
由小到大排好，則被命名為「
標準分解式
」
。
練習一下！
36 的標準分解式
2 × 2 × 3 ×3
。
90 的標準分解式
2 × 3 × 3 × 5
。
所以，36 和 90 的最大公因數是
2 × 3
。
72
=
2
×
2
×
2
×
3
×
3
120
=
2
×
2
×
2
×
3
×
5
72 和 120 的
最大公因數
公因數
72 =
2
×
36
120 =
2
×
60
72
=
2
×36
2
2
=
2
×
60
=
2
×
2
×18
2×2
=
2
×
2
×
30
2
=
2
×
2
×
2
×9
2×2×2
=
2
×
2
×
2
×
15
=
2
×
2
×
2
×
3
×3
2×2×2×3
=
2
×
2
×
2
×
3
×
5
一步一步分解
短除法
這是將因數分解法轉為更簡潔的格式來記錄。
來看看怎麼記錄！
練習一下！
請用短除法算得 36 和 90 的最
大公因數。
6 × 3＝18
2
72
120
2
36
60
2
18
30
3
9
15
3
5
72
=
(
6 × 4
)
×
3
120
=
(
6 × 4
)
×
5
一步一步
分解出公因數
6
72
120
4
12
20
3
5
也可以直接用
大一點的公因數分解
請試著完全分解
這些公因數的乘積
就是最大公因數
6 36
90
3
6
15
2
5
互質
概念二：最小公倍數
左
圖中，一片磁磚的大小是寬 14 cm、長 21
cm，用 6 片可以拼成邊長為
42
的正方形，
正方形的邊長長度是 14 cm 和 21 cm 的
□最大公因數
最小公倍數。
一樣地，你還記得怎麼找兩個數的最小公倍數嗎？
列舉法
14 的倍數有：14、28、42、56、70、84、98、112、126。
21 的倍數有：21、42、63、84、105、126。
圈出三個 14 和 21 的公倍數，它們的最小公倍數是
42
。
因數分解法與短除法
14 和 21 的最小公倍數
把最簡單的公因數
14
×
21
變小
7
×
2
×
7
×
3
可以共用 7
2
×
7
×
3
2
×
7
×
3
是
14
的
3
倍
2
×
7
×
3
是
21
的
2
倍
再試試 132 和 156 的最小公倍數：
把
132
×
156
變小
2
×
2
×
3
×
11
×
2
×
2
×
3
×
13
11
×
2
×
2
×
3
×
13
=
2
×
2
×
3
×
11
×
13
可以共用一組，少乘一組。
也可以用短除法
來簡化寫法喔！
2
132
156
2
66
78
3
33
39
11
13
(
132
)
(
156
)
14 和 21 的最大公因數
少乘一個 7，
沒有可以共用了。
短除法的推導記錄建議參考瑜庭老師資料
另外提供舊版本記錄格式
想找 40 和 30 的
公倍數
，連算都不用算的數字就是
40×30
。
40×30 這個數字是 40 的
30
倍，也是 30 的
40
倍。
40×30 被稱為 40 和 30 的
公倍數
。
40 和 30 有更小的
公倍數
嗎？
公倍數
40
×
30
分解
2
×20
×
2
×15
共用
2
，公倍數
就可以少乘 1 個
2
20
×
2
×
15
分解
5
×4
×
2
×
5
×3
共用
5
，公倍數
就可以少乘 1 個
5
4
×
2
×
5
×
3
4 和 3
互質
，無法繼續找出共用的數字來讓
公倍數
可以
變得更小，因此，
2×5
被稱為是 40 和 30 的
最大公因數
。
4×2×5×3
被稱為是 40 和 30 的
最小公倍數
。
將 40 和 30 的
公倍數
40×30 簡化為
最小公倍數
的過程，
可以使用下面的
短除法
來簡化寫法喔！
2
40
30
5
20
15
4
3
40 和 30 的最大公因數為
2×5
。
40 和 30 的最小公倍數為
4×2×3×5
。
變小
變小
書寫格式可以左右對應比較
練習一下！
1. 請用短除法算出 144 和 198
的最小公倍數。
它們的最小公倍數，
是 144 的
11
倍，
是 198 的
8
倍。
2. 求 42 和 56 的最大公因數和最小公倍數。
3. 甲數=
2
×
2
×
3
×
3
×
5，乙數=
2
×
3
×
5
×
5
×
7
甲和乙的最大公因數=
2×3×5
。
甲和乙的最小公倍數=
2×3×5×2×3×5×7
這類題目學生可能會全部乘開，可以先不用提醒孩子，讓
孩子經歷過這樣過程，再來討論釐清。
6 144 198
3 24
33
8
11
最大公因數為
7×2
。
最小公倍數為
7×2×3×4
。
7 42
56
2
6
8
3
4
2×2×3×3×5 2×3×5×5×7
最大公因數為
2×3×5
。
最小公倍數為
2×3×5×2×3×5×7
。
2×3×5
2×3
5×7
概念三：應用問題
601 班學生做分組，4 人一組，6 人一組，
都可以剛好分完。如果班上人數不超過 30
人，請問 601 班最多可能有幾個人呢？
最小公倍數 2×2×3=12
不超過 30 人，可以用最小公倍數放大倍數檢查
12×2=24 A：12 人或 24 人
小楷的老師買糖果餅乾請全班吃，糖果 60 顆、餅乾 48
片，都剛好分完沒有剩下。己經知道班上學生超過 10 人，
那麼，小楷班上有幾個人？
3×4=12
情境題要帶領學生做閱讀理解
2
4
6
2
3
老師提問(參考):
1.分什麼?
2.答案只有一個嗎?
3.用具體物轉譯題目
老師提問(參考):
用具體物轉譯題目~要透過
一對一對應
~把(顆)轉換成(人)
6
60
48
2 10 12
6
5
小雄和小楷去文具店買相同的筆，小雄付 100 元找回 4
元，小楷付剛剛好的錢 144 元。只知道每支筆的價錢超
過 20 元，請問筆的單價可能是多少元呢？
100 找 4 元表示付了 96 元
將一塊 60
cm
×
120
cm 的防塵墊，裁切成幾塊邊長大於 10
公分長的正方形。正方形的邊長可能有多長？不同的邊
長可以裁成幾塊呢？
老師提問(參考): 裁切成大小相等的正方形
繪製草圖：幾何類型可以請學生真的畫出長方形切切看
讓學生對於「
裁切與公因數
」產生感覺
學校有個空間的角落想用 12
cm
×
90
cm 的木板拼接成一
個正方形的遊戲區，大小不超過 4
m
×
4
m。
那麼，至少需要買幾塊木板呢？
老師有 96 顆軟糖和 60 顆巧克力，想全部分裝成一份一
份的小禮物，每份禮物中，軟糖和巧克力的數量相同，
最多可以分裝成幾份小禮物？
每份禮物中，軟糖和巧克力各有幾顆？
老師提問(參考): 拼接成一個正方形
繪製草圖：幾何類型可以請學生真的畫出長方形拼拼看
讓學生對於「
拼接與公倍數
」產生感覺
軟糖 巧克力
加入標記
老師提問(參考): 全部分裝成一份一 份的小禮物
繪製草圖：分東西可以請學生畫圈圈圖分分看
讓學生對於「
分裝與公因數
」產生感覺
道路全長 1620 公尺，中間的分隔島每隔 30 公尺有裝設
一座路燈。為了安全起見加強照明，改為每隔 18 公尺裝
設一座路燈。請問：施工時，有多少盞路燈可以不必移
動？註：道路兩端有路燈。
1620÷90=18 18+1=19
中間的分隔島
1. 請完成下列各題。
(1)
請寫出 84 的質因數分解：
84
=
2╳2╳3╳7
(2)
請寫出 495 的質因數分解：
495
=
3╳3╳5╳11
練習題
老師提問(參考):不必移動代表什麼意思呢？
繪製草圖：這類路燈行道樹可以用線圖畫畫看
透過畫圖也類推出兩端都有+1
讓學生對於「
間隔重疊與公倍數
」產生感覺
(3)
請將
84
420
約分成最簡分數。
84
420
=
3×7×2×2
73252
或
84
420
=
2×2×3×7
22357
＝
1
5
數字完成質因數分解後，將質因數按照大小順序，從小
到大排好，方便我們進行運算的標準寫法，被命名 「
標準
分解式」
。
(4)
84 和 420 的最大公因數是______。
84＝2×2×3×7
420＝2×2×3×5×7
最大公因數為 2×2×3×7
(5)
84 和 420 的最小公倍數是______。
84＝2×2×3×7
420＝2×2×3×5×7
最小公倍數為 2×2×3×5×7
2. 下列哪幾組數是互質？
甲、乙、丙
甲：5 和 14，乙：7 和 13，丙：10 和 21，丁：12 和 21。
建議質因數分解對應比較公因數比較好
乙兩數都是質數，一定互質
3. 96 和 180 的最大公因數是
2×2×3
。
96 和 180 的最小公倍數是
2×2×3×2×2×2×5×7
。
96＝2×2×2×2×2×3
420＝2×2×3×5×7
最小公倍數可以先圈出公因數之後，先寫出最大公因數再把兩數剩下的質因
數寫在後面接續。
標準分解式：質因數分解後，將質因數按照大小順
序記錄。便於進行對照比較。（約分方便）
4. 質因數分解的兩數 2
×
3
×
3
×
5
×
7 和 2
×
3
×
5
×
5
×
11。
它們的最大公因數是
2
×
3
×
5
，最小公倍數是
2
×
3
×
3×
5
×5×7×11
。
5. 有一箱蘋果，每 5 顆或每 6 顆裝成一盒，都會剩下 3 顆。
已知這箱蘋果大概 100 顆左右，那麼，這箱蘋果最多有幾
顆呢？
5 和 6 的最小公倍數為 30
大約 100 顆
30*3＝90
90+3＝93 顆
6. 有一個長方盒，長約 220
mm、寬 165
mm、高 110
mm，己
知盒子裡裝了 24 顆大小一樣的魔術方塊。
請問魔術方塊的邊長是多長呢？
220＝2×2
×
5
×11
165＝3×
5
×11
110＝2
×
5
×11
最大公因數為 5
×11
長可以放 4 個、寬可以放 3 個、高可以放 2 個
4×3×2＝24 顆恰好符合
所以魔術方塊邊長為 55 公分