分數的認識

活動名稱	分數的認識		適用年級	三年級
設計者	蔡亭葦、黃雁琪		教學節數	約3節
教學準備	海報 小白板 學習單 圓形色紙 彩色筆 剪刀 A4紙
能力指標		具體目標
N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。		能清楚平分的意義。 了解基本的分數概念，以及分母及分子所代表的意義。 能比較同分母分數的大小。 能做簡易的同分母加減。
一、數學本質概念： 簡單的說：分數就是『分開』的意思。用來描寫一個『被分開的全體之各部份』。也可用來表示將物件『等分成若干份』後，『取其幾份』的結果。可歸納其原始意義為：『把一個或多個基準單位量，透過實作或心理的等分割活動成為N等份，再合成其M份，命名為N分之M，記為』。 教育部國立編譯館依據82年課程標準所編的國小數學科教學指引也有如下的說明：當使用分數數詞（字）來描述有理數時（以 為例），至少可以從下列六種角度，來討論分數數詞（字）的意義： 部分與全體的比較：全體為5時，3是5的部分。是一種「部分－整體關係」的描述：這是學生最先接觸到的分數意義。開始學分數時，學生要先建立『切分』的概念，再來學分數的概念。此外根據Pothier&Sawada(1983)的研究顯示，學生『切分』能力的發展有五個階段。首先學會將東西分成兩份；其次再學會將東西分成四份、八份、十六份等；再接著學會六份、十份等偶數的分數；之後才是三份、五份、七份等簡單的單數(質數)；最後則是最複雜的單數，如九份、十五份等。所以開始學分數時，最好先從2、4、8等學生容易操作的切分著手。 除法的活動：是「除法」的運作。例如，「五除以三」可以寫作「5/3」。故「a/b」代表「一個商數」。 算子：對於物件1，進行一個運作，將1等分割成5份，再取出其中的3份。 小數的另一種記法。 比的意義：是一種「比值」。例如「一根10公分的竿子」和「一根5公分的竿子」的長度比例為「1/2」。亦即，「a/b」代表著「兩個數量的關係」。 二、數學概念之發展： 根據楊瑞智（民89）談分數的重要性可以從幾個不同層面觀之： (a)從實際層面，有效地處理分數概念可以增進了解與掌握真實世界問題的能力。 (b)從心理層面，分數提供豐富的領域可用以發展兒童智力及擴展心智結構。 (c)從數學層面，分數的了解提供爾後學習小數、比、機率及基本代數運算等的基礎（Behr et al.,1992）。 我們將將國小學童運思方式，依序分為五個發展階段： （一）合成運思：此運思將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位（例如：「10」）； （二）累進性合成運思：此運思可以使用一個集聚單位（例如：「10」）為基礎，繼續合成新的「1」，而形成新的集聚單位，例如以「10」為起點，繼續合成3個「1」，而形成「13」； （三）部分─全體運思：此運思掌握「1」單位與以「1」為單位量所合成的集聚單位（例如：「10」）間的部分─全體關係，明顯地區分兩者的意義，故而在混合使用兩種以上的被計數單位時，不混淆其計數的意義，可以將數個「集聚單位」和數個「1」單位合而為一，形成新的集聚單位，例如，區辨3 個「拾」與3個「壹」這兩個3具有不同的意義，而將「33」視為3個「拾」與3 個「壹」的合成結果，發展由多單位的觀點，來解讀數字（詞）的意義； （四）測量運思：此運思以掌握「1」與集聚單位（例如：「10」）間的部分─全體關係為基礎，進而能掌握集聚單位（例如：「拾」）與以其為單位量所合成的另一集聚單位（例如：「10個拾」）間的部分─全體關係，故而是同時掌握兩個層級的部分─全體關係，換言之，在運思上，可以把任何整數（例如：「10」）當作單位量，而此整數成為測量單位； （五）比例運思：以掌握兩集聚單位的關係為運思的起點，形成新的單位來描述此關係，亦即掌握比值或有理數的概念，以關係為運思的對象，蘊涵著對共變性質的掌握，被此關係聯絡的兩集聚單位，如果產生等比例的變化，並不改變此關係。 部分─全體運思的發展在三年級，測量運思發展在五年級，而比例運思的發展是國中的任務。 由於學童在整數加法問題的解題經驗的累積，使得學童已把這些問題歸納為加法問題，故在分數加法問題中已不須再分為「併加型」、「追加型」等，但由於分數問題情境的差異使得學童在解題時，產生解題操作方式的不同，是故目標導向的發展式數學課程主張，依分數問題情境的分類來區別分數加減乘除法問題類型如下表： 分數加法問題類型 兩分母 問題類型 例 子 同分母 連續量 這是一條繩子。 條繩子和 條繩子，合起來和多少條繩子一樣長？（82年部編本活動編號：6-4-6） 同分母 離散量（單位分數內容為單一） 10個蛋糕裝1盒。哥哥有 盒蛋糕，媽媽再給他 盒，合起來有多少盒？（82年部編本活動編號：6-6-1） 同分母 離散量（單位分數內容為多個） 40個白色積木裝一袋。弟弟現在有 袋，老師再給他 袋，合起來有多少袋？（82年部編本活動編號：7-12-5） 同分母 離散量（單位分數內容為非整數個） 5個白色積木裝一袋。弟弟現在有 袋，老師再給他 袋，合起來有多少袋？（82年部編本沒有活動） 同分母 以全部為基準單位量「1」 家裡冰箱有40個巧克力。妹妹自己拿了全部 的，媽媽再給妹妹全部的 ，合起來妹妹的巧克力是全部的多少？（82年部編本沒有活動） 同分母 單位分數內容為未知 弟弟現在有 盒糖果，老師再給他 盒，合起來有多少盒？（82年部編本建議為國中教材） 異分母 連續量 冰箱有一瓶鮮乳。淑敏喝了 瓶鮮乳，曉玉喝了 瓶鮮乳，兩人共喝了多少瓶鮮？（82年部編本活動編號：11-3-3） 異分母 離散量（單位分數內容為單一或多個） 一盒巧克力有35顆。 盒巧克力和盒 盒巧克力，合起來是多少盒？（82年部編本活動編號：11-3-2） 異分母 離散量（單位分數內容為非整數個） 一包糖重2公斤。培文煮紅豆湯用了 包糖，做蛋糕用了 包糖。算算看，培文共用了多少包糖？（82年部編本活動編號：11-10-2，本問題雖是連續量情境問題，但由於連續量離散化的結果，可視為離散量問題，參見本書第二章第二節） 異分母 以全部為基準單位量「1」 家裡冰箱有40個巧克力。妹妹自己拿了全部 的，媽媽再給妹妹全部的 ，合起來妹妹的巧克力是全部的多少？（82年部編本沒有活動） 異分母 單位分數內容為未知 （82年部編本建議為國中教材） 三、迷思概念： 根據相關文獻的分析可以歸納出，國小學童學習分數概念時常見的迷思概念有忽略單位量、依賴部分--整體模式及受到整數基模的影響等三大類，茲分述如下： （一）忽略單位量： 處理分數問題最重要的一個概念是單位量的指認，但是學生在處理部分／全部，子集／集合或數線的分數問題時，會有指認單位量的困難。其常見的迷思概念又可以細分為： 忽略給定的單位量：學生在回答諸如一袋蘋果有四個，其中的一個是幾袋的問題時，會回答一個或是四分之一個。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位「袋」和單位分量「個」之間的關係，並不在意。 受分子的控制，解題時只考慮到分子的因素。如果要此類學生在以十二個組成一堆的花片中取出其中的六分之五，他們的反應是只取其中的五個。 受分母的控制，只考慮到問題中的分母，解題過程深受分母的影響。跟上述受分子控制解題的情形類似，其中的差別只有在於，這類的學生是根據分母的大小來取花片。而不論是受分子控制或是受分母控制解題的學生，他們都忽視所給定的單位量。 （二）部分─整體模式： 由於兒童過於依賴連續的部分--整體模式，反而抑制了他們將分數視為一個數，並抑制了其他分數解釋的發展（Pitkethly et al.,1996）。引用台中縣益民國小呂相儒老師在翰林文教雜誌網路版第廿四期所發表了一篇名為《國小學童學習分數概念時常見的迷思》的文章中，曾經就相似情境分別設計連續量與離散量的試題：小明的媽媽買了一個大披薩，她把披薩平分成八小塊。小明吃了三塊、媽媽吃了四塊。以分數來說，小明吃了幾「個」披薩？媽媽吃了幾「個」披薩？小朋友常無法分辨幾「塊」與幾「個」的不同。 （三）整數基模： 一些研究指出，學生對分數符號表徵的迷思概念與全數有關(Behr, Lesh, Post & Silver,1983；Behr, Wachsmuth & Post,1984；Mack,1995)。分數的符號為 ，兒童普遍的將該符號視為是由兩個整數組成的，並將之應用至分數的問題上。他們視分數是兩個不相關的整數並分開個別處理（Hart,1989）。因此在進行與分數相關問題的解題活動，如分數大小比較、合成或分解時，便出現下列的情形： 以分母的大小來做比較。 以分子的大小來比較。 將分子、分母同加一數來比較。 分別比較兩個分數的分母與分子。 在分數加法的問題中，採用分子相加以及分母相加的方式來求得答案。 在異分母分數相減的問題中，採用分子相減以及分母相減的方式來求得答案。 四、處理的特色： 在2等分割或4等分割單位量『1』的活動中，學生可能會用日常用語來命名分量，例如『一半』或『一半的一半』。在此時的命名活動中，教師宜以形成班級共識為目標，不必提出『約定成俗』的用語『二分之一』。但如果已經有人提出『二分之一』或『四分之一』的說法，亦應訴諸社會共識，使其成為可以幫助溝通的名字。 學習分數有兩項教學建議：充分利用『具體操作物』和配合學生生活相關的『真實情境』當教學背景。學生可以透過『具體操作物』的不斷練習中掌握分數的意義。配合生活中的『真實情境』則可讓學生連結到現實生活，容易掌握其概念。例如一堆蘋果、一塊蛋糕等。 本活動的設計先強調分數的基本條件—基本量等分。其次，部分—整體關係是需要先處理的概念，也是學生最容易混淆的。

教學活動流程
具體目標	活動主題 及進行方式	主要活動與問話	教學資源	評量
能清楚平分的意義。 了解並非從圖形的中間切開就是平分，必須兩圖形面積相等。 「一半」在不同的情況下所指的大小也不相同。 強化平分的概念。 了解分基本的分數概念，以及分母和分子所代表的意義。 從實作中了解 、 、 的意義。	複習舊經驗 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 二、關係洞察 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班檢討 三、正誤區辨 個人思考 ↓ 小組檢討 ↓ 全班分享 四、概念確認 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班檢討 五、概念再製 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 六、概念再製 個人思考 ↓ 小組檢討 ↓ 全班分享 七、概念應用 小組討論 ↓ 全班分享	你們喜不喜歡過生日阿？過生日的時候都會吃什麼東西呢？爸爸媽媽幫你買的生日蛋糕是一整個大蛋糕還是很多個小蛋糕呢？如果是一整個大蛋糕有很多人要吃該怎麼辦呢？ U小星和小月放學回到家肚子很餓，但是桌上的小蛋糕只有一個。 請問他們一人可以吃幾個？該怎麼分才公平？ 先讓小朋友看海報回答，再發給小朋友每人一張圓形紙，假設圓形紙是蛋糕，折折看該怎麼分才公平？ 你怎麼知道被分出來的兩份蛋糕是一樣大的呢？把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？ 將小組討論後的答案寫在白板上。 老師說明因為兩個半圓能夠完全重疊，所以我們知道被分出來的兩半是一樣大的，這樣的分法，就叫作「平分」。 U桌上的蛋糕不一定是圓形的。 請學生想一想，當蛋糕不是圓形的時候，要怎麼分才公平？ 將學習單發給每位小朋友。（如附） 把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？ 老師帶著全班再做一次：使用和學習單相同的大海報，一一檢視各種分法是否為平分。 U小星和小月想吃蛋糕，媽媽說：「你們兩個人只能吃一半，另外一半要分給爸爸。」後來爸爸回家又吃了半個蛋糕的一半。 請學生動動腦，誰吃的蛋糕最多？ 小星 小月 爸爸 一樣多 說說看你的理由？ 用剛剛的圓畫畫看。再把你的答案和理由，說給旁邊的同學聽，看看說得合不合理。 將小組的答案畫在白板上。 小組發表後，老師將圖解畫於黑板。 U小星、小月和爸爸、媽媽一起吃蛋糕，這次他們買了一條長方形的蛋糕。 他們四個人該怎麼切蛋糕才能「平分」呢？ 發給小朋友每人一張長方形紙，假設長方形紙是蛋糕，請幫他們四個人「平分」。 你怎麼知道自己「平分」了蛋糕呢？把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？ 將小組討論後的答案寫在白板上。 老師統整：「平分」就是把原本的東西，分成一樣大的幾塊。 U小星吃了蛋糕的 。 「」這個符號是什麼意思？其中的2代表什麼？1又代表什麼呢？ 小星說：「」是分數的表示方法。2代表將蛋糕分成兩塊，1代表這兩塊蛋糕中的一塊。 小月說：「」是分數的表示方法。2代表一共有兩個人，1代表每個人吃了一塊蛋糕。 誰說的是正確的？ 小星 小月 為什麼？ 請把你的答案和理由說給小組的同學聽，看看說得合不合理？ 將小組的答案寫在白板上。 老師說明「」的意義以及分數的寫法。（下面的2是分母，代表全部；上面的1是分子，代表一部分。）（上面是分子，下面是分母，就像媽媽抱著小孩。） 老師出幾題讓學生練習分數的讀法和寫法。 U小星、小月和爸爸、媽媽各吃了蛋糕的 。 「 」這個符號是什麼意思？其中的4代表什麼？1又代表什麼呢？ 小星說：「 」是分數的表示方法。4代表將蛋糕分成四塊，1代表這四塊蛋糕中的一塊。 小月說：「 」是分數的表示方法。4代表一共有四個人，1代表每個人吃了一塊蛋糕。 誰說的是正確的？ 小星 小月 為什麼？ 請把你的答案和理由說給小組的同學聽，看看說得合不合理？ 將小組的答案寫在白板上。 老師說明「 」的意義以及分數的寫法。（下面的4是分母，代表全部；上面的1是分子，代表一部分。） 老師統整：全部有一塊蛋糕，小星吃了 塊蛋糕，小月吃了 塊蛋糕，爸爸吃了 塊蛋糕，媽媽也吃了 塊蛋糕，並請小朋友將 在長方形紙上標示出來。 請小朋友將自己的答案舉高。 U媽媽買了一張蔥油餅。 如果小星和小月兩人要平分這張蔥油餅，該怎麼分？ 如果爸爸、媽媽、小星、小月四個人要平分這張蔥油餅，該怎麼分？ 如果王阿姨一家四口剛好來拜訪，他們八個人要一起平分這張蔥油餅，該怎麼分？ 老師發給每組3張圓形色紙（代替蔥油餅），讓小朋友分別將色紙分成相等的2份、4份、8份，並將 、 、 張蔥油餅用彩色筆標示出來。 請小組共同討論，將你們的答案貼在黑板上。 U 代表三種情況下，小星所吃到的蔥油餅大小。 在什麼情況下，小星吃到的蔥油餅最多？ 在什麼情況下，小星吃到的蔥油餅最少？ 爸爸說： ＝ ＝ 代表將蔥油餅切成8份，吃了其中的4份。 代表將蔥油餅切成8份，吃了其中的2份。 因為 ＞ ＞ 所以在小星和小月平分的情況下，小星可以吃到最多蔥油餅。 王阿姨一家人和小星一家人（總共八人）平分的情況下，小星吃到的蔥油餅最少。 媽媽說： 因為8＞4＞1，所以 ＞ ＞ 。 所以王阿姨一家和我們一家人平分的情況下，小星可以吃到最多蔥油餅。 小星和小月平分的情況下，小星吃到的蔥油餅最少。 請問誰說對了？ 爸爸 媽媽 為什麼？ 把你的想法和做法跟同組的同學分享。 將小組的答案寫在白板上。	海報 小白板 圓形紙 學習單 海報 小白板 黑板 小白板 長方形紙 黑板 黑板 圓形色紙 彩色筆 黑板 小白板 小白板 黑板	和小組同學的討論情形。 參與小組討論情況。 是否用心寫學習單。 小組分享情況。 是否專心聆聽同學及老師的講解。 小組分享情況。 是否專心聆聽同學及老師的講解。 小組討論情形 小組活動討論及參與情形。 和小組成員互動討論情形。 小組分享情況。 是否專心聆聽同學及老師的講解。

國 小 一年 班 姓名：

請將公平的分法圈出來。

國 小 一年 班 姓名：

小丸子跟姐姐要吃禮餅，媽媽說：「我們家有六個人，該怎麼分才公平呢？」

爺爺說：「用手剝著吃最公平。」

姐姐說：「大家排隊吃，一個人吃完再換下一個人吃，這樣最公平。」

爸爸說：「我們用刀把餅平分成六片，這樣最公平。」

小朋友，你覺得誰說對了？

□爺爺 □姐姐 □爸爸

因為平分就是

下面哪些分法是平分？請把他們圈出來。

小青蛙吃了整盤青菜的一半，代表他吃了 盤青菜。

兔 兔吃了 塊蛋糕

＊ 中的「1」是□分母□分子※ 中的「4」是□分母□分子

代表全部分成份，吃了其中的份。

教學活動紀錄表

活動名稱	分數的認識			教學 年級	一年級			教學 節次	4 節
設計者	黃雁琪
試教者	黃雁琪		紀錄者			黃雁琪
試教地點	台北縣 淡水鎮育英國小		試教日期			民國93年 6月 28、29 日
數 學 概 念
引發學生熱烈參與之問話或活動		成功之因素
1.從分蛋糕（圓形、長方形紙）導入平分的概念。		低年級的小朋友適合具體操作，這樣的活動能夠吸引他們的興趣。
2.讓學生到黑板上練習分數的寫法。		小朋友很喜歡上台，對於台上同學的情形也相當注意，如此可以確保所有學生都已經了解。
3.將圓形蛋糕畫出 、 、 。		從實做中，學生很容易了解 、 、 即是將蛋糕分成相等的2份、4份、8份。
4.以圓形圖來比較 和 的大小。		以圓形圖表示 和 比用長方形圖表示清楚，學生也容易了解。
未能如預期引起反應之問話或活動		無法達成之因素					擬改善之對策
1.以長方形圖來比較 和 的大小。		將表示 和 的長方形圖以左右來放置。					將表示 和 的長方形圖以上下排列的方式來呈現，讓小朋友能夠直接比較。
2.當小朋友提出 ＝1時，無法讓所有學生都明白1與 的關係。		對於部分和整體的觀念，小朋友似乎沒有那麼清楚。					使用真正的蛋糕，強化他們的概念和參與感。讓他們知道我們只有一個蛋糕，假設將蛋糕分成4塊，每一小塊代表的是 個蛋糕。
教 學 技 巧
成 功 因 素		失 敗 因 素					擬改善之對策
1.讓學生以小組方式進行活動和討，能激勵小朋友互相學習。		1.小朋友會因為想要得到工作（例如寫白板、摺紙）而有所爭執。					事先指導學生如何分配工作，例如一個人摺紙、一個人畫線、另一個人負責標示。