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1
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1
新北市國小數學輔導團
新北市雙溪區柑林國小教學演示
(2019/04/12
)
高年級 數量關係
高年級 怎樣解題
(解決問題的方法 )
張英傑
退休教授
National Taipei University of Education
Department of Mathematics and Information Education
National Taipei University of Education
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2
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2
NTUE drijchang
2
2
我們都是共同學習者
(
co-learners
) !
「自發」、「互動」 、 「共好」
學生的
數學力
(Mathematical Power)
教師的
教學力
(
Pedagoical Power
)
師培者的
教育力
(
Educational Power
)
緣
-- Affinity –
Yan
珍惜因緣、
把握因緣、
創造因緣
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3
全球
6地昨同步公布史上第一次成功拍攝到的
黑洞影像。（中研院提供）
2019-04-11
台、美、日等
20國共同參與的跨國「
事件視界望遠鏡（
EHT）
Event Horizon Telescope」
計畫，昨晚在全球
6地同步
公布人類史上第一次成功拍攝到的黑洞影像，影像顯示了一個
位於
M87星系中心的超大質量黑洞，距離地球5500萬光年，
質量高達太陽的
65億倍，直徑約180億公里；這也是本世紀天
文跟物理學界最重大的發現之一，為人類對宇宙認知的重大突
破，亦顯示台灣在本世紀重要科學發現佔有一席之地。
https://news.ltn.com.tw/news/focus/paper/1280730
全球第一張
黑洞長這樣
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4
2019-3-14 （3月14日） “國際數學節”，
也是圓周率
(π) 日
美國的麻省理工學院首先倡議將
3 月 14 日定為
國家圓周率日
(National Pi Day)，2009 年美
國眾議院正式通過決議，將每年的
3 月 14 號設
定為「圓周率日」
(Pi Day)。全球尤其是美國大
學的數學系都在當天下午
1 時 59 分慶祝這一節
日， 還有用
24 小時計時的人在凌晨 1 時 59 分
或下午
3 時 9 分（15 時 9 分）進行慶祝。
有人說物理的極致是宗教，數學的極致是哲學，
是有一定道理的。
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5
2019-3-14 （3月14日）圓周率日
李安導演的《少年
PI的奇幻漂流》（Life of Pi）
π的小數點後
31.4兆位
！
Google員工Emma Haruka Iwao以
雲端運算破世界紀錄
耗時
121天、使用約170TB的容量，算出了π的小數點後
31兆4159億2653
萬
5897位數
，打破
2016年另1名男子創下的小數點後22.4兆位數紀錄。她
從小就夢想可以算出更多位數的
π、打破世界紀錄，她在12歲就第1次利用軟
體在電腦上進行運算，她沒有滿足於目前的成果，希望未來可以繼續算出更
多位數的
π。
艾瑪這次利用雲端運算突破的紀錄，對
Google而言除了順勢宣傳其雲端服務
之外，也象徵了雲端運算技術的發展神速。
https://news.ltn.com.tw/news/world/breakingnews/2727279
有甚麼用
?
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5
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6
怎樣解題
?
假設有一條繩子
c (km)，可以剛好緊繞地球赤
道一周；現在將此繩子再加長
a (km) 時，也可
以剛好緊繞地球離赤道上空
200 (cm) 的高度一
周。求
a 的長度?
了解題意
?
解題策略
?
思考方法
?
檢驗答案
? <
π ≒ ?
>
如何改寫檢測國小學生
?
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7
有沒有用
?!
很多數學研究都是出於好奇，許多研究成果都是在許多年以
後才發現其應用。
Emma Haruka Iwao 利用Google的雲端運算服務，耗時
121天、使用約170TB的容量，算出了π的小數點後31兆
4159億2653萬5897位數，打破金氏世界紀錄。主要顯示
如今電腦的運算能力，而不是其結果的可利用性。用
brain
storming，會激發在其他領域的運用。
IBM的深藍 (
Deep Blue
) 打敗人類的西洋棋冠軍，沒有乘
勝追擊繼續在圍棋上的研發，而是更進一部的發展出
Watson
，能瞭解自然語言
(natural language
understanding)。在美國的益智比賽 (Jeopardy) 中完勝
兩位該比賽的多次衛冕者。如今
Watson 與 Mayo Clinic
合作應用在醫療診斷上，與
H&R Block稅務公司合作應用
在報稅系統上。
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8
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8
感謝大家的參與
!
柑林國小 劉明相 校長 行政團隊協助
柑林國小 劉明相 校長 教學演示
(高年級)
輔導團員 黃光逸 老師 教學演示
(高年級)
共同備課
公開說課
/觀課
集體議課
記錄教學檔案
(省思成長)
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9
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9
觀摩教學演示之啟示
:
樂教
樂學樂教
…
自學與共學
當我在講台上
, 面對自己的學生,
要教這個單元
/這節課
時
…
應該怎麼教
?
這一課
:
教什麼
? 怎樣教?為甚麼?
教材內容
(教學活動)編排?
教學手法展示
?
學生學習表現
?
其他
?
學生學習真的發生
!
What
Why
How?
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10
解讀課程綱要與剖析教科用書
課程綱要能力指標
(97課綱)
階段能力指標
N-3-18 能由生活中常用的數量關係，運用於理解
問題並解決問題。
(A-3-02)
A-3-03 能認識等量公理
。
分年細目能力指標
6-n-13 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，
進行解題，並檢驗解的合理性。
(同6-a-04)
6-a-01 能理解等量公理。
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6-n-13
能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，
並檢驗解的合理性。
(同6-a-04)
本細目在六年級課程應佔相當份量，作為
國小課程之總結
。本細目之重點在解
題，希望能整合國小階段所學到之數、量、運算、數量關係，解未知數等式之
經驗，進行應用問題之解題，包含說明題意，列式表述問題，發展策略解題。
傳統之應用問題：雞兔問題、年齡問題、龜兔賽跑等，皆
屬於本細目
。
希望學童能分析問題，列出多步驟之算式來解題
(不一定用算式填充題)。
常用的數量關係包括：和不變、差不變、積不變、比例關係、基準量問題等。
例：
(
年齡問題
)「小麗今年12歲，爸爸與小麗的年齡相差24歲，再過幾年爸
爸的年齡是小麗的兩倍？」
例：
(
平均問題
)「小明的國語、社會、自然三科平均為90分，問小明的數學要
考多少分才會讓四科平均達到
88分？
例：
(
追趕問題
)「小英跑步的速度是每秒5公尺 ，小麗跑步的速度是每秒4公
尺，兩人賽跑，如果小麗在小英前方
40公尺，請問小英何時可以趕上小麗？」
例：
(
雞兔問題
)「倉庫中有一種輪胎100個，可以裝在六輪小貨車上，也可以
裝在四輪汽車上，今天裝配了
22輛車子，剛好將輪胎都用光，請問這些車子
中，有幾輛是六輪小貨車，有幾輛是四輪汽車？」
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12
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12
解讀課程綱要與剖析教科用書
(十二年國教課綱:學習重點)
學習表現
n-III-10 嘗試將
較複雜的情境或模
式中的數量關係以
算式正確表述，並
據以推理或解題。
r-III-3 觀察情境
或模式中的數量關
係，並用文字或符
號正確表述，協助
推理與解題
《數學領域
課程手冊》
學習內容
N-6-9 解題：由問題中的數量關係，
列出恰當的算式解題 （同
R-6-4）。
可包含（
1）
較複雜的模式
（如座
位排列 模式）；（
2）
較複雜的計
數
：乘法原理、加法原理或 其混合；
（
3）
較複雜之情 境
：如年齡問題、
流水問題、 和差問題、雞兔問題。
連結
R-6-2、R-6-3。
R-6-2 數量關係：
代數與函數的
前置經驗
。從具體情境或數量模式
之活動出發，做觀察、推理、說明
R-6-3 數量關係的表示：代數與函
數的前置經驗。將具體情境或模式
中的數量關係，學習
以文字或符號
列出數量 關係的關係式
。
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解讀課程綱要與教科用書
比較分析三版本教科用書之設計
Why?
What?
How!
When?
Where?
Whom?
Who!
教學實踐
忠實觀
(完全採用)
批判觀
(部份採用修改)
創新觀
(完全自編)
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解讀課程綱要與剖析教科用書
課程教材設計與教學活動之實施
Why?
What?
How?
Where?
When?
Whom?
WHO?
「怎樣解題」能教嗎
?
「
用甚麼架構
/結構/情境/脈絡合適?
有何教學資源去思考教學策略
?
教學活動之安排次序
!
數量關係之算式
/公式的認識、理解與熟練
先備知能的檢驗以及未來發展的啟示
形成性評量與總結性評量之形式及其內涵
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。可
包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：乘法
原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水問題、
和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
備註：
乘法原理如
3 件上衣與5 件裙子的搭
配方式；
加法原理如允許重複，
1、2、3 可排
出幾種二位奇數；乘法原理與加法原
理混合如
1、2、3 可排出幾種三位奇
數。
乘法原理和加法原理旨在初步學習計
數的觀點，而非複雜的計數問題。
本條目不要求併式。
先備：
N-5-2。
連結：
R-6-2、
R-6-3、R-6-4
（同）。
後續：
A-7-2、
A-7-4。
基本說明
條目範圍
釋例
(錯誤類型)
評量
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
基本說明
1.
這是一個總結性的條目，應該連同
R-6-2 與R-6-3 一起閱讀與進行教學。
2. 這是小學數學解題的總結性條目。針對生活中數與量的應用問題是和小學
數學的學習一起進行的，從四則運算的問題、兩步驟問題、三步驟問題一
直到各種「解題」條目、幾何問題。
解決問題的步驟不外乎先察覺問題中的數量關係（
R-6-2），將該關係表
示成數學算式或公式（
R-6-3），再運用所學進行計算並解決問題。
比較基本的解題通常針對單一問題，例如「小明有
23 張遊戲卡，哥哥的遊
戲卡比他多
12 張，小明的哥哥有幾張遊戲卡？」
學生將問題嘗試轉化成數學算式
23+12，然後再計算得35 張。
但是高一級的解題活動，則是針對問題中的數量模式，將其中牽涉的數量
關係轉化成關係式（公式，
R-6-3），並運用來解題。
例如計算三角形的面積，運用面積公式，可以解決諸多相關的問題。
又晝長和夜長的總和是固定的
24 時，因此可得公式「晝長+ 夜長＝24」，
這時不管是問夏至、冬至、春分、秋分或其他時間，都能進行多元的教學。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
3. 一般來說，學生通常能處理已經清楚表示為算式或公式的問題。因此
本條目更強調將問題轉化為算式或公式的部分。
這部分的解題活動分成兩種，一種是基礎的，一種是進階的，兩者的
教學目的不同。基礎的部分如
R-6-2 基本說明3. 所建議的基本數量
關係，學生應能察覺並建立自己的解題方式，這應作為本條目解題活
動的基礎重點。
4. 本年度也應思考過程較複雜但學生仍能理解的進階解題活動（如和差
問題、雞兔問題等），擴大學生運用數學解決問題的範圍。
這部分解題強調的是思考問題中較複雜的數量關係，因此教學重點在
學生能理解其中的分析策略，而非計算難度，不要求學生進行併式，
也不要求學生建立快速解題的公式。
5. 解題教學應包含常用的計數原理（這些原理就是問題的分析策略）：
乘法原理、加法原理以及其混合型問題。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
條目範圍
1. 基本說明4. 中談及的進階性問題，在國中之後
利用代數解題可能都很簡單，因此教師不應該要
求學生在小學死背解題公式，應將重點擺在如何
運用小學的知識分析問題，這是代數工具解題無
法呈現的部分。
2. 計數原理的教學重點是學會分析的方法，而不是
解繁雜的問題，建議教師教學需將問題最後呈現
之算式限制在三步驟內（亦即三連加、三連乘、
或乘加混合三步驟）。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
釋例
1.
以「差不變」的年齡問題為例（結合
N-6-9, R-
6-2, R-6-3）。
下面例
1 和例2 屬於基本數量關係，適合學生學
習紀錄數量關係並做簡單應用。
例
3.和例4.屬於較困難的解題，著重問題的分析
策略，老師不應再發展公式的教學。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
(1) 例1：「小明6 歲時，爸爸34 歲，當小明10 歲時，爸爸幾歲？小
明
20 歲時呢？35 歲時呢？」
如果只問第一個問題，學生把這個問題當作單純的加減混合問題：
10+(34−6)=10+28=38，
但是如果老師追問更多，學生就可能察覺其中隱含的數量關係。引導
學生（譬如列表）
發現小明年齡和爸爸年齡固定差
28 歲的關係，請學生記錄這個關係？
講講為什麼？
學生可能有很多記法，如「爸爸年齡
−小明年齡=28」、「小明
+28=爸爸」等
(2) 例2：（反過來）「爸爸75 歲時，小明幾歲？」
這個問題很簡單，由於學生已經抓到重點：爸爸和小明年齡固定差
28
歲，很多學生會直接正確的回答
75−28=47，
鼓勵學生後，請學生在公式如「爸爸年齡
−小明年齡=28」，把爸爸
75 歲寫入公式中，得到「75−小明年齡=28」，從加減互逆，也看
出小明年齡等於
75−28=47。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
(3) 例3：（為年齡問題準備）「小明幾歲時，爸爸年齡是小明的2 倍」讓
學生討論。重點是如何將「爸爸和小明年齡差
28 歲」的事實和年齡的倍
數連結。可以用基準量和比較量的想法或直接用線段圖來檢視：
結合兩圖如下，可發現當爸爸年齡是小明
2 倍時，爸爸和小明年齡差正好等
於小明的年齡，因此小明當時是
28 歲，爸爸是56 歲。
● 類題：「小明幾歲時，爸爸年齡是小明的
3 倍?」
(4) 例4：（年齡問題）「小芳5 歲時，媽媽25 歲，當媽媽年齡是小芳的
2 倍時，小芳幾歲？媽媽幾歲？」
有了前面的鋪陳，學生先計算媽媽和小芳的年齡差是
25−5=20 歲，當
媽媽年齡是小芳的
2 倍時，如上討論，小方的年齡是25 歲，媽媽年齡
50 歲。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
2. 底下說明小學教師比較不熟悉的加法原理和乘法原理的例子。
(1) 加法原理：可以把問題分成互不相干的部分再利用加法計數。
例：「如果不允許重複，
0、3、6 可排出幾種二位偶數」。
在這個問題的條件下，偶數的個位數一定是
0 或6 兩種，因此把問題
分成「個位數為
0」時的2 種（30、60）與「個位數為6」時的1 種
（
36），總共有2+1=3 種排法。
「加法原理」的「加法」指的是將問題分成無關的兩類：如本題的
「個位數為
0」和「個位數為6」，結果則是這兩類數目的和。
可以用「樹狀圖」作分析工具表示如下：
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
(2) 乘法原理。例：「3 件上衣與2 件裙子的搭配有幾種方式？」
上衣：
裙子：
這是乘法排列模型的重要應用，可以排成下圖。
所以是
3×2=6 或2×3=6，有6 種搭配方式。
就像乘法是加法同數連加的特殊情況，乘法原理其實也是加法原理的重
要特例，因此也可用樹狀圖來分析：先分成
2 件裙子的兩種情況，每件
裙子可搭配
3 件上衣，所以是3+3=6，或3×2=6。
● 類似的例子：
「
3 種漢堡和4種飲料的搭配方式有幾種
「
3 件上衣、2 件裙子、2 頂帽子的搭配方式有幾種？」
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
(3) 混合型。例：「如果數字可以重複，1、2、3 可排出
幾種三位奇數？」
同上先分成「個位數為
1」和「個位數為3」兩類。
「個位數為
1」時，十位和百位的「搭配」沒有任何限制，
可用乘法原理計算得
9 種，即：111, 121, 131, 211,
221, 231, 311, 321, 331。
「個位數為
3」也一樣。即113, 123, 133, 213, 223,
233, 313, 323, 333。
因此總數是
3×3＋3×3=18 種。
＊這個問題其實也可以想成乘法原理的三步驟連乘，但只
宜作為探索之用。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
評量
評量重點：
1. 能解決一維模式之推理問題。
2. 能解決和不變、差不變（如年齡問題）、積不
變、商不變的應用問題。
3. 能解決小學程度的加法原理與乘法原理應用問
題。
4. 能解決小學程度的較難解題如雞兔問題、和差
問題、流水問題等。
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N-6-9 解題：由問題中的數量關係，列出恰當的算式解題（同R-6-4）。
可包含（
1）較複雜的模式（如座位排列模式）；（2）較複雜的計數：
乘法原理、加法原理或其混合；（
3）較複雜之情境：如年齡問題、流水
問題、和差問題、雞兔問題。連結
R-6-2、R-6-3。
備註：乘法原理如
3 件上衣與5 件裙子的搭配方式；加法原理如允許重複，1、2、
3 可排出幾種二位奇數；乘法原理與加法原理混合如1、2、3 可排出幾種三位奇數。
乘法原理和加法原理旨在初步學習計數的觀點，而非複雜的計數問題。
本條目不要求併式。
R-6-2 數量關係
：
代數與函數的 前置經驗
。從具體情境或
數量模式之活動出發，做觀察、推理、說明
備註：可以運用
表格或統計圖
協助發現規律。可以
簡單公式
說明其中的
數量關係
。
R-6-3 數量關係的表示
：代數與函數的前置經驗。將具體情
境或模式中的數量關係，學習
以文字或符號列出數量 關
係的關係式
。
備註：數量關係的表示例如：晝長夜長的關係可列成晝長
+夜長=24。
連結
R-6-2。含部分運用符號的教學，連結國中「符號代表數」或
「未知數」教學，其教學重點在「關係的表示」，而非抽象的「代數
符號演算」。
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解讀課程綱要與教科用書
比較分析三版本
教科用書
之設計
課本
習作及其附件
教師手冊
/教學指導
備課用書
教具
教學資源
…
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剖析教科用書
1. 教材脈絡比較及分析
教材內容編排順序比較
布題情境脈絡比較
數字設計脈絡比較
2.情境表徵比較及分析
定義、命名、或公式的引
入及呈現方式
圖示表徵的比較
說明對話框內容的比較
解法表徵或引導的比較
3.文本比較及分析
布題表徵比較
語意結構
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說課
高年級
怎樣解題
新北市數學輔導團
黃光逸老師
Why?
What?
How?
Where?
When?
Whom?
WHO?
一、單元的期望的學習結果
(一) 單元學習目標
(二)課程綱要學習重點(學習表現與學習內容)
二、
學生
與教材分析
(一)學生先備知識與可能的學習困難
(二)
教材研究分析
三、各節次學習活動設計
(6節課，本節課為第1節:
解決問題的方法
)
四、本節課（第
1節）的學習活動
(一)學習的主要概念與對應的活動
(二)素養導向的課程與教學
(三)學習活動的設計
活動名稱
/
教學流程與主要布題
/
學生可能的反應
/教學策略介入與評量
時間
/
對應素養導向教學設計要點
(轉T、做D、得G)
五、參考資料
(各版本本單元分析/文獻)