商高定理的應用
指導單位： | 雲林縣國中數學領域輔導團 |
教學者： | 雲林縣褒忠國中 陳昭龍教師（深耕種子教師） |
壹、教學活動設計
一、教學年級：八年級
二、教學節數：共2節，本次演示第1、2節。
三、資料來源：自編教材
四、類別：統整教學 / 形
五、學生能力分析
（一）先備知識
1.能理解平方根的意義及熟練平方根的計算
2.能熟練商高定理的計算
（二）學習態度
1.本校二年學生採「英數學科能力分組教學」，每兩班為一群，每一群再分成二組。第一節課學生為英A1（由201、202兩班英文成績前之學生組成）；第二節課為數A1（由201、202兩班數學成績前之學生組成）。因以兩班為學群單位，學生分組後學生程度落差仍大。
2.本校為「教育優先區」補助學校，學生主動求知之學習動機不佳，課後能練習習題者為數不多。
六、教學目標
教學目標 | 相關能力指標（92年正式綱要） |
（一）應用「商高定理」求出「無理數」，並將其標示在數線上 （二）應用「商高定理」求出已知三角形三邊長的面積 | 分段能力指標： N-4-01能認識二次方根極其近似值 A-4-03能理解勾股定理及熟練其應用 分年細目指標： 8-n-02能求出二次方根近似值 8-a-09能理解勾股定理的應用 |
說明：「商高定理」為暫綱之「標準用詞」，但正綱已更名為「勾股定理」
七、活動目標
【第一節】
能利用圓規與直尺（三角版）及「商高定理」將「無理數」標示在數線上。
（備註：本活動的作圖不是教「尺規作圖」，單純將其視為輔助學具）
【第二節】
一、能將已知三邊長度的任意三角形置於座標平面上，並利用圖形「拼補」或「旋轉」，求出此三角形面積。
二、利用「商高定理」求出已知三邊長的任意三角形的「高」，進而求其面積。
八、教學概要說明
「商高定理」可說是數學學習上非常重要的定理，不管從「數學史」的觀點談其演進歷程，可說是「精彩絕倫，趣味橫生」；或是從「知識結構」而言，其涵蓋的學習層面包含「代數」與「幾何」（數學92正式綱要），「數學知識」的重要性不言可喻。然而因受限教科書學習教材屬「普世」學習內容，以及「發售成本」等原因，以致無法為「高層次統整」學習內容作合宜的補充，較無法達成「因材施教」的教育本質，因此此次的教材設計內涵強調「商高定理的應用」，亦即重視此定理的「統整」學習，讓熟練「商高定理」計算之餘，也能讓學生瞭解「商高定理的應用」廣度，進而加深學生學習的印象。
第一節教學目的是跳脫由「面積＝2」探討「邊長＝
」的思維，直接由「商高定理」導出長度為
，並將其標示在數線，簡易判斷
的近似值（求至整數位）。以此作為標示無理數在數線上的「起始點」，進而標示出
、
、
等在數線上的位置。
第二節教學目的主要是讓學生體驗「已知三角形三邊長」面積的求法。從利用平面座標，到「商高定理」求高，進而求出面積。當然，教學者亦可引導學生做「多邊形面積」（四邊以上）的探討，此部分就班級學習情況可彈性權宜為之
這兩節的教學內涵還有一個重要目的，就是讓學生發揮「多元解題」的思維，並讓「小組合作」融入上課情境，促進學生分享解題的樂趣。
九、教學活動設計
教學內容摘要 | 主要問題與活動 | 說明 | 評量重點 |
◎構成數線的基本要素 | 問題： 請問同學構成數線的基本要素是什麼？ |
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◎複習平方根 | |||
◎複習平方根 | 問題： 1.何謂「商高定理」 2. 若兩股分別為6、8，請問斜邊為何？ |
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1.直角三角形中，斜邊平方＝兩股平方和，或c2＝a2＋b2，其中c為斜邊，a、b為股 2.能計算並說出斜邊＝10。 |
◎做線段＝ | 1.請問如何用「商高定理」做出＝ |
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◎利用直尺準確地在數線上作出「直角」 | 1.請問您如何利用直尺準確地在數線上作出「直角」 |
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將直尺「直放」，並將「刻度」與數線「重合」，畫一直線，則此直線與數線的交角為90° |
◎將 | 1.利用圓規取出線段長＝ |
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◎判別 | 1.觀察 2.詢問學生 |
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◎練習「學習單一」之問題 | 1.熟練活動一的推理過程，進而解題 |
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1.兩股為1、 2.斜邊為2，一股為1，則另一股即為所求
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【第一節結束】 | |||
教學內容摘要 | 主要問題與活動 | 說明 | 評量重點 |
◎能將圖形「旋轉」（平移），求得「最佳」作法（詳見活動單二） | 問題： 同學將三角形剪下後，如何「擺置」，能最簡易求得△ABC面積？ |
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◎拿掉座標平面，亦即輔助物，思考如何求得△ABC面積 | 問題： 座標平面去掉後，不能數「格子」，如何求△ABC面積？ |
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◎利用「商高定理」求高 | 教師板書利用「商高定理」求高（以 |
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◎選擇不同邊為「底」，求△ABC面積 | 問題： 除了以 |
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◎練習「學習單二」之問題 | 1.熟練活動二的推理過程，進而解題 |
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【第二節結束】 | |||
貳、教學後的省思
這次教學演示的確是一個挑戰，因教學示範的班級與學生皆非自己班級學生，引發學生討論及保持師生互動氣氛考驗著教師的「教學魅力」，不過一切都還算順暢，這要歸功於本縣輔導團的培訓，因數學輔導團員就是到校進行「教學示範演示」，讓現場教師分享輔導員的教學心得分享。
這次的教學場域除學生卅二人外，尚需容納近廿位的觀察者及工作人員，因此便將教學場域移至「多功能媒體」教室，著實考驗著學生「易地學習」時，對陌生學習環境是否能保有原課室學習的學習動機，同時對身為教學者的我，是否能掌控教學環境改變所產生的「負向學習」的影響，對師生而言都是一種考驗。原本想帶學生至「多功能媒體」教室進行「模擬」教學，讓學生親自瞭解教學現場，但後來我考量再三，便放棄這個想法，因為我想瞭解當學生在「學習環境」與「教學者」兩項因素同時改變時，身為教學者的我，能否依然讓學生很自然、從容地學習。兩節課進行下來（兩節課的學生大部分不同），就單純從師生互動看教學效能而言，個人對自己教學的自評可算滿意。
對教學的自省當然不止於師生互動的感觸，以下便是對此次的教學示範觀摩整個歷程，個人的一些心得與自省：
一、就事前的準備工作而言：
1.行政溝通協調上，非常感謝校長的支持、教務處行政同仁及替代役的協助，讓事前的場地布置、課務調動、攝影及記錄等都能順利安排，具體展現「行政服務教學」及「行政支持教學」的行政思維。
2.非常感謝兩班原任數學教師的協助，使我不僅瞭解學生的學習狀況，也從中聽取兩位老師的教學建議，讓我雖未在事前與學生作示範教學說明，也能掌握學生的學習行為，尤其是對一些可能會影響或干擾教學進行的學生，有充分的瞭解，而能事先擬出應對方法。
二、就教案設計的歷程而言：
1.單單配合教學進度，尋找重點教學主題就煞費心思，因為只有兩節示範教學時間，而且要能「銜接」該班的教學進度，最後便與任課老師商量，以「延伸」教學為目的，強化學生對商高定理的應用能力。
2.本教學內容在數學知識的範疇裡可說是非常重要的定理，對「數的計算」、「代數」及「幾何」皆有其關連性，尤其對「數系」的拓展更為重要，因此在設計教學內容及訂定教學目標上便依此為主軸。
3.所選之教學示範班級之其中一班為初任教師（年資兩年）所任教，因此在教案設計的過程中特別與此位老師討論，主要目的是希望藉此機會引領初任教師從教材設計到教學實施，整個過程中瞭解並掌握教學要點，落實「老鳥帶菜鳥」的傳承理念，以提升其教學職能。
三、就教學現場的回饋而言：
雖不是班級之實際任課教師，而且學生亦顯靦腆，但示範教學過程中學生參與討論、發表的情形獲得現場觀察教師不少的正向評價。
四、就學習評量的檢核而言：
這是此次教學過程中吾人認為最需改進的地方，由於教學時間掌控不是很好，致使每節教學演示都未能對學生做課間評量，據以提供原任課教師銜接之參考。
在這次的教學演示中，吾人深深領悟到「分組教學」在「因材施教」理念中的落實，因為教材內容在「團體均質」差異最小下才能發揮最大的「學習效益」，教師才能在「最少的干擾」下發揮教學效能，再輔以教學媒體進行資訊融入教學，相信學生的學習動機與成就必能符應九貫課程精神—「帶著走的基本能力」。
從這次教學錄影中個人以為還是有以下幾點仍須改進：
一、少數問題未能給於學生從容的思考時間，讓學生進行分組討論。
二、學生較羞澀，回答問題不夠流暢，吾人未能善加引導。
三、學生隨堂練習時間不足，無法診斷學生學習問題所在
整體而言，這是一個美好的經驗，從教材規劃與設計、全程利用Msword軟體撰寫教案、與指導教授討論、現場參與教師的回饋，到最後親自剪輯及製作DVD，讓吾人的教學技巧與資訊媒體製作能力增進不少，真是一次難得的體驗！
【附件1】活動單一
已知：如下圖數線所示，給定單位長1，利用直尺與圓規畫出
的位置
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 14 13
問題一：動動腦，請問如何用「商高定理」做出＝
【答】：
問題二：請問您如何利用直尺準確地在數線上作出「直角」
【答】：
問題三：根據問題一、二的結論，請畫出
的位置，並求其近似值至整數位（四捨五入）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 14 13
【附件2】學習單一
已知：如下圖數線所示，給定單位長1，利用直尺與圓規畫出
、
、
在數線上的位置，並求其近似值至整數位（四捨五入）
（請簡要說明作法）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 14 13
已知：如下圖數線所示，給定單位長1，利用直尺與圓規畫出
、3
在數線上的位置，並求其近似值至整數位（四捨五入）
（請簡要說明作法）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 14 13
【附件3】活動單二
已知：△ABC中，
＝15，
＝14，
＝13，求△ABC面積為何？
問題一：請剪下△ABC，並置於下頁之座標平面上，請問如何「擺置」，能最簡易求得△ABC面積？
【答】：
問題二：△ABC面積＝？
【答】：
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
問題三：今將座標平面拿掉（亦即沒有座標平面），試問如何求得△ABC面積？（提示：做三角形的「高」，再利用
×
底× 高，求△ABC面積）
【答】：
【附件4】學習單二
已
知：△ABC中，
＝13，
＝6，
＝10，求△ABC面積為何？
【答】：
雲林縣國中數學領域教學觀摩之綜合座談紀錄
◆ 會議日期：中華民國95年4月20日（星期四）
◆ 會議時間：上午11：20至12：00
◆ 會議地點：雲林縣褒忠國民中學（地址：雲林縣褒忠鄉埔姜村中勝路62號）
◆ 主 持 人：雲林縣褒忠國中 徐文臨校長
◆ 輔導教授：國立中正大學師資培育中心 洪志成教授
◆ 出席人員：
◇ 雲林縣國中數學領域輔導團員5人
◇ 雲林縣國中數學領域深耕種子教師12人
◇ 雲林縣國中數學教師12人【本縣市國中共32校，參與出席者共8校】
◆ 會議紀錄人員：雲林縣國中數學領域輔導團
壹、主席報告
1.歡迎各位到雲林縣立褒忠國中參加此次教學觀摩研習活動。
2.本次演示教師為本縣課程督學，亦為優秀之中學數學教師；透過這樣的教學演示活動，可以增進教師間的教學方式討論，以達教學相長、精益求精。
貳、演示教學討論
1.演示單元為「商高定理的應用」。
2.大陸學者查證出，可能中國史上的商高只是一個虛造人物，往後課本上將改為「勾股定理」。
3.每位教師教學方式各有千秋，沒有絕對好壞。此次演示活動為一精采呈現，可在過程中學習與省思。
4.整個教學過程中，給予學生足夠時間實作學習，可訓練學生的思考能力。現在多數學生總是等著台上老師給予正確答案，缺乏自我腦力激盪的練習。
5.由正方形面積為一完全平方數求正方形邊長，進而引進根號概念，立意甚佳。
6.根號裡，開方開不盡的觀念宜詳細說明。
7.教學過程中有使用到尺規作圖畫一直角，建議可使用直角三角板畫出直角。
8.求三角形面積的題型時，可經由特殊三角形（如：直角三角形、等腰三角形、正三角形等）求面積，再至一般三角形求面積。
参、一般教學討論
1.讓學生充分時間演練和趕課程進度，一直是兩難的局面。如何取捨讓學生學習獲得最大效益，考驗著教師的智慧。
2.國中小課程協接問題，理論上而言應由國小銜接而非國中，但是國小教師並非全是數理本科出身，在課程有教授上的困難。但是近年來國小時常舉辦類似增進國小教師能力的研習活動，盼藉由積極宣導加強，在五年後可以回收成效。
肆、問題與建議
1.希望往後研習可多舉辦類似活動，透過實地教學研習，可立即意見交流分享，在實務上幫助較大。
2.往後研習將改成全縣區域聯盟研習，也就是分為「山、中、海線研習」，避免教師舟車勞頓。