北區跨縣市國中「數學遊戲教學活動與工作單設計」工作坊
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一筆畫的遊戲
桃園縣國中數學輔導團/桃園縣平鎮國中 劉建成
一、前言
一筆畫，自古以來就是一種數學遊戲，一筆畫問題是圖論中一個著名的
問題。一筆畫問題起源於柯尼斯堡七橋問題。數學家歐拉在他 1736 年發表
的論文《柯尼斯堡的七橋》中不僅解決了七橋問題，也提出了一筆畫定理，
順帶解決了一筆畫問題。一般認為，歐拉的研究是圖論的開端。
二、規則說明
用圖論的術語來說，就是判斷這個圖是否是一個能夠遍歷完所有的邊而
沒有重複。這樣的圖現稱為歐拉圖。這時遍歷的路徑稱作歐拉路徑，意思
是畫一個圖形時，以某點為起點，找出一路線，使它能夠經過圖形上所有
部份而畫成圖形，同一地點不能畫二次或以上（重覆畫）
，要一次畫完，起
點與終點不一定要相同。
【例一】 【例二】
【例三】 【例四】
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三、活動內容
1.試試看自己可否用不同之路徑完成一筆畫
【例一】
【例二】
【例三】
【例四】
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2.請用一筆畫完成下列圖形
(1
)
可以
不可以，至少要 筆
(2)
可以
不可以，至少要 筆
(3)
可以
不可以，至少要 筆
(4)
可以
不可以，至少要 筆
(5)
可以
不可以，至少要 筆
(6)
可以
不可以，至少要 筆
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(7)
可以
不可以，至少要 筆
(8)
可以
不可以，至少要 筆
四、綜合討論
1.請問你完成了哪幾題的一筆畫？
2.請問是否有些是無法一筆劃完成的？
3.請說明能完成一筆畫的圖形特性？
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一筆畫遊戲回饋單
班級： 座號： 姓名：
1.請問一筆畫遊戲對你來說困難度如何？
2.請設計一個能一筆畫完成的幾何圖形？
3.請設計一個不能一筆畫完成的幾何圖形？
4.你可不可以調整遊戲規則，再發展一個新的遊戲？
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教學建議與參考解答
要作一筆畫之前，應先判別該圖形是否可以作？要判別哪些圖形能一
筆畫完成，那些不能，首先要認識兩個名詞"單數點"、"雙數點" 通過點的
線條數目是雙數，稱為雙數點，通過點的線條數目是單數，稱為單數點。
(1)圖形裡如果沒有單數點，都可以一筆畫畫成的。
(2)圖形裡如果只有一對單數點，那麼也可以一筆畫畫成。
(3)圖形裡的單數點如果是多於 2 個，就無法一筆畫完成。
因此，奇數點的地方不是「起點」
，就是「終點」
，而且因為圖形必有一
個起點，一個終點，所以，圖形上如果有「奇數點」的話，只能有二個「奇
數點」！所以上面 8 個例題中第 6 和第 7 是無法一筆畫完成的。