1
臺中市高級中學 112 學年度第二次分科測驗數學甲
第壹部分：選擇(填)題(占 76 分)
一、單選題(占 18 分)
1. 小明統計本次期中考十個科目的成績，發現最高分為 100 分，最低分為 40 分，且小明這
十科成績的標準差最小為 k，則下列何者為最靠近 k 的整數？
(1) 11 (2) 12 (3) 13 (4) 14 (5) 15
2. 下列哪一個函數圖形在閉區間[1, 2]和 x 軸，
1,
2
x
x
=
=
所圍區域繞 x 軸旋轉所得體積最大？
(1)
2
y
x
=
(2)
2
4
y
x
= − + (3)
3
y
x
x
=
− (4)
|
1|
|
2 |
y
x
x
= + +
−
(5)
2
12
y
x
=
−
3. 坐標平面上 O 為原點，點 A 的坐標為(3, 4)，點 P 為圓
2
2
(
2)
(
5)
36
x
y
+
+
−
=
上的動點，則
以滿足|
| 16
OA OP
⋅
=
的所有 P 點為頂點的多邊形面積為何？
(1)
256
14
25
(2)
224
14
25
(3)
128
14
25
(4)
256
14
5
(5)
224
14
5
二、多選題(占 40 分)
4. 已知
2
3
2
1,
1
( )
,1
2
,
2
ax
x
f x
x
b
x
x
cx
d x
+
≤
=
+
< <
− + +
≥
，其中 a，b，c，d 為實數。若
( )
f x
為可微分函數，試選出
正確的選項。 (1)
(1) 1
f ′
=
(2)
(2)
4
f ′
=
(3)
4
a
b
c
d
+ + + =
(4)
( )
f x
圖形在
1
x
= 的切線方程式為
2
1
y
x
=
+
(5)
2
0
17
( )
3
f x dx
=
∫
5. 己知多項式函數
2
( )
4
g x
x
x
=
−
，且多項式函數
( )
f x
除以
( )
g x
的餘式為 3
2
x
− ，試選出正確
的選項。(1)
( )
0
f x
=
在
0
x
> 處必有實根 (2)
(
5) ( )
x
f x
+
除以
( )
g x
的餘式為 20
10
x
−
(3)
2
[ ( )]
f x
除以除以
( )
g x
的餘式為 24
4
x
− (4) 若
( )
f x
除以
[(
7) ( )]
x
g x
−
的餘式為
( )
r x
，
則
( )
r x
除以
( )
g x
的餘式必為 3
2
x
− (5) 若
2
( ) 2
lim
3
x
f x
x
x
→∞
+
= −
，則
(5)
2
f
= −
6. 已知坐標平面上圓 C 的兩條切線為
1
2
:
7
:
5
L
y
x
L
y
x
= +
= −
、
，且圓 C 上有一點
(6,1)
A
，試
選出正確的選項。(1) 圓 C 面積為18
π
(2) 圓心落在直線
2
1 0
x
y
+
− =
上 (3)
1
L 與直線
2
1 0
x
y
+
− =
的鈍夾角大於
120
(4) 圓 C 上的點皆落在直線
2
1 0
x
y
+
− =
的同一側
(5) 若圓 C 上一點 P 到原點(0, 0)的距離為正整數，則點 P 共有 9 種可能
7. 某箱子內有紅球、藍球、白球各 5 顆，每種顏色的球皆有 1 號至 5 號，今小軒一次取一球，
取後不放回，共取三球，已知取出每球的機會均等。試選出正確的選項。
(1) 若取得 n 號球可得獎金 n 元，則小軒得到得獎金期望值為 8.5 元
(2) 三球的號碼依序成等差數列的機率為
41
455
(3) 三球顏色皆相異，且三球的號碼依序成
等差數列的機率為
9
455
(4) 在三球顏色皆相異的條件下，三球的號碼依序成等差數列的
機率為
11
125
(5) 若改為一次取出 n 球，令 n 球編號和為偶數的情形有
n
K 種，則
3
12
455
K
K
+
=
8. 若正數 a 與 b 滿足
3
2
2
b
a
b
<
<
，試選出正確的選項。 (1)
1
a
< 且
1
b
< (2)
2
2
a
b
−
−
<
(3)
log
log
a
b
a
a
b
<
(4)
1
log(
1)
log
b
b
a
a
+
+
<
(5)
sin(
)
sin(
)
a
b
π
π
+
>
+
RA5127
2
三、選填題(占 18 分)
9. 一長方形木板 ABCD 斜靠在牆壁上，如右圖，已知
2 3
AD
=
，
2
AB
=
，且 DAO
∠
為銳角，若 OB 的最大值可表為 a
b
+
，
其中 a，b 皆為整數，則 a b
+ = 。
10.已知空間向量
(4,1, 3),
(2, 3,1),
(3, 7, 1)
a
b
c
=
=
=
−
。若
a
在
b
，
c
所張成平面上的正射影
為 x b
y c
+
，則
x
y
−
= 。(化為最簡分數)
11.試求
2
2
2
2
2
2
2
3
lim
4
(3 1 )
4
(3 2 )
4
(3
)
n
n
n
n
n
n
→∞
− ×
+
− ×
+
+
− ×
之值為
。(化為最簡根式、最簡分數)
第貳部分：混合題或非選擇題(占 24 分)
12-14 題為題組
已知坐標平面上兩函數
3
3
1
2
:
2,
:
2
3
4
y
x
y
x
x
Γ
=
− Γ
=
−
−
，試回答下列各題。
12.試求
1
Γ ，
2
Γ 兩函數圖形交點的 x 坐標為 和 。(全對才給分)
(選填題，2 分)
13.試求
1
Γ ，
2
Γ 兩函數圖形所圍成的區域面積。(非選擇題，4 分)
14.若
1
Γ 經過線性變換
0
a
T
b
c
=
變換後得到
2
Γ ，試求 a b c
+ + 之值。(非選擇題，6 分)
A
O
B
C
D
3
15-17題為題組
已知正△ABC邊長為a， CD 是
AB
邊上的高，E、F分別是 AC 與 BC 邊上的點，且滿足
CE
CF
k
CA
CB
=
=
，如圖(一)。現沿著 CD 對摺後豎立，使平面ACD與平面BDC垂直，如圖(二)，
試回答下列各題。
15.如圖(二)，試判斷對摺後直線AB與平面DEF是否相交，並說明原因。(非選擇題，3分)
16.設圖(二)中平面ABC與平面ACD所夾的兩面角為
θ
，試求 sin
θ
。(非選擇題，4分)
17.若圖(二)中向量
AB
與向量
DE
所夾的角為
α
，且
2
cos
7
α
= −
，則k之值為 。
(化為最簡分數)(選填題，5分)
參考數值：
2
1.414, 3
1.732, 5
2.236, 6
2.449,
3.142
π
≈
≈
≈
≈
≈
對數值：
log 2
0.3010, log 3
0.4771, log 5
0.6990, log 7
0.8451
≈
≈
≈
≈
B
C
D
A
E
F
圖(一)
圖(二)
A
D
B
C
E
F
4
RA5127
臺中市高級中學 112 學年度第二次分科測驗數學甲
參考答案
選擇題：1.(3) 2.(5) 3.(1) 4.(2)(4) 5. (1)(4)(5) 6.(1)(4) 7.(2)(5) 8.(1)(3)(5)
選填題：9. 10 10.
11
3
11.
2 3
3
3
2
π
+
混合題或非選擇題：12.
1
−
和 2 13.
27
4
平方單位 14. 0
15. 否，略 16.
2 7
7
17.
2
3