1
臺中市高級中學
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臺中市高級中學 111 學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
(111-
中
中
中
中 1)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題(占
占
占
占 90 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
1. 溶液的 pH 值是將溶液中氫離子濃度的常用對數值加上負號。以
H
+
表示氫離子濃度，則
pH
log H
+
= −
。現在把
pH
值為
4
與
5
的酸性溶液依
1
：
2
比例混合，則此混合溶液的
pH
值最接近下列哪一個選項？
(1) 4.2 (2) 4.4 (3) 4.6 (4) 4.8 (5) 4.9
2.
已知方程式：
10
4
0
x
x
+ − =
的解為
x
α
=
，
log
4
0
x
x
+ − =
的解為
x
β
=
，則
10
log
α
β
+
之值
為下列何者？
(1) 4 (2) 5 (3) 8 (4) 10 (5) 16
3.
從
6
個男生、
5
個女生中，隨機選出
4
人，其中選出男生人數的期望值為 E 人，則 E 最接
近下列哪個整數？
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5)4
4.
數列
n
a
的規律如下表所示：
(
n
a 相較於
1
n
a
−
，少加了頭尾兩個數字
)
1
a
10 11 12
998 999 1000
+
+
+
+
+
+
⋯
2
a
11 12
998 999
+
+
+
+
⋯
3
a
12
998
+
+
⋯
⋮
⋮
若
1
2
50
10
L
a
a
a
+
+
+
=
⋯
，試求最接近 L 的整數為下列何者？
(1) 5 (2) 6 (3) 7 (4) 8 (5) 9
5.
設 x、y 為任意實數，試求
|
5 |
|
3 |
|
|
x
y
x
y
+
+
−
+
−
的最小值為下列何者？
(1)
沒有最小值
(2) 0 (3) 2 (4) 5 (5) 8
6.
小英跟小哲輪流在坐標平面上畫圖，當小英在某些範圍將圖形畫在 x 軸下方時，則小哲在
這些範圍必不能將圖形畫在 x 軸下方；若小英畫的圖形為
2
6
y
x
x
=
+ − ，小哲畫的圖形為
2
12
y
x
kx
= −
−
+
，試問有幾個整數 k 能滿足上述的限制？
(1) 3
個
(2) 4
個
(3) 5
個
(4) 6
個
(5) 7
個
二
二
二
二、
、
、
、多
多
多
多選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
7.
下列選項哪些正確？
(1)
已知 a 為有理數，b 為無理數，則 a b
+ 必為無理數
(2)
已知 a、b 為有理數，c、d 為無理數，若 a c b d
+ = + ，則 a
b
= 且 c
d
=
(3)
已知 a、b 為正實數，則
2
a
b
ab
a
b
+ −
=
−
(4)
已知 a、b 為正實數，若
2
2 2
a
b
ab
+
=
，則 a b
=
(5)
已知 a、b 為負實數，則
2
a b
ab
− −
≥
8.
己知平面上有圓
2
2
:
2
4
20
0
C x
y
x
y
+
−
−
−
= 及兩點
(9,8)
A
，
(4, 6)
B
，試問下列選項哪些正
確？
(1)
圓心為
(1, 2)
，半徑為
25 (2)
過 B 點且與圓 C 相切的直線方程式為
3
4
36
0
x
y
+
−
=
(3)
圓 C 上到 A 點最遠距離的點為
( 3, 1)
− −
(4)
過 A 點作圓 C 的兩切線，切點為 P、Q，則
5 3
PQ
=
(5)
圓 C 上恰有兩個點與直線
: 6
8
47
L
x
y
+
=
的距離等於
5
2
9.
下列各圖中的三角形均為全等的直角三角形，且兩股皆為水平或鉛直方向，
1
2
5
, ,
,
r r
r
⋯⋯
分
別為圖
(
一
)
到圖
(
五
)
中，三角形頂點坐標 x，y 分量間的相關係數，請選出正確的選項。
(1)
1
0
r
>
(2)
1
2
r
r
=
(3)
4
0
r
=
(4)
1
2
3
1
(
)
2
r
r
r
+
=
(5)
4
5
r
r
=
RA394
2
10.
搜集
100
份某商品價格
(
x
)
與銷售量
(
y
)
的數據，資料整理後，可知
17,
10
x
y
µ
µ
=
=
，且
y 對 x 的最適合直線 L 的斜率 m
=l.8
，請選出正確的選項。
(1)
L 通過點
(17, 10) (2)
x，y 的相關係數
1
r
>
(3)
x
x
y
y
µ σ
µ σ
<
(4)
x
y
σ
σ
>
(5)
L 通過點
(27, 28)
11.
關於函數
( )
sin 3
cos 3
2
f x
x
x
=
−
+ ，請選出下列正確的選項。
(1)
2
( )
2
f x
− ≤
≤
(2)
( )
f x 的週期為
3
π
(3)
將函數
2 sin 3
y
x
=
的圖形向右平移
4
π
單
位，再向上平移
2
單位，可得到
( )
y
f x
=
的圖形
(4)
(1)
2
f
>
(5)
( )
y
f x
=
的圖形對稱
於直線
11
12
x
π
=
12.
設 P 為△ABC 內部一點，且
1
1
3
4
AP
AB
AC
=
+
，若 CP 交 AB 於
E，且
AP
交
BC
於
D
，請選出下列正確的選項。
(1)
:
3 : 4
BD CD
=
(2)
:
7 :12
AP AD
=
(3)
:
3 : 4
AE BE
=
(4)
9
49
ACP
ABC
∆
=
∆
面積
面積
(5)
4
21
AED
ABC
∆
=
∆
面積
面積
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題
(
占
占
占
占
30
分
分
分
分
)
13.已知數列
n
c
的首項
1
5
3
c
=
，若
n
c 化為最簡分數為
n
n
b
a
(
n
a 可能為
1)，且
1
2
1
n
n
n
a
c
b
+
+
=
+
，試求
1
2
21
c
c
c
+
+
+
=
⋯⋯
。(化為最簡分數)
14.所謂七言對聯是由上聯、下聯各七個字構成的，例如：至樂無聲唯孝悌，太羹有味是詩書。
每個字均為平聲或仄聲，一般而言有三個限制：
I.「一三五不論，二四六分明」
：每句的第二、四、六個字要平仄交錯(即為平、仄、平或
仄、平、仄兩種)，但第一，三，五個字沒有限制。
II.「仄起平收」
：上聯的最後一個字為仄聲，下聯的最後一個字為平聲。
III.「上下相對」
：上聯、下聯的第二，四，六個字必須分別相對。例如：上聯的第二個
A
B
C
D
E
P
3
字為仄聲，下聯的第二個字就要是平聲。
根據以上限制，一副七言對聯的平仄有 種情形。
15.小明到遊樂園玩雲霄飛車，軌道為三次函數
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
d
=
+
+
+ 圖形的一部分，軌道中
心(對稱中心)的 x 坐標為
1
−
，當飛車行經
2
x
= −
時，小明手錶沒戴好，沿著直線
3
5
y
x
=
+ (局
部特徵， ( )
f x 在
2
x
= −
附近的一次近似)飛出，大華在遙遠處看軌道近似
3
2
y
x
=
圖形的一
部分(廣域特徵)，則
a b
c
d
+ + +
=
。
16.如右圖，圓
2
2
0
x
y
dx
ey
f
+
+
+
+
= 通過(0, 0)，圓心在第三象限
，此圓在第二象限內的弧長為
π
，在第四象限內的弧長為
2
π ，
則 d e
f
+ +
= 。(化為最簡根式)
17.設
8
AB
= ，C 點在 AB 上，
6
AC
= ，以 AB 、 AC 、 BC 為直徑
分別作半圓，則與此三半圓均相切的圓如右圖所示，
其半徑為 。(化為最簡分數)
18.在坐標平面上，四邊形 ABCD 的頂點坐標分別為 (1, 3)
(7, 3)
(7,5)
(1,5)
A
B
C
D
−
−
、
、
、
，若無論
a、b 為任何正實數，直線
:
3
L ax
by
+
= 都平分四邊形 ABCD 的面積，則
8
2
a
b
+
的最小值為
。(化為最簡分數)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合
混合
混合
混合題或非選擇
題或非選擇
題或非選擇
題或非選擇題
題
題
題
(
占
占
占
占
10
分
分
分
分
)
19-21 題為題組
從 1 到 10 的整數中，取出 n 個數，其總和為偶數的方法為
n
K ，試回答下列各題。
19.試選出
6
K 的值。
(多選題，3 分)
(1)
10
6
2
C
(2)
5
5
5
5
4
2
2
4
C C
C C
+
(3)
5
5
5
5
3
1
1
3
C C
C C
+
(4)
5
5
5
2
2
1
C C
C
+
(5)
5
5
5
5
4
2
2
4
C
C C
C
+
+
20.試求
1
2
10
K
K
K
+
+
+
=
⋯⋯
。(選填題，4 分)
21.若從 1 到 10 的整數中，隨機取出若干個數字(每個數字取或不取的機率相等，取到 0 個數
字的總和定義為 0)，其總和為偶數的機率是否等於
1
2
？ (非選擇題，3 分)
x
y
(0, 0)
A
B
C
4
RA394
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臺中市高級中學
臺中市高級中學 111 學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考(111-中
中
中
中 1)
參考答
參考答
參考答
參考答案
案
案
案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：
1.
(2)
2.
(1)
3.
(3)
4.
(3)
5.
(5)
6.
(4)
7.
(1)(5)
8.
(2)(3)(4)
9.
(1)(2)
10.
(1)(3)(5)
11.
(4)(5)
12.
(1)(2)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：
13.
79
3
14.
128
15.
8
16.
3 3 3
+
17.
12
13
18.
50
3
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：
19.
(2)(3)
20.
511
21.
是