1
臺中市高級中學 112 學年度學科能力測驗第一次模擬考
第壹部分：選擇題(占 85 分)
一、單選題(占 30 分)
1. 某班 35 位學生期中考數學成績的平均數為 60 分，標準差為 12.3 分，若將班上的最高分
(95 分)與最低分(30 分)兩筆資料刪除，另外計算其餘 33 人的成績，得到的新平均數為
µ
(分)，新標準差為
σ
(分)。試選出下列正確的選項。 (1)
60
µ
>
且
12.3
σ
≤
(2)
60
µ
<
且
12.3
σ
≤
(3)
60
µ
>
且
12.3
σ
>
(4)
60
µ
<
且
12.3
σ
>
(5)
60
µ
<
但無法確定
σ
與 12.3 的
大小關係
2. 設
a
、 b 為非零的兩相異實數，滿足
log 2
10
10
10
a
a
b
b
b
a
+
+
=
+
，則將
b
a
化為最簡分數為下列何者
？(1)
5
4
(2)
4
5
(3)1 (4) 2 (5)
1
2
3. 圓內接四邊形 ABCD 中，滿足
3
2
AC
AB
AD
=
+
，點 E 為對角線 AC 、 BD 之交點，
求 ABC
∆
與
ACD
∆
之面積比？ (1) 1：4 (2) 4：1 (3) 3：2 (4) 2：3 (5) 5：2
4. 坐標平面上有一光源在
( )
2,
P
k 處，另有一圓 C ：
(
) (
)
2
2
1
2
1
x
y
−
+
−
=
，若該光源將圓 C 投
射在 x 軸的影長為
AB
，且
AB
的中點為原點，則下列選項何者最接近 k 值？
(1) 4.5 (2) 4.6 (3) 4.7 (4) 4.8 (5) 4.9
5. 某商品價格的每日漲跌幅呈現「一日上漲10% 、再一日下跌10% 」每兩日一循環的穩定
情形。若該商品一開始的定價為10000 元，則幾日後，價格會開始低於原來價格的一半？
請選出最適合的選項。(1) 68 日 (2) 69 日 (3)137 日 (4)138 日 (5)價格維持在10000 元
6. 某三角形的邊長最大值與最小值相差 4，且三邊長形成等差數列，若其最大內角恰為最小
內角的 2 倍，則此三角形面積為下列何者？
(1)
15
2
(2)15 (3) 30 (4)
15 7
2
(5)15 7
二、多選題(占 30 分)
7. 設 x 、
y
均為實數，且滿足
1
2
x
− ≤ 且
1
x
y
+ ≤ ，請選出正確的選項。
(1) 1
3
x
− ≤ ≤ (2)
4
2
y
− ≤ ≤
(3)
2
2
5
25
x
y
≤
+
≤
(4)
2
6
x
y
−
≥ −
(5) 滿足題意的
(
)
,
x y 在坐標平面上形成的圖形面積為 24
8. 函數
( )
x
y
f x
a
=
=
的部分圖形與
k k
a b 軸的關係配置圖如右，其中
A
、
B
、 C 分別為 x 軸上由左至右的相異三點，而
P
、
Q
、
R
三點
y
坐標均為正數並都在
( )
y
f x
=
圖形上，且
AP
、
BQ
、
CR 均垂直 x 軸。請選出正確的選項。
(1)直線
2023
10
y
−
=
與
( )
y
f x
=
的圖形必定有交點 (2)設直線
PQ
斜率為
1
m 、直線
QR
斜率為
2
m 、直線
PR
斜率為
3
m ，則
1
2
3
m
m
m
<
<
(3)若 AB
BC
=
，則
2
AP CR
BQ
+
=
(4)若 AB
BC
=
且
B
為坐標原點，則
1
AP CR
×
= (5)先將
x
y
a
=
的圖形對稱於
y
x
=
，再
以 x 軸為中心(基準線)，鉛直伸縮為
log a
倍，可得到函數
log
y
x
=
的圖形
9. 甲、乙、丙、丁四人玩猜拳（剪刀、石頭、布）的遊戲，同時出拳一次，請選出正確的
選項。(1)尚未出拳前，甲、乙、丙三人都決定好一定會出剪刀，則此三人能贏拳的機率
為
1
2
(2)尚未出拳前，甲、乙兩人都決定好一定會出剪刀，則恰只有甲、乙贏拳的機率
RA396
2
為
1
9
(3)尚未出拳前，甲、乙兩人都決定好一定會出剪刀，則甲、乙能贏拳的機率為
1
3
(4)尚未出拳前，甲、乙兩人各自決定好分別一定會出剪刀跟石頭，則猜拳結果能分出勝
負的機率大於
1
2
(5)若四人隨機出拳，則猜拳結果能分出勝負的機率小於
1
2
10. 某一組二維數據資料
(
)
,
i
i
x y ，
1, 2,
, 20
i
=
，已知 x 的平均數
2
x
µ
= ，
y
的平均數
1
y
µ
=
，相關係數
0.8
r
= −
。此外，
y
對 x 的迴歸直線（最適直線）
L
通過點
(
)
2, 4
−
。
設 x 、
y
的標準差分別為
x
σ
、
y
σ
，請選出正確的選項。
(1)若從該組資料中任取 2 筆來比較，則 x 值較大的資料其
y
值較小
(2)迴歸直線(最適直線)
L
的斜率大於 0.8
−
(3)
x
y
σ
σ
>
(4)若新增一筆資料
5
0,
2
，再計算 21 筆資料的相關係數為
r′
，則
r
r
′ >
(5)若令
2
i
i
x
x
X
σ
−
=
，
1
i
i
y
y
Y
σ
−
=
，則
Y
對
X
的迴歸直線（最適直線）斜率為 0.8
−
11. 如右圖，在
ABC
∆
中，
90
C
∠ = °
，
D
、
E
、
F
分別在 AC 、
AB
、 BC
上，且 CDEF 為長方形，已知
6
AB
= ，
4
DE
=
，請選出正確的選項。
(1)
4 tan
AD
A
=
(2)
6 sin
4
BF
A
=
− (3)
2
EF
<
(4)
ABC
∆
面積為 9sin 2A
(5)當
ABC
∆
面積為最大值時，
2
50 24 2
DF
=
−
12. 已知滿足方程式 2
7
112
x
y
⋅
=
的所有數對
(
)
,
x y 在坐標平面上會形成一直線
L
，
請選出正確的選項。 (1)
L
通過點
( )
4,1 (2)
L
的 x 截距大於 7 (3)
L
不通過第三象限
(4)若直線
L′
與
L
垂直，則
L′
的斜率大於 3 (5)若
θ
為
L
與 x 軸所夾的銳夾角，
則
7
tan
log 2
θ
=
三、選填題(占 25 分)
13. 關於學測數學試題的選填題，須答對該題全部空格才能得到 5 分，但答錯不倒扣。
下方是某一選填題的最後一段文字，
考生小豪在考試時間截止前半分鐘還解不出來，但他知道答案是一個小於 1 的正數，
只好在答案卡該兩格隨機劃記符合格式(最簡分數)的答案，
則小豪本題得分之期望值為 分。(化為最簡分數)
14. 已知數列
n
a 的遞迴關係式為
1
2
1
1
cos
2
n
n
a
n
a
a
π
+
=
=
+
( n 為正整數)，
則此數列前 20 項之平方和
2
2
2
2
2
1
2
3
19
20
a
a
a
a
a
+
+
+ +
+
=
。
3
15. 正六邊形 ABCDEF 的邊長 4，若
P
、
Q
分別為 BC 、
DE
上的點，滿足 BP
PC
=
、
3
DQ
QE
=
，試求(內積) AP AQ
⋅
=
。
16. 設多項式
( )
f x 以升冪排列共有 20 項，且第 k 項均可表示為
k k
a b ，其中
1
a ，
2
a ，
，
20
a 是一個首項為 1，公差為 2 的等差數列；
1
b ，
2
b ，
，
20
b 滿足
1
1
b
= ，
1
k
k
b
x b
+
= − ⋅ ，其中
1, 2,
,19
k
=
。若
( )
f x 除以
2
1
x
−
的餘式為
( )
r x ，
則
( )
10
r x = 。
17. 已知
( )
f x 為滿足下列三個條件的四次多項式：
①
( )
f x 除以
(
)
3
1
x
+
的餘式為
1
x
+ 。 ②
( )
f x 的所有係數和為 6
− 。
③
( )
f x 的常數項為
2
−
。
而另一多項式
( )
g x 滿足
( )
( )
2
f x
x g x
+ = ⋅
，則
( )
y
g x
=
的圖形之對稱中心坐標
為 。(化為最簡分數)
第貳部分：混合題或非選擇題(占 15 分)
第 18 至 20 題為題組
坐標平面上 O 為原點，今有兩動點
(
)
cos , sin
P
θ
θ
、
(
)
2 cos 3 , 2 sin 3
Q
θ
θ
，其中
0
2
π
θ
≤ ≤
，試回答下列問題。
18. 若所有動點
P
形成的圖形為
1
Γ ，所有動點
Q
形成的圖形為
2
Γ ，兩圖形的長度分別為
1
S
、
2
S ，則
2
S 、
1
S 的比值
2
1
S
S
為下列哪個選項？ (1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 6 (5)
9
4
(單選題，3 分)
19. 試求出兩動點的距離
PQ
之最大值
M
及最小值 m ，以數對
(
)
,
M m 表示答案。
(非選擇題，6 分)
20. 試求出
OPQ
∆
面積的最大值及此時對應的
Q
點坐標。(非選擇題，4 分、2 分)
4
RA396
臺中市高級中學 112 學年度學科能力測驗第一次模擬考
參考答案
選擇題：1. (2) 2. (1) 3. (4) 4. (3) 5. (4) 6. (5) 7. (1)(2)(4) 8. (1)(4)(5) 9. (2)(3)
10. (2)(3)(5) 11. (2)(3)(4)(5) 12. (1)(3)(5)
選填題：13.
5
27
14. 770 15. 17 16.
21
19
x
−
+
17.
1
(
, 4)
2
−
−
混合題：18.
(4)
19. (3, 1) 20. 面積最大值 1，此時對應的
(
2, 2)
Q
−