1
臺中市高級中學
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臺中市高級中學 111 學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
學年度學科能力測驗第一次模擬考
(111-
中
中
中
中 1)數學
數學
數學
數學 B
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
1. 設 a，b，c 相異三數成等差，且
0
abc ≠ ，若
1 1 1
, ,
b c a
三數亦成等差，則下列選項何者正確？
(1) a，c，b 成等差 (2) a，c，b 成等比 (3) c，a，b 成等差
(4) c，a，b 成等比 (5) a，b，c 成等比
2. 如右示意圖，
45
BAC
BDC
∠
= ∠
=
，且
75
BCA
∠
=
，
45
ACD
∠
=
，若
3
AC =
，則
BD
=
？
(1) 2 2 (2) 3 (3) 2 3 (4) 2 6 (5) 6
3.
王子想要爬
17
階的階梯去救公主，且王子一次只可爬兩階或三階，試問王子爬上這個
17
階的階梯有幾種方法？
(1) 35
種
(2) 38
種
(3) 44
種
(4) 49
種
(5) 53
種
4.
若要用磁磚
在每個正方形區域周圍舖出小徑，如下所示。請問圍繞邊長為
101
的正方形區域需要多少片這樣的磁磚？
(1) 200
片
(2) 204
片
(3) 208
片
(4) 212
片
(5) 216
片
5.
根據以往的統計資料，新遊戲上市後，每過
1
日，遊玩人數會變為原本的
k
倍。已知某款
新遊戲上市，首日遊玩人數有
x
人，且
log
10
x =
，而
10
日後遊玩人數有
y
人，且
log
15
y =
，
試求
k
值範圍滿足下列哪個選項？
(1) 0
和
1
之間
(2) 1
和
2
之間
(3) 2
和
3
之間
(4) 3
和
4
之間
(5) 4
和
5
之間
6.
如右圖，有隻螞蟻從
O
點出發，先沿著
1
OA 走到
1
A
點，再沿著
1
2
A A
走到
2
A
點，再沿著
2
3
A A 走到
3
A
點，⋯⋯，依此規則，最後走到
10
A
點。而螞蟻的前進過程如右圖所示，其中
1
k
k
k
OA
A A
+
⊥
，
1, 2,
,9
k =
…
。已知
1
1
sin 9 ,
sin((
1) 9 )
k
k
OA
A A
k
+
=
=
+
⋅
，
1, 2,
,9
k =
…
試求
2
10
OA
的值為下列哪一個選項？
(1) 5 (2) 5.5 (3) 6
(4) 6.5 (5) 7
二
二
二
二、
、
、
、多
多
多
多選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
RB305
2
1
2
7.
已知圓
2
2
:
(
2)
5
C x
y
+
−
=
，則下列選項哪些正確？
(1)
若
( , )
P x y
為圓
C
上一點，則
2
2
(
5)
x
y
+
+
的最小值為
29 (2)
若
( , )
P x y
為圓
C
上
一點，且
( 2, 2)
A − −
，則
PA
有最大值時，
P
點的坐標為
(1, 4) (3)
過
(4, 4)
B
作圓
C
的切線，
則過
B
點的切線段長為
2 5 (4)
2
2
(
3)
4
x
y
+
+
=
的圖形與圓
C
相交於
2
點
(5)
直線
:
2
2
0
L x
y
−
−
=
與圓
C
相切於一點
8.
右圖是三次函數
3
( )
(
)
f x
a x
b
=
+
及四次函數
4
( )
g x
cx
d
=
+
的圖形，
已知
( )
y
f x
=
與
( )
y
g x
=
的圖形交於
A
、
B
兩點，其中
A
點在
x
軸
上，
B
點在
y
軸上，則下列選項哪些正確？
(1)
0
a >
(2)
0
b <
(3)
0
c >
(4)
0
d >
(5)
0
a bc
+
=
9.
已知
0
a >
且
1
a ≠ ，關於指數函數及對數函數的敘述，下列選項哪些正確？
(1)
指數函數
x
y
a
=
與對數函數
log
a
y
x
=
的圖形對稱於直線 y
x
= −
(2)
方程式
log
x
a
a
x
=
之解
x
的個數最少為
1
個
(3)
若
P
點與點
(0,1)
在同一條水平線上，且
P
點在
log
y
x
=
的圖形上，且
P
點的
x
坐標為
10 (4)
若 0
1
a
<
<
，則
x
y
a
=
與
log
a
y
x
=
的圖形
皆為由左而右逐漸下降
(5)
對所有的
0
x >
，若
log
x
a
a
x
>
，則 0
1
a
<
<
10.
已知
a
b
c
、 、
為平面上三個非零向量，則下列選項哪些正確？
(1) 若 a
b
//
，則 c 在 a 上的正射影與 c 在 b 上的正射影一定相同
(2)
2
2
|
| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
⋅
−
=
−
+
(3) 若
2
2
|
|
|
|
4
a
b
a
b
a b
−
−
=
⋅
+
，則 a
b
⊥
(4) 已知 x、y 為非零實數，若 a
b 且 OP
x a
y b
=
+
滿足
2
x
y
xy
+
=
，則 OP 和 ( a
b
+
)
平行且方向相同 (5) 若 a
b 且 a
b
、 的始點皆為 O 點，而 Q 點滿足
(
)
(
)
OQ
x
y a
x
y b
=
+
+
−
，其中
0
1
0
1
x
y
≤
≤
≤
≤
，則 Q 點在平面上所構成的區域是一個線段
11.甲、乙兩間公司各有 40 名員工，年薪分布在 1~100 萬元之間。由於物價大幅上漲，通膨
嚴重，甲、乙兩間公司的老闆決定以
1
1
1.1
12
y
x
=
+
和
2
2
0.8
36
y
x
=
+
的方式來調薪，其中
1
x 、
2
x 分別代表甲、乙兩間公司員工的原始年薪，
1
y 、
2
y 分別代表甲、乙兩間公司員工調整
後的年薪，單位皆為：萬元。已知調整後甲、乙兩間公司員工的平均年薪均為 60 萬元，
調整後的最高年薪均恰好為 100 萬元，且調整後的標準差分別為 16 萬元和 12 萬元，試選
出正確的選項。 (1) 乙公司每名員工調整後的年薪均比其原始年薪高 20 萬元以上
(2) 甲公司員工原始年薪的平均比乙公司員工原始年薪的平均高 (3) 甲公司員工原始年
薪的標準差比乙公司員工原始年薪的標準差高 (4) 若甲公司 A 員工調整後的年薪比乙公
司 B 員工調整後的年薪高，則 A 員工的原始年薪比 B 員工的原始年薪高 (5) 若甲公司員
工調整後年薪低於 60 萬元的人數比乙公司員工調整後年薪低於 60 萬元的人數多，則甲公
司員工原始年薪低於 60 萬元的人數必定比乙公司員工原始年薪低於 60 萬元的人數多
12.烏 俄戰爭如火如荼地進行著，根據無人機的情報顯示，
如右圖，有一俄軍的坦克以時速 40 公里，朝東偏北θ 度
的方向等速直線前進(其中
4
cos
5
θ
=
)，同時，阿基在此坦克
東方 10 公里處，扛著刺針飛彈，照著無人機情報的指引，
3
以時速 5 公里，垂直坦克前進的方向等速直線前進。而刺針飛彈的攻擊範圍是以阿基為圓
心，半徑 5 公里的圓形區域，試問當時間經過 k 分鐘，下列敘述哪些正確？
(1) 當
10
k =
，坦克會落在阿基刺針飛彈的攻擊範圍
(2) 當
12
k =
，坦克會落在阿基刺針飛彈的攻擊範圍
(3) 當
15
k =
，坦克會落在阿基刺針飛彈的攻擊範圍
(4) 在不考慮刺針飛彈飛行速度的情形下，坦克進人阿基的攻擊範圍後，阿基有 3 分鐘以
上的時問發射飛彈
(5) 在不考慮刺針飛彈飛行速度的情形下，坦克進入阿基的攻擊範圍後，阿基只有不到 2
分鐘的時間能發射飛彈
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題
(
占
占
占
占
25
分
分
分
分
)
13.已知
0,
0
a
b
>
>
且坐標平面上兩平行線
1
2
L L
、 ，若
1
L 的 x 截距為 a，y 截距為 b；
2
L 的 x 截
距為 (
4)
a +
，y 截距為 (
7)
b +
，則
a
b
= 。(化為最簡分數)
14.設 a，b，c 為 1 至 9 的正整數，若循環小數 0.abc 在
599
900
與
600
900
之間，
則
a b
c
+
+
=
。
15.某班有 40 位同學，這 40 位同學全部都施打過一劑 COVID-19 疫苗，其中一些同學施打的
是 BNT 疫苗，其餘的同學施打的是莫德納疫苗，沒有人兩劑都打。若隨機挑選 2 位同學，
則這 2 位同學均是施打 BNT 疫苗的機率為
1
10
。今隨機挑選 3 位同學，則這 3 位同學中有
人施打 BNT 疫苗，也有人施打莫德納疫苗的機率為 。(化為最簡分數)
16.歐爸想要從接下來的連續 10 天中挑 5 天，每天從事一項運動來鍛鍊身體，其中 3 天做重
量訓練、2 天游泳，其他 5 天休息，並且希望連續兩天不做相同的運動，
則歐爸有 種安排運動的方法。
17.2022 年是學校百週年校慶，英士想幫學校設計一個 logo
圖案(如右圖)，這個圖案是以 A 點為中心的點對稱圖形，
兩平行線垂直兩圓的連心線，且兩圓的交點和兩圓心可
連成一個正方形。如果兩圓的半徑均為 4，且兩平行線
的距離為 6 2 2 6
−
，試求灰色部分的面積為 。
第
第
第
第貳部分
貳部分
貳部分
貳部分：
：
：
：混合
混合
混合
混合題或非選擇
題或非選擇
題或非選擇
題或非選擇題
題
題
題
(
占
占
占
占
15
分
分
分
分
)
18-20 題為題組
J 牌腳踏車大廠生產一款新型腳踏車，根據該公司以往的生產曲線知道，新型腳踏車量
產之後第 x 個月的每輛生產成本函數 ( )
f x 會符合數學模式：
7000
( )
(
)
f x
x
=
元 。試回答下列問
題：
18. 若
2x
x
量產之後第 個月的每輛生產成本
量產之後第 個月的每輛生產成本
為一個固定數
α
則
α
？ (單選題，5 分)
(1)
2 (2)
1
2
(3) 7 (4)
2
2
(5)
7
19. 若廠商將量產之後第 x 個月的每輛新型腳踏車的售價訂為
9000
4000
( )
2000
p x
x
x
=
+
−
(元)
，試問廠商從第幾個月後才會達到不虧損的情況？ (非選擇題，5 分)
20. 承 19.題，試問廠商每輛腳踏車最多可賺多少元？ (非選擇題，5 分)
4
RB305
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(111-
中
中
中
中 1)數學
數學
數學
數學 B
參考答
參考答
參考答
參考答案
案
案
案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：
1.
(4)
2.
(2)
3.
(4)
4.
(2)
5.
(4)
6.
(2)
7.
(2)(4)
8.
(1)(4)(5)
9.
(3)(4)
10.
(1)(4)
11.
(1)(2)(4)
12.
(2)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：
13.
4
7
14.
17
15.
27
40
16.
966
17.
8
24
3
π
−
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：
18.
(4)
19.
第一個月
20.
2250 元