1
臺中市高級中學 112 學年度學科能力測驗第一次模擬考
第壹部分：選擇題(占 85 分)
一、單選題(占 30 分)
1. log 2024 最接近下列哪個數字？(1) 3.2 (2) 3.3 (3) 3.4 (4) 3.5 (5) 3.6
2. 若 a 為實數，已知方程式 |
|
|
2 | 6
x
a
x
a
−
+
+
= 恰有兩解，則下列何者可能為 a 值？
(1)
−4 (2) −2 (3) 0 (4) 2 (5) 4
3. 設 a、b 為實數，已知坐標平面上三點 (0, 0)
O
， (8, 0)
A
， (0,3)
B
，若
(3
)
(
2
)
OA b OB
a OA
OB
+
⊥
−
，則
b
a
之值為下列何者？(1)
8
3
(2)
16
3
(3)
32
3
(4)
3
8
(5)
3
16
4. 不等式
2
2
2
2
2
(
5) (
1)(3
5)
(
5) (
1)(3
5)
x
x
x
x
x
x
x
x
+
− +
− ≥
+
− +
−
的整數解之和為何？
(1)
−3 (2) −1 (3) 1 (4) 2 (5) 3
5. 某人每餐都有吃水果的習慣，今天一早起來，發現家裡還有 13 顆水果，分別為 4 顆蘋果
、3 顆橘子、2 顆奇異果、2 顆水蜜桃、1 顆芭樂、1 顆蓮霧。他決定今天的早、中、晚餐
各吃一顆水果，且從家裡現有的水果中挑選，若同種水果視為相同物，則他今天三餐水
果有幾種分配的方式？(1) 32 種 (2) 82 種 (3) 120 種 (4) 182 種 (5) 242 種
6. 設 a、b、c 為實數，若
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的圖形如右圖，則下列何者可能
為
sin(
)
y
a
bx
c
=
+ 的圖形？
二、多選題(占 25 分)
7. 請選出正確的選項。(1) 若 a，b 為實數，則
2
a b
ab
+
≥
(2) 若
0
x
> ，則
9
x
x
+ 的最小值
為 6 (3) 若
θ
為銳角，則
9
sin
sin
θ
θ
+
的最小值為 6 (4) 若
0
x
> ，則
2
2
9
3
1
3
1
x
x
x
x
−
+ +
−
+
的最小值為 6 (5) 若 x 為實數，且
2
2
2
2
(
+
1)+(
+3
5)
= (
+
1)(
+3
5)
2
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+ ，則
2
x
= −
8. 有一邊長為 8 的正方形色紙 ABCD，將其對摺使 A 與 B 重疊、C 與 D
重疊後攤開產生摺痕 EF (如右圖所示)。已知 Q 為 FD 上一點，P 為 EF
上一點，將三角形△ADQ 沿 AQ 對摺後， AD 恰好與 AP 重疊。
請選出正確的選項。(1)
4 3
EP
=
(2) △ADP 的面積為 16
(3)
15
QAD
∠
= ° (4)
16 8 3
QD
=
−
(5) △PQD 的外接圓面積大於16
π
RB307
2
9. 已知多項式函數 ( )
f x 的廣域(大域)特徵與
3
2
y
x
=
近似，在
1
x
= 附近的
一次近似為
5
4
y
x
=
− ，且對稱中心為 (2, )
k ，請選出正確的選項。
(1) ( )
f x 除以 (
1)
x
− 的餘式為 1 (2) ( )
f x 除以
2
(
1)
x
−
的餘式為 1 (3)
(3)
3
f
=
(4)
2
k
= − (5) 設 a， p R
∈ ，若
( )
y
f x
=
的圖形經平移後可與
3
y
ax
px
=
+
的圖形重疊，
則
1
a
p
+ =
10. ETF 的全名是 Exchange Traded Fund，中文名為指數股票型基金，意思是 ETF 將追蹤某
個指數，並可在股票交易所買賣。而所謂的現金股利 1 元，代表持有 1 股就可以在配發
現金股利時領到 1 元。某人觀察某高配息 ETF 每年的價格都在 15~17 元之間，且每年穩
定配發 1 元現金股利 1 次，他預計每年年初用 120000 元以每股 16 元的價格購入此
ETF，並於隔年年初將前一年所得之股利加上 120000 元全數再以每股 16 元的價格購入
此 ETF，以此類推，一直購入此 ETF 且絕不出售。假設他每年年初都能以每股 16 元完
成購買，且此 ETF 每年也固定配發 1 元股利 1 次，若忽略股數、股利須為整數這些條
件，則下列敘述哪些正確？
n
31
32
33
34
35
36
37
38
39
17
16
n
6.55
6.96
7.39
7.86
8.35
8.87
9.42 10.01 10.64
(1) 第一年年初用 120000 元以每股 16 元的價格購入此 ETF，可購買 7500 股
(2) 第一年配發現金股利時、某人可配的股利 7500 元 (3) 第二年某人年初購買 ETF 後，
會有 15468.75 股 (4) 某一筆 120000 元購買的股數放至第 k 年底，包含此筆現金股利購
買的部分，累積會有
17
7500
16
k
股 (5) 若他想達到總股數 1 百萬股(稱為存股)的目標，則
最少需要 37 年
11.下列兩圖分別為臺灣男生、女生 12 歲到 18 歲的生長(身高、體重)曲線圖：
資料來源：臺灣兒科醫學會網站
3
某校高三的 10 位學生之身高體重如下表：
已知這 10 人年齡皆滿 17 歲但未滿 18 歲，男生、女生平均身高分別為 171、165 公分且男
生、女生平均體重分別為 70、58 公斤，若 x 為身高、y 為體重，則根據上述資料，所得 y
對 x 的迴歸(最適)直線方程式為 y
a bx
= +
，下列選項何者正確？
(1) 此 10 人中，體重 52 公斤的女生，其體重低於至少 85%的臺灣同年齡女生人口
(2) 此 10 人中，身高達同年齡該性別中位數以上(含)的人數為 7 人
(3) 此 10 人中，身高為第 70 百分位數介於 170 公分到 171 公分之間
(4) 此 10 人中，身高為標準差為 3 3 公分
(5) 測量體重時，體重計校準歸零有誤，重新校準後，每個人的體重都要減 2 公斤。若修
正後數據的迴歸(最適)直線方程式為 y c dx
= +
，則
0
d
b
= > 且
2
c
a
= −
三、選填題(占 30 分)
12. 已知某數列的遞迴關係式為
1
2
1
1
sin(90
) 2
n
n
a
a
a
n
n
−
=
=
+
°×
≥
，
，則前 100 項的和為 。
13. 已知直線
:
1
x
y
L
a
a
+ = 與圓
2
2
: (
)
(
)
1
C
x
a
y
a
−
+
−
= ，今擲一顆公正骰子一次，出現點數為
a，則 L 與 C 沒有交點的機率為 。(化為最簡分數)
14. 右圖為某大型裝置藝術的平面圖，已知圓弧
BC 與 AB 相切於 B 點且與
AC
相切與 C 點，且測量出 AB 的長為 6 公尺，
60
CAB
∠
=
°。若此裝置藝術
平面圖的面積為 a b c
π
+
，其中 a、b、c 為整數，且
5
b
< ，則
a b c
+ + = 。
15. 某超商舉辦「飲料抽抽樂活動」，活動辦法如下：「購買 2 瓶飲料，可抽獎 1 次。獎項
為兩瓶中較低價的那瓶飲料享”打 8 折”、”打 5 折”或”1 元”三種之一的優惠。」已知抽
中打 8 折的機率為 50%，抽中打 5 折的機率為 40%，抽中 1 元的機率為 10%。若某人買
了一瓶 30 元和一瓶 40 元的飲料，則他付款金額的期望值為 元。
16. 若
( )
y
f x
=
的函數圖形與
3
1 log
y
x
= − +
的函數圖形對稱於直線 y
x
= ，且 (50)
f
為 m 位數
字，則 m= 。
17. 如右圖，△ABC 中，D 為
BC
上一點且
2 5
AB
AD
=
=
，
4
BD
= ，
1
CD
=
，若△ABD 和△ACD 的外接圓半徑分別為 R
1
、R
2
，
則
2
1
R
R
= 。
男生
女生
身高(公分) 166 167 170 174 178 160 162 164 168 171
體重(公斤)
45
81
56
72
96
46
52
60
64
68
4
第貳部分：混合題或非選擇題(占 15 分)
18-20 題為題組
一走廊的地板由大小相同的長方形木板排列而成，且在左側
牆面上有一長方形的門。某人在圖紙上，將其繪製成單點透視圖，
如右圖，圖中 ABCD 為門，四邊形 ABB
1
A
1
及四邊形 BQQ
1
B
1
所
對應的為實際地板上相同的兩塊長方形木板。單點透視圖中地板上
的點 A、B、Q 共線，E、F、R 共線，且三直線 AB CD EF
、 、
交於
一點 P(即為消失點)，若圖中
20
AE
=
，
15
EF
=
且
/ /
/ /
AE
BF
QR
，
/ /
AD
BC ，試回答下列問題。
18. BC
= AD
。(化為最簡分數)(選填題，3 分)
19. 已知題圖中， QE 和 AR 的交點必在 BF 上，試求該單點透視圖中
QB
BA
之值為多少？
(非選擇題，6 分)
20. 若在圖紙上建立平面坐標系，A(0,0)，E(20,0)，且
3
5
cos
, cos
5
13
BAE
FEA
∠
=
∠
=
，
試以二元一次聯立不等式表示△APE 的區域(含內部與邊界)。(非選擇題，6 分)
(不等式請以
0
ax by
c
+
+ ≥ 或
0
ax by
c
+
+ ≤ 表示，其中
0
a
≥ ，且 a、b、c 為最簡整數比)
5
RB307
臺中市高級中學 112 學年度學科能力測驗第一次模擬考
參考答案
選擇題：1. (2) 2. (3) 3. (3) 4. (1) 5. (4) 6. (5) 7. (2)(5) 8. (1)(2)(3)(4)(5)
9. (1)(3)(5) 10. (1)(2)(3)(5) 11. (2)(3)(4)(5)
選填題：12. 2550 13.
5
6
14. 11 15. 58.1 16. 25 17.
5
2
混合題：18.
3
4
19.
3
5
20.
0
4
3
0
12
5
240
0
y
x
y
x
y
≥
− ≥
+
−
≤