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財團法人大學入學考試中心基金會
112學年度分科測驗試題
數學甲考科
請於考試開始鈴響起，在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
作答注意事項
考試時間：80分鐘
作答方式：
․選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答題卷」上作答；更正時以橡皮擦擦拭，切勿使用修正
帶（液）。
․除題目另有規定外，非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答題卷」上作答；更正
時，可以使用修正帶（液）。
․考生須依上述規定劃記或作答，若未依規定而導致答案難以辨識或評閱時，恐將影響
成績。
․答題卷每人一張，不得要求增補。
․選填題考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。請仔細閱讀
下面的例子。
例：若答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是 ，則考生必須分別在答題卷上
的第 18-1 列的 與第 18-2 列的 劃記，如：
例：若答案格式是 ，而答案是 時，則考生必須分別在答題卷的第 19-1 列
的 與第 19-2 列的 劃記，如：
選擇（填）題計分方式：
․單選題：每題有
n
個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題
的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。
․多選題：每題有
n
個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有
選項均答對者，得該題全部的分數；答錯
k
個選項者，得該題
2nk
n
的分數；但得分
低於零分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
․選填題每題有
n
個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。
※試題中參考的附圖均為示意圖，試題後附有參考公式及數值。
3
8
7
50
3
18
-
2
18-1
8
7
19
-
1 19-2
50
18-1
2 4 5 6 8
7 9 0 1 3
2 4 5 6 8 7 9 0 1 3
18-2
19-1
2 4 5 6 8
7 9 0 1 3
2 4 5 6 8 7 9 0 1 3
19-2
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請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
第壹部分、選擇（填）題（占76分）
一、單選題（占 18 分）
說明：第 1題至第 3題，每題 6分。
1. 坐標平面上，一質點由點 (3,2) 出發，沿著向量 (,1)a的方向移動 5單位長之後剛
好抵達
x
軸，其中 a為正實數。試問 a值等於下列哪一個選項？
(1) 13
2 (2)
2 (3)
5 (4)
21
2 (5)
26
2. 放射性物質的半衰期T定義為「每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一
半」。鉛製容器中有 A、
B
兩種放射性物質，其半衰期分別為
A
T、B
T。開始記錄
時這兩種物質的質量相等，112 天後測量發現物質
B
的質量為物質 A的質量的四
分之一。根據上述，試問
A
T、B
T滿足下列哪一個關係式？
(1) 112 112
2
A
B
TT
(2)
112 112
2
A
B
TT
(3)
22
112 112
2log log
A
B
TT
(4) 22
112 112
2log log
A
B
TT
(5) 22
112 112
2log log
A
B
TT
3. 試問極限
22 2 2 2 2
2
3
lim 4 9 1 4 9 2 4 9 ( 1)
nnn nn
n
的值可用下列哪一個定積分表示？
(1) 32
01
x
dx
(2)
32
019
x
dx
(3)
32
04
x
dx
(4) 32
049
x
dx
(5)
32
049
x
dx
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二、多選題（占 40 分）
說明：第 4題至第 8題，每題 8分。
4. 設,ab
為實數。已知四個數 3, 1, 4, 7 皆滿足
x
的不等式
x
ab
，試選出正確的選項。
(1) 10 也滿足
x
的不等式
x
ab
(2) 3,1, 4, 7
滿足
x
的不等式
x
ab
(3) 31 7
,,2,
22 2
滿足
x
的不等式 2
b
xa
(4) b可能等於 4
(5) ,ab
可能相等
5. 考慮實係數多項式 432
() 4 2
f
xx x xaxb
。已知方程式 () 0fx有虛根12i
（其中 1i
），試選出正確的選項。
(1) 12i也是 () 0fx的根
(2) ,ab
皆為正數
(3) (2.1) 0f
(4) 函數 ()yfx在1
x
有局部極小值
(5) ()yfx圖形反曲點的
x
坐標皆大於 0
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6. 設,,, ,,,abcdrst皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量
(,,0)uab
、
(, ,0)vcd
及
(,,)wrst
滿足內積
0wu wv
。考慮三階方陣
0
0
ab
Acd
rst
，試選出正確的
選項。
(1) 若
0uv
，則行列式 0
ab
cd
(2) 若
0t
，則行列式 0
ab
cd
(3) 若存在一個向量
w
滿足
0wu wv
且外積
0ww
，則行列式
0
ab
cd
(4) 若對任意三個實數 ,,efg，向量 (, , )efg都可以表示成
,,uvw
的線性組合，則
行列式 0
ab
cd
(5) 若行列式 0
ab
cd
，則
A
的行列式不等於 0
7. 有一個依順時針方向依序標示 1,2,…,12 數字的圓形時鐘（如圖所示）。
一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一
枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動 5個鐘點。
若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動 5個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移
動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。
對任一正整數
n
，令隨機變數
n
X
代表依上述規則經過
n
次移動後棋子所在的點鐘
位置，
()
n
PX k
代表
n
Xk
的機率（其中
k
1,2,…,12），且令
()
n
EX
代表
n
X
的期望
值。試選出正確的選項。
(1)
1
()6EX
(2)
2
1
(12)
4
PX
(3)
88
1
(5)
2
PX
(4)
88
(4)(8)PX PX
(5)
8
()7EX
12 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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8.複數平面上，設 z代表複數 z的共軛複數，且 1i
。試選出正確的選項。
(1) 若2zi，則 34ziz
(2) 若非零複數
滿足 34i
，則 2
(3) 若非零複數
滿足 34i
且令 i
，則 34i
(4) 滿足 34ziz的所有非零複數 z中，其主輻角的最小可能值為 6
(5) 恰有 3個相異非零複數 z滿足 34ziz
三、選填題（占 18 分）
說明：第 9題至第 11 題，每題 6分。
9. 已知平面上直角
A
BC的三邊長 7AB 、3AC 、2BC 。若分別以 AB 與
A
C為
底邊在
A
BC的外部作頂角等於 120的等腰三角形
M
AB與NAC，
則2
M
N=
○
9-1 ○
9-2
○
9-3
。（化為最簡分數）
10. 坐標空間中有方向向量為 (1, 2, 2)的直線 L、平面 1:2 3 6 10Exyz與平面
2:2 3 6 4Exyz。則 L被1
E
、2
E
所截線段的長度為
○
10-1 ○
10-2
○
10-3
。（化為最簡分數）
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11. 百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號 1、2、…、9
的牌卡十張，其中編號 8的牌卡有兩張，其他編號的牌卡均只有一張。從這十張
牌隨機抽出四張，且抽出不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排
成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
(1) 此四位數大於 6400
(2) 此四位數含有兩個數字 8
例如：若抽出四張牌編號依序為 5、8、2、8，則此四位數為 5828，可獲得獎品。
依上述規則，共有 ○
11-1 ○
11-2 ○
11-3 ○
11-4 個抽出排成的四位數可獲得獎品。
第貳部分、混合題或非選擇題（占 24 分）
說明︰本部分共有 2 題組，選填題每題 2分，非選擇題配分標於題末。限在答題卷標示題
號的作答區內作答。選擇（填）題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更
正時以橡皮擦擦拭，切勿使用修正帶（液）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答
時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。
12-14 題為題組
設,ab
為實數，並設 O為坐標平面的原點。已知二次函數 2
()
f
xax的圖形與圓
22
:30xy yb
皆通過點 1
1, 2
P
，並令點 C為的圓心。根據上述，試回答下
列問題。
12. 試求向量 CO
與CP
夾角的餘弦值。（非選擇題，2分）
13. 試證明 ()yfx圖形與 在P點有共同的切線。（非選擇題，4分）
14. 試求 ()yfx圖形上方與 下半圓弧所圍區域的面積。（非選擇題，6分）
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15-17 題為題組
坐標平面上，設 為中心在原點且長軸落在
y
軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋
轉
角（其中 0
）的線性變換將 變換到新橢圓 22
:40 4 5 41 180xxyy
，點
525
,
33
為
上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。
15. 橢圓
的長軸長為 ○
15-1 ○
15-2 。（化為最簡根式）（選填題，2分）
16. 試求
短軸所在的直線方程式與短軸長。（非選擇題，4分）
17.已知在 上的一點 P經由此旋轉後得到的點 P落在
x
軸上，且 P點的
x
坐標大於 0。
試求 P點的坐標。（非選擇題，6分）
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參考公式及可能用到的數值
1. 首項為 a，公差為 d的等差數列前 n項之和為 (2 ( 1) )
2
na n d
S
首項為 a，公比為 (1)rr¹的等比數列前 n項之和為 (1 )
1
n
ar
Sr
2. 級數和： 2
1
(1)(21)
6
n
k
nn n
k
；
2
3
1
(1)
2
n
k
nn
k
3. 三角函數的和角公式： sin( ) sin cos cos sinAB A B A B
cos( ) cos cos sin sin
AB A B A B
tan tan
tan( ) 1tantan
A
B
AB
A
B
4.
A
BC的正弦定理： 2
sin sin sin
abc
R
A
BC
（
R
為
A
BC外接圓半徑）
A
BC的餘弦定理： 222
2coscab abC
5. 一維數據 12
:,,,
n
X
xx x
，
算術平均數
1
1n
Xi
i
x
n
；標準差 222
11
11
()( )
nn
XiX iX
ii
xxn
nn
6. 二維數據 11 2 2
(,):(,),(, ), ,(, )
nn
X
Yx
y
x
y
x
y
，
相關係數 1
,
()()
n
iXiY
i
XY
XY
xy
rn
最適直線（迴歸直線）方程式 ,()
Y
YXY X
X
yr x
7. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 , 3.142
sin 23 0.40 , sin 37 0.60 , sin 53 0.80 , cos 23 0.92 , cos37 0.80 , cos53 0.60
8. 對數值： log 2 0.3010 , log3 0.4771 , log5 0.6990 , log 7 0.8451
9. 若~(,)
X
Bnp 為二項分布，則期望值 ()
E
Xnp，變異數 () (1 )Var X np p；
若~()
X
Gp為幾何分布，則期望值 1
()EX p
，變異數 2
1
() p
Var X p
。