加載中. ..
PDF
1
分科測驗（111 學年度起適用）
數學甲考科參考試卷
參考答案
第壹部分、選擇題
題號 參考答案 題號 參考答案
1 4 9-1 3
2 3 9-2
3 1 9-3 1
4 345 10-1 3
5 14 10-2 6
6 45 11-1 1
7 15 11-2 9
8 35 11-3 2
2
第貳部分、混合題或非選擇題
題號 參考答案
12 345
13
【解法一】設點 (,,)Qabb 為點P在
y
z平面上的投影點，則
(2,2,6)PQ a b b
。
因為 PQ
與平面 yz的法向量(0,1, 1)平行，可設 (0,1, 1)PQ t
，推
得20a且2(6)bb ，解得 2a，4b，故點Q的坐標為
(2,4,4) 。
【解法二】設點Q為點P在
y
z平面上的投影點。利用 QP
即為 OP
在平面
y
z
的法向量(0,1, 1)之正射影，得知：
(0,1, 1) (0,1, 1) 0, 2,2
2
OP
QP
。
因此， (2,2,6) (0, 2,2) (2,4,4)OQ OP QP
；
故投影點Q的坐標為 (2,4,4) 。
14
【解法一】令 (,,)
X
abb 為OQ 與衛星所在的圓之交點，則所求之最近距離即為
P
X。由
624QX OQ OX ，得知：
22
816 24 26PX PQ QX 。
【解法二】衛星 (,,)
X
abb 到點P的距離為
222
(,) ( 2) ( 2) ( 6)dXP a b b
22
2 4(4)44 484(4)ab ab ab ，
其中 22
24ab 。又由柯西不等式 22 2
36 ( 2 )(1 8) ( 4 ) ab ab
，
得知： 646ab 。因此 (,) 4846 24 26dXP 。
當24
,
33
ab
時，上述的等號成立。因此，當衛星
X
的坐標為 244
(,,)
333
時；所求距離最小值等於 (,) 26dXP 。
15
解方程式 22
8
x
x ，得 2x ；故兩拋物線的交點為(2,4)及(2,4) 。
因為立體的底面恰為此兩拋物線圍成的封閉區域，因此的底面面積為
2
22 2
22 22 2 3
22 2 2
264
(8 ) (8 ) 8 2 8 33
xxdx xxdx xdxxx
。
3
題號 參考答案
16
當
x
t時，立體與平面
x
t的截面為等腰直角三角形 ABC ，其中 2
(, ,0)Btt 、
2
(,(8 ),0)Ct t 。底邊(斜邊)22 2
(8 ) 8 2
B
Ctt t，故兩腰(股)長為
2
2
82 42 2
2
t
A
BAC t
。因此，截面ABC 的面積為
()
A
t22 22 4 2
11
()(422)(4)816
22
AB AC t t t t 。
17
【解法一】因為 42
() 8 16 At t t ，故
42 5 3 5 3
00 0
18 1 8
( ) ( 8 16) ( 16 ) 16
53 5 3
x
xx
A
tdt t t dt t t t x x x
。
其中 3
8
() 16
3
g
xxx 在區間[0, 2] 上是遞增函數，因為
2
() 8 16 0gx x
。
因此，當 02x 時， () (0) 0gx g；故 5
0
1
() 5
x
A
tdt x
。
【解法二】令 5
0
1
() () 5
x
hx Atdt x 。
當02x時，利用微積分基本定理，
442
0
() () () 8 16 0
x
d
hx Atdt x Ax x x
dx ；
故()hx為遞增函數。因此，當 02x時， () (0) 0hx h ，
即5
0
1
() 5
x
A
tdt x
。