1
分科測驗（
111 學年度起適用）
數學甲考科參考試卷
試題解析
第壹部分、選擇題
試題編號：
1
參考答案：
(4)
測驗內容：
F-10-1 一次與二次函數、F-11A-4 指數與對數函數
測驗目標：結合指數函數應用於疾病傳染按比例成長的數學模型
試題解析：因為染病人數每三天增加一倍，所以是以
2 為底數的指數函數。
設
3
( )
2
t
f t
c
，又
(0)
f
k
代入，
0
3
(0)
2
1
f
c
c
k
，則
3
( )
2
t
f t
k
。
也可觀察
2
2
3
(0)
, (3) 2 , (6) 2 (2 ) 2 , (9) 2 (2 ) 2
f
k f
k f
k
k f
k
k
，依此可
推導出
(3 ) 2
n
f n
k
。令
3
t
n
，則
3
( )
2
t
f t
k
。
試題編號：
2
參考答案：
(3)
測驗內容：
G-10-7 三角比的性質、F-11A-1 三角函數的圖形
測驗目標：應用正弦定理與餘弦定理求三角形內角度數範圍
試題解析：
2sin
3sin
4sin
A
B
C
，所以
sin
sin
sin
6
4
3
A
B
C
，
由正弦定理
6 4 3
a b c
k
6 , 4 , 3
a
k b
k c
k
，
其中
, ,
a b c
分別為
,
,
A B C
的對邊長，
由餘弦定理
2
2
2
2
36
16
9
24 cos
k
k
k
k
A
11
cos
24
A
，
2
1
cos
3
2
,
cos
0
2
，由
1
11
0
2
24
，推得
2
2
3
A
。
2
試題編號：
3
參考答案：
(1)
測驗內容：
G-10-6 三角比，G-11A-6 平面向量的運算
測驗目標：評量三角比與直線參數式的應用
試題解析：因為颱風朝西偏北
30
，且以每小時
10 公里的速度前進，所以，颱風的方向向量為
(-5 3,5)
。
【解法一】可設颱風位置為
(600 5 3 ,600 5 )
P
t
t
時與原點距離最近，此時
OP
與颱
風的方向向量
( 5 3,5)
垂直。因此，由內積
(600 5 3 ,600 5 ) ( 5 3,5) 0
t
t
，得
知
30 3 30 21.96
t
。
【解法二】
令颱風位置
600 5 3
:
,
0
600 5
x
t
P
t
y
t
。
則
2
2
2
2
2
2
(600 5 3 )
(600 5 )
100
2(30 3 30) 100
600
600
OP
t
t
t
t
2
100(
(30 3 30))
t
d
。
所以，當
30 3 30 21.96
t
時，
OP
有最小值。
試題編號：
4
參考答案：
(3)(4)(5)
測驗內容：
D-10-2 數據分析
測驗目標：評量閱讀表格與分析數據
試題解析：選項
(1)：經過 6 年，男生選手增加 580 名，女生選手增加 910 名，女生選手增加較男
生為多。
選項
(2)：經過 6 年總共增加 580 名男性選手，每年平均約增加 97 名。
選項
(3)：估算 2009 年至 2015 年的男女差距，可知每年差距都超過 1000 名。
選項
(4)：經過 6 年，男生選手總共增加 580 名，女生選手總共增加 910 名，因女生的
變化率較高，故女生的斜率較男生的斜率大，或是繪圖看出最適直線斜率大
小。亦可直接求出男運動選手的最適直線斜率約為
108.21，女運動選手的最
適直線斜率約為
167.857。
選項
(5)：2009 年與 2015 年人數的平均超過 6000。同樣的 2010 年與 2014 年人數的平
均也超過
6000，以此類推，所以平均一年的運動員人數會超過 6000。當然，
也可以直接算出平均一年的運動員人數
＝
7
42670
6000
7
7
年內的所有運動員人數
＞
。
3
試題編號：
5
參考答案：
(1)(4)
測驗內容：
G-10-2 直線方程式、G-10-3 圓方程式、G-10-4 直線與圓
測驗目標：評量圖形對稱概念與點到直線的距離
試題解析：選項
(1)：因為
,
OQ OR PQ PR
，所以
O
與
P 皆在
QR
的中垂線上。
選項
(2)：由於
1 0
x y
通過一、二、三象限，且
O
為正三角形
PQR
的外心，根據對
稱性知
P 在第四象限。
選項
(3)：由選項(1)知
O
與
QR
中點的連線應與
1 0
x y
垂
直，故
QR
的中點坐標為
1 1
(
, )
2 2
。
選項
(4)：因
O
為
PQR
的重心，故由
O
點到
1 0
x y
的距
離為
2
2
，得圓半徑為
2
。
選項
(5)：過
P 點的切線與
1 0
x y
平行，又點
P 在第四象
限且
2
OP
，得切線為
2 0
x y
。
試題編號：
6
參考答案：
(4)(5)
測驗內容：
G-12-甲-1 二次曲線
測驗目標：評量橢圓旋轉的概念
試題解析：橢圓
2
2
1
8
2
x
y
：
的對稱軸為
0
y
與
0
x
，
橢圓
的對稱軸為
0
x y
與
0
x y
，
表示橢圓
轉
45
或
135
得橢圓
。
利用圖形旋轉公式
cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
或
cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
，
將橢圓
轉
45
或
135
得橢圓如下：
(1)
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
代入
2
2
1
8
2
x
y
，化簡得到
：
2
2
5
6
5
16
x
xy
y
。
(2)
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
代入
2
2
1
8
2
x
y
，化簡得到
：
2
2
5
6
5
16
x
xy
y
。
Q
R
O
x
y
P
4
試題編號：
7
參考答案：
(1)(5)
測驗內容：
D-12-甲-2 二項分布與幾何分布
測驗目標：評量二項分布與幾何分布的機率與期望值
試題解析：選項
(1)：
2
(0.3)
0.3
。
選項
(2)：
3
2
3
2
1
2
0.3 0.7
0.3
0.7
C
C
。
選項
(3)：
4
2
2
2
2
1
0.3
0.7
0.3 0.7
C
C
。
選項
(4)：
( ) 10 0.3 3
E X
。
選項
(5)：
1
10
( )
=
3
0.3
3
E X
試題編號：
8
參考答案：
(3)(5)
測驗內容：
F-12-甲-5 黎曼和、F-12-甲-7 積分的應用、N-12-甲-1 數列的極限
測驗目標：評量定積分與黎曼和的連結，連續函數值的平均
試題解析：選項
(1)： ( )
f x 在區間 [0,2] 中所有函數值之平均為
2
2
0
1
3
4
2 0
x dx
。
選項
(2)：對
1
n
，取
1
2
d
，得
2
1
3 2
12
1
S
，
對
2
n
，取
1
2
1,
2
d
d
，得知
2
2
2
1
3 1
3 2
15
2
2
S
S
。
選項
(3)：
2
2
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
3(2
4
(2 ) )
n
n
d
d
d
n
S
n
n
2
2
2
3
12(1
2
)
n
n
2
2(
1)(2
1)
n
n
n
。
當
5
n
時，
5
2 6 11
5.3 6
25
S
。
選項
(4)：
1
2
1
( )
( )
( )
1
2
( )
2
n
n
n
k
k
f d
f d
f d
S
f d
n
n
都是
1
( )
2
f x
在區間
[0,2] 上的
黎曼和。
選項
(5)：因為
2
( ) 3
f x
x
為連續函數，所以
2
2
2
0
0
1
3
lim
( )
4
2
2
n
n
S
f x dx
x dx
。
或利用
2
2
2(
1)(2
1)
2(
1)(2
1)
n
n
n
n
n
S
n
n
及夾擠定理，可得
lim
4
n
n
S
。
5
試題編號：
9
參考答案：
(3, 1)
測驗內容：
A-11A-3 矩陣的運算
測驗目標：評量二階矩陣乘法與求解聯立方程式
試題解析：由題意利用矩陣乘法可得聯立方程
式
2 1
2
3
2
r
r
s
。求解可得
3
r
、
1
s
。
也可由題意
1
1
0
2
2
1 2
3
r
s
， 得
1
2
1
0
2
3
1 2
r
s
。
試題編號：
10
參考答案：
36
測驗內容：
D-10-3 有系統的計數
測驗目標：評量依題意有系統的窮舉、樹狀圖、加法原理、乘法原理
試題解析：
【解法一】設鮪魚為
A、肉鬆為 B、火腿為 C 與起司為 D，列出可能情形如下：
C
D
A
B
A
D
C
一
二
三
四
五
，
A
D
B
A
B
C
C
A
D
B
D
一
二
三
四
五
，
A
C
B
A
B
D
D
A
C
B
C
一
二
三
四
五
共
12 種，依此類推，
A
C
三
四
五
共 12 種，
A
D
三
四
五
共 12 種，
總計有
36 種。
【解法二】星期二到星期五這四天中分成以下兩種情況：
(1) 若有再買鮪魚 A，則另三種 B、C、D 各買一次。因 A 不能排第一個位置，故有
4! 3! 18
種排法。
(2) 若沒有再買鮪魚 A，則星期二到星期五這四天買的情形有三類：
BBCD、BCCD、BCDD。因相同者不相鄰，各有
4!
3! 6
2!
種排法，故共有
3 6 18
種排法。
合併以上兩種情況的排法，共有
36 種。
6
試題編號：
11
參考答案：
19
2
測驗內容：
N-12 甲-3 複數
測驗目標：評量複數運算以及複數平面的幾何意涵
試題解析：設
z a bi
，由
3
z z
i
可推得
3
2
b
，故
3
2
z a
i
(即直線
3
2
y
)。
【 解 法 一 】
7 8i z
的 最 小 值 即 為 點
( 7,8)
到 直 線
3
2
y
的 最 短 距 離 ， 即
3
19
8 (
)
2
2
。
【解法二】
2
2
3
19
19
19
7 8
= 7 8
( 7
)
( 7
)
( )
2
2
2
2
i z
i a
i
a
i
a
。
所以當
7
a
時，
7 8i z
有最小值
19
2
。
第貳部分、混合題或非選擇題
12-14 題為題組
試題編號：
12
參考答案：
(3)(4)(5)
測驗內容：
G-11A-2 空間坐標系、G-11A-9 平面方程式
測驗目標：評量空間中特殊平面上的點坐標
試題解析：在
y z
平面上的點可設為
( , , )
a b b
，因此，點
( , , )
a b b
位在以
O
為圓心、半徑為
2
的圓
上之充要條件為
2
2
2
4
a
b
。故滿足條件的選項為
(3)(4)(5)。
試題編號：
13
參考答案：
(2,4,4)
測驗內容：
G-11A-7 空間向量的運算、G-11A-9 平面方程式
測驗目標：評量空間中的點在平面上的投影
試題解析：
【解法一】設點
( , , )
Q a b b
為點
P
在
y
z
平面上的投影點，則
(
2,
2,
6)
PQ
a
b
b
。
7
因為
PQ
與平面
y
z
的法向量
(0,1, 1)
平行，可設
(0,1, 1)
PQ t
，推得
2 0
a
且
2
(
6)
b
b
，解得
2
a
，
4
b
，故點
Q
的坐標為
(2,4,4)
。
【解法二】設點
Q
為點
P
在
y
z
平面上的投影點。利用
QP
即為
OP
在平面
y
z
的
法向量
(0,1, 1)
之正射影，得知：
(0,1, 1)
(0,1, 1)
0, 2,2
2
OP
QP
。
因此，
(2,2,6) (0, 2,2) (2,4,4)
OQ OP QP
；
故投影點
Q
的坐標為
(2,4,4)
。
試題編號：
14
參考答案：
2 6
測驗內容：
G-11A-2 空間坐標系、G-11A-7 空間向量的運算
測驗目標：評量空間中某一定點與圓的最短距離
試題解析：【解法一】令
( , , )
X a b b
為
OQ
與衛星所在的圓之交點，則所求之最近距離即為
PX 。由
6 2 4
QX OQ OX
，得知：
2
2
8 16
24 2 6
PX
PQ
QX
。
【解法二】衛星
( , , )
X a b b
到點
P
的距離為
2
2
2
( , )
(
2)
(
2)
(
6)
d X P
a
b
b
2
2
2
4(
4 ) 44
48 4(
4 )
a
b
a
b
a
b
，
其中
2
2
2
4
a
b
。又由柯西不等式
2
2
2
36 (
2 )(1 8) (
4 )
a
b
a
b ，
得知：
6
4
6
a
b
。因此 ( , )
48 4 6
24 2 6
d X P
。
當
2
4
,
3
3
a
b
時，上述的等號成立。因此，當衛星
X
的坐標為
2 4 4
( , , )
3 3 3
時；所
求距離最小值等於
( , ) 2 6
d P X
。
8
15-17 題為題組
試題編號：
15
參考答案：
64
3
測驗內容：
F-12 甲-6 積分
測驗目標：利用定積分求兩曲線所圍成的區域面積
試題解析：解方程式
2
2
8
x
x
，得
2
x
；故兩拋物線的交點為
( 2, 4)
及
(2, 4)
。因為立體
的
底面恰為此兩拋物線圍成的封閉區域，因此
的底面面積為
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
64
(8
)
(8
)
8 2
8
3
3
x
x dx
x
x dx
x dx
x
x
。
試題編號：
16
參考答案：
4
2
8
16
t
t
測驗內容：
F-12 甲-7 積分的應用
測驗目標：評量切片積分法
試題解析：當
x t
時，立體
與平面
x t
的截面為等腰直角三角形
ABC
，其中
2
( , ,0)
B t t
、
2
( ,(8
),0)
C t
t
。底邊
(斜邊)
2
2
2
(8
)
8 2
BC
t
t
t ，故兩腰(股)長為
2
2
8 2
4 2
2
2
t
AB
AC
t 。因此，截面
ABC
的面積為
( )
A t
2 2
2 2
4
2
1
1
(
)
(4 2
2 )
(4
)
8
16
2
2
AB AC
t
t
t
t
。
試題編號：
17
參考答案：略
測驗內容：
F-12 甲-4 導函數、F-12 甲-6 積分
測驗目標：評量函數的單調性判定，微積分基本定理
試題解析：
【解法一】因為
4
2
( )
8
16
A t
t
t
，故
4
2
5
3
5
3
0
0
0
1
8
1
8
( )
(
8
16)
(
16 )
16
5
3
5
3
x
x
x
A t dt
t
t
dt
t
t
t
x
x
x
。
其中
3
8
( )
16
3
g x
x
x
在區間
[0, 2]
上是遞增
函數，因為
2
( )
8
16 0
g x
x
。
因此，當
0
2
x
時，
( )
(0) 0
g x
g
；故
5
0
1
( )
5
x
A t d t
x
。
9
【解法二】令
5
0
1
( )
( )
5
x
h x
A t d t
x 。
當
0
2
x
時，利用微積分基本定理，
4
4
2
0
( )
( )
( )
8
16 0
x
d
h x
A t d t
x
A x
x
x
dx
；
故
( )
h x
為遞增函數。因此，當
0
2
x
時，
( )
(0) 0
h x
h
，即
5
0
1
( )
5
x
A t d t
x
。