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財團法人大學入學考試中心基金會
113學年度分科測驗試題
數學甲考科
請於考試開始鈴響起，在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
⎯作答注意事項⎯
考試時間：80分鐘
作答方式：
˙選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答題卷」上作答；更正時以橡皮擦擦拭，切勿使用
修正帶（液）。
˙除題目另有規定外，非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答題卷」上作答；更正時，
可以使用修正帶（液）。
˙考生須依上述規定劃記或作答，若未依規定而導致答案難以辨識或評閱時，恐將影響
成績。
˙答題卷每人一張，不得要求增補。
˙選填題考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。請仔細閱讀
下面的例子。
例：若答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是 ，則考生必須分別在答題卷上
的第 18-1 列的 與第 18-2 列的 劃記，如：
例：若答案格式是 ，而答案是 時，則考生必須分別在答題卷的第 19-1 列
的 與第 19-2 列的 劃記，如：
選擇（填）題計分方式：
˙單選題：每題有
n
個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題
的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。
˙多選題：每題有
n
個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有
選項均答對者，得該題全部的分數；答錯
k
個選項者，得該題
2n k
n
−
的分數；但得分
低於零分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
˙選填題每題有
n
個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。
※試題中參考的附圖均為示意圖，試題後附有參考公式及數值。
3
8
7
50
−
3
18-2
18-1
8
7
−
19-1
19-2
50
18-1
−
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
−
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
18-2
19-1
−
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
−
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
19-2
第 1 頁 113年分科
共 7 頁 數學甲考科
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請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
第 壹 部分、選擇（ 填 ） 題 （ 占 76分）
一 、 單 選 題 （ 占 18 分）
說明：第 1題至第 3題，每題 6分。
1. 如右圖所示，有一
ABC
，已知
BC
邊上的高
12AD =
， 且
3
tan 2
B=
、
2
tan 3
C=
。試問
BC
的長度為何？
(1)
20
(2)
21
(3)
24
(4)
25
(5)
26
2. 坐標平面上，橢圓
的方程式為
2 2
2 2 1
6
x y
a+=
（其中
a
為正實數）。若將
以原點
O
為中心，沿
x
軸方向伸縮 為 2倍、沿
y
軸方向伸縮 為 3倍 後 ， 所得到的新圖形會
通過點
(18,0)
。 試 問 下 列 哪 一 個 選 項 是
的焦點？
(1)
(0,3 3)
(2)
( 3 5,0)−
(3)
(0,6 13)
(4)
( 3 13,0)−
(5)
(9,0)
3. 想 在
5 5
的棋盤上擺放 4個相同的西洋棋的城堡棋子。由於城堡會將同一行或是
同一列的棋子吃掉，故擺放時規定每一行與每一列最多只能
擺放一個城堡。在第一列的 第 一 、 三 、 五 格 （如圖示畫叉的
格子） 不 擺 放 的 情況下 ， 試 問 共 有 多少種 擺 放 方 式 ？
(1)
216
(2)
240
(3)
288
(4)
312
(5)
360
A
B
C
D
113年分科 第 2 頁
數學甲考科 共 7 頁
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二 、 多 選 題 （ 占 40 分）
說明：第 4題至第 8題，每題 8分。
4. 一遊戲廠商將舉辦抽獎活動，廠商公告每次抽獎需使用掉一個代幣，且 每次抽獎
的中獎機率皆為
1
10
。某甲決定先存若干個代 幣，並在活動開始後進行抽 獎，直 到
用完所 有 代 幣 才 停 止 。 試 選 出 正 確 的 選項。
(1) 某甲中獎一次所需要抽獎次數的期望值為
10
(2) 某甲抽獎兩次就中獎一次以上的機率為
0.2
(3) 某甲抽獎
10
次都沒中獎的機率小於抽獎
1
次就中獎的機率
(4) 某甲至少要存
22
個代幣，才能保證中獎的機率大於
0.9
(5) 某甲只要存足夠多的代幣，就可以保證中獎的機率為
1
5. 設
( )f x
為三次實 係 數 多 項 式。已知
( 2 3 ) 0f i− − =
（其中
1i=−
），且
( )f x
除以
22x x+−
的餘式為
18
。試選出正確的選項。
(1)
(2 3 ) 0f i+=
(2)
( 2) 18f−=
(3)
( )f x
的三次項係數為負
(4)
( ) 0f x =
恰有一正實根
(5)
( )y f x=
圖形的對稱中心在第一象限
第 3 頁 113年分科
共 7 頁 數學甲考科
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6. 坐 標 空 間 中 ， 考慮滿足內積
u
v
= 15
與外積
u
v
( 1,0,3)=−
的 兩 向 量
u、
v。
試選出正確的選項。
(1)
u與
v的夾角
（其中
0
，
為圓周率）大於
4
(2)
u可能為
(1,0, 1)−
(3) |
u|
+
|
v|
2 5
(4) 若已知
v，則
u可以被 唯 一 決 定
(5) 若已知|
u|
+
|
v|，則|
v|可以被唯一決定
7. 坐標平面上，考慮兩函數
5 3 2
( ) 5 5 5f x x x x= − + +
與
( ) sin 3 2
x
g x
=+
的函數圖形
（其中
為圓周率）。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1)
(1) 0f ’ =
(2)
( )y f x=
在 閉 區 間
[0,2]
為遞增
(3)
( )y f x=
在 閉 區 間
[0,2]
為凹向上
(4) 對任意實數
x
，
( 6 ) ( )g x g x
+=
(5)
( )y f x=
與
( )y g x=
在 閉 區 間
[3,4]
皆為遞增
113年分科 第 4 頁
數學甲考科 共 7 頁
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8. 設
z
為非零複 數，且 設
z
=
、
為
z
的 輻 角，其 中
0 2
（其中
為圓周率）。
對任一正整數
n
， 設 實數
n
x
與
n
y
分別為
n
z
的實部與虛部。試選出正確選項。
(1) 若
1
=
且
3
7
=
，則
10 3
x x=
(2) 若
30y=
，則
60y=
(3) 若
31x=
，則
61x=
(4) 若數列
n
y
收斂，則
1
(5) 若數列
n
x
收斂，則數列
n
y
也收斂
三 、 選 填題（ 占 18 分）
說明：第 9題至第 11 題，每題 6分。
9. 設
, , ,a b c d
為 實 數 。 已 知 兩 聯 立 方 程 組
2
1
ax by
cx dy
+=
+=
、
1
1
ax by
cx dy
+ = −
+ = −
的增廣矩陣經過
相同的列運算後，分別得到
1 1 3
0 1 2
−
、
1 1 2
0 1 1
−
−
，則 聯 立 方 程 組
0
1
ax by
cx dy
+=
+=
的解為
x=
○
9-1 ○
9-2 ，
y=
○
9-3 。
10. 坐 標 平 面 上 ， 設
為 以 原 點 為 圓 心 的 圓 ，
P
為
與
x
軸的其中一 個 交 點 。 已 知
通過
P
點且斜率為
1
2
的直線交
於另一點
Q
，且
1PQ =
，則
的半徑為
○
10-1
○
10-2
。
（化為最簡根式）
第 5 頁 113年分科
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11. 設實數
1 2 9
,,,a a a
是公差為 2的等差數列，其中
10a
且
30a
。 若
2 3 2 2 9
log ,log ,loga b a
三數依序也成等 差數列 ， 其中 b為
45678
, , , ,a a a a a
其中一數，則
9
a=
○
11-1 ○
11-2
○
11-3
。
（化為最簡分數 ）
第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 （占 24 分）
說明︰本部分共有 2 題組，選擇題每題 2分，非選擇題配分標於題末。限在答題卷標示
題號的作答區內作答。
選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時以橡皮擦擦拭，切勿
使用修正帶（液）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算
過程或理由，否則將酌予扣分。
12-14 題為題組
坐 標 空 間 中，考 慮 三 個 平 面
1: 7E x y z+ + =
、
2: 3E x y z− + =
、
3: 5E x y z− − = −
。令
1
E
與
2
E
相交的直線為
3
L
；
2
E
與
3
E
相交的直線為
1
L
；
3
E
與
1
E
相交的直線為
2
L
。
根據上述，試回答下列問題。
12. 已知三 直 線
1
L
、
2
L
、
3
L
有 共 同 交 點，試求此 共 同交 點 P的坐標。（ 非 選 擇 題，4分 ）
13. 試 說 明
1
L
、
2
L
、
3
L
中 ， 任兩直線所夾的銳角皆為
60
。（非選擇題，4分）
（ 註：令
1
L
與
2
L
所 夾 的 銳 角 為
，
2
L
與
3
L
所 夾 的 銳 角 為
，
3
L
與
1
L
所 夾 的 銳 角 為
）
14. 若坐標空間中第四個平面
4
E
與
1
E
、
2
E
、
3
E
圍 出 一 個 邊 長 為
6 2
的 正 四 面 體 ，
試求出
4
E
的方程式（ 寫 成
x ay bz c+ + =
的形式）。（ 非 選 擇 題 ， 4分）
113年分科 第 6 頁
數學甲考科 共 7 頁
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15-17 題為題組
坐 標 平 面 上，設
為 三 次函 數
3 2
( ) 9 15 4f x x x x= − + −
的函數圖 形。根 據 上 述，試 回 答
下列問題。
15. 試問下列何者為
( )f x
的導函數？（單選 題 ， 2分）
(1)
29 15x x−+
(2)
3 2
3 18 15 4x x x− + −
(3)
3 2
3 18 15x x x−+
(4)
2
3 18 15x x−+
(5)
218 15x x−+
16. 試說明
(1,3)P
為
上 之 一 點，並 求
在
P
點 的 切線
L
的方程式。（非選擇題，4分）
17. 承16，試求
和
L
所圍成有界區域的面積。（非選擇題，6分）
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參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首項為
a
，公差為
d
的等差數列前
n
項之和為
(2 ( 1) )
2
n a n d
S+−
=
首項為
a
，公比為
( 1)r r
的等比數列前
n
項之和為
(1 )
1
n
a r
Sr
−
=−
2. 級數和：
2
1
( 1)(2 1)
6
n
k
n n n
k
=
++
=
；
2
3
1
( 1)
2
n
k
n n
k
=
+
=
3. 三角函數的和角公式：
sin( ) sin cos cos sinA B A B A B+ = +
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B+ = −
tan tan
tan( ) 1 tan tan
A B
A B A B
+
+=
−
4.
ABC
的正弦定理：
2
sin sin sin
a b c R
A B C
= = =
（
R
為
ABC
外接圓半徑）
ABC
的餘弦定理：
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
5. 一維數據
1 2
: , , , n
X x x x
，
算術平均數
1
1n
X i
i
x
n
=
=
；標準差
2 22
1 1
1 1
( )
n n
X i X i X
i i
x x n
n n
==
= − = −
6. 二維數據
1 1 2 2
( , ):( , ),( , ), ,( , )
n n
X Y x y x y x y
，
相關係數
1
,
( )( )
n
i X i Y
i
X Y X Y
x y
rn
=
−−
=
最適直線（迴歸直線）方程式
,( )
Y
Y X Y X
X
y r x
− = −
7. 參考數值：
2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.449, 3.142
8. 對數值：
log2 0.3010 , log3 0.4771 , log5 0.6990 , log7 0.8451
9. 若
~ ( , )X B n p
為二項分布，則期望值
( )E X np=
，變異數
( ) (1 )Var X np p=−
；
若
~ ( )X G p
為幾何分布，則期望值
1
( )E X p
=
，變異數
2
1
( ) p
Var X p
−
=
。