1
分科測驗（
114 學年度起適用）
數學乙考科參考試卷（卷二）
試題解析
第壹部分、選擇（填）題
試題編號：1
參考答案：(3)
學科內容：N-12 乙-2 無窮等比級數
測驗目標：循環小數與無窮等比級數的概念
試題解析：由
2
0.2
9
= 、
4
0.04
90
=
，因此數列的公比為
4
1
90
2
5
9
= ，級數和為
2
5
9
1
18
1
5
=
−
。
試題編號：2
參考答案：(2)
學科內容：F-12 乙-5 積分
測驗目標：積分的意涵
試題解析：
3
3
2
3
3
3
1
1
1
12
3
9
x
dx
x
x
−
−
+
=
+
=
。
試題編號：3
參考答案：(5)
學科內容：D-11B-2 不確定性（D-11A-2 條件機率、D-11A-3 貝氏定理）
測驗目標：條件機率
試題解析：選項(1)：編號為奇數的球共有 50 顆，故在某甲抽到球的號碼是奇數的條件下，某甲抽到
7 號球的條件機率為
1
50
。
選項(2)：編號為質數的球共有 25 顆，故在某甲抽到球的號碼是質數的條件下，某甲抽到
7 號球的條件機率為
1
25
。
選項(3)：編號為 7 的倍數的球共有 14 顆，故在某甲抽到球的號碼是 7 的倍數的條件下，
某甲抽到 7 號球的條件機率為
1
14
。
2
選項(4)：編號不是 5 的倍數的球共有 80 顆，故在某甲抽到球的號碼不是 5 的倍數的條件
下，某甲抽到 7 號球的條件機率為
1
80
。
選項(5)：編號小於 10 的球共有 9 顆，故在某甲抽到球的號碼小於 10 的條件下，某甲抽
到 7 號球的條件機率為
1
9
。
由此可知，機率最大為
1
9
。
試題編號：4
參考答案：(4)
學科內容：D-10-2 數據分析
測驗目標：散布圖與相關係數的關係
試題解析：由試題本所附相關係數公式知：
「若散布圖恰為正斜率直線時，此時相關係數最大（此時相關係數為 1）」，故答案為(4)。
試題編號：5
參考答案：(3)
學科內容：S-11B-1(S-11A-1) 空間概念、G-11B-4(G-11A-2) 空間坐標系
測驗目標：空間概念、空間坐標
試題解析：根據題意，知四角錐 A-BCDE 的底面為在 xz 平面上，邊長為 6 的正方形，且四個側面為
全等的等腰三角形，故四角錐頂點到底面的投影點為底面正方形的中心，推得錐頂點 A
的 x 坐標為 3、
z
坐標為 3。由四角錐 A-BCDE 體積
1
72
3
=
底面積 高，底面積為 6 6 36
= ，
可算出高為
72 3
6
36
= 。因為錐頂點 A 在第一卦限，故錐頂點 A 的坐標為 (3,6,3) 。
試題編號：6
參考答案：(5)
學科內容：D-10-3 有系統的計數
測驗目標：有系統的計數
試題解析：根據題意，五天中每一種餐點至少各點一次，故五天中四種餐點必有一種會點兩次，假
設五天中點兩次牛肉麵，可能情形為星期一、三；星期一、四；星期一、五；星期二、
四；星期二、五；星期三、五點牛肉麵。
以上共 6 3! 36
=
種方法，則四種餐點共有 36 4 144
=
種方法。
3
試題編號：7
參考答案：(3)(5)
學科內容：N-10-3 指數、N-10-4 常用對數、
F-11B-2 按比例成長模型（A-11A-4 對數律、F-11A-4 指數與對數函數）
測驗目標：指數、常用對數的意義、對數律、換底公式
試題解析：根據題意，可推得
1.1
10
a =
、
2.2
10
b =
、
3.3
10
c =
。
選項(1)：
1.1
3.3
1.1
2.2
2.2
10
10
10 (1 10 )
2 10
2
a c
b
+ =
+
=
+
=
。
選項(2)：
1.1
1
10
10
10
a =
=
。
選項(3)：由 log1000 3
= 、 log 2000 log1000 log 2 3 log 2 3.3010
=
+
= +
，知
log1000
log
log 2000
c
，推得1000
2000
c
。
選項(4)：由 log10 1
= ，知 log 20 log10 log 2 1.3010
=
+
。由 log10 log
log 20
a
，推得
10
20
a
；由 log100
2
= ，知 log100 logb
，得100 b
。
故
2
b
a
。
選項(5)：【解法一】
1.1
3.3
4.4
2
2
2
2
2
log
log
log
log (10
10 )
log 10
a
c
ac
+
=
=
=
，
4.4
2.2
2
2
2
log 10
2log 10
2log b
=
=
，
由此可知
2
log a
、
2
log b
、
2
log c
依序成等差數列。
【解法二】
由
2
log
1.1
log
log 2
log 2
a
a =
=
、
2
log
2.2
log
log 2
log 2
b
b =
=
、
2
log
3.3
log
log 2
log 2
c
c =
=
，
推得
2
2
2
log
log
2log
a
c
b
+
=
，故
2
log a
、
2
log b
、
2
log c
依序成等差數列。
試題編號：8
參考答案：(1)(2)(5)
學科內容：N-12 乙-1 複數、A-12 乙-2 方程式的虛根
測驗目標：複數運算、複數平面、實係數方程式虛根成對
試題解析：根據題意
2
1
z
z i
=
，即
3
(1
)
bi
ai i
a i
+ = +
= − +
。由兩相等複數有相同實部及虛部，推得
3
a = −
、
1
b = ，即
1
1
3
z
i
= −
、
2
3
z
i
=
+
。
選項(1)：
3 1 0
a b
+ = −
+ 。
選項(2)：
2
2
1
(1)
(
3)
2
z =
+ −
= 。
選項(3)：
1
2
(1
3) (1
3)
z
z
i
+
= +
+ −
，
則
2
2
1
2
(1
3)
(1
3)
(4
2 3)
(4 2 3)
2 2
z
z
+
=
+
+ −
=
+
+ −
=
，
1
2
2 2
4
z
z
+
= + =
，因此
1
2
1
2
z
z
z
z
+
+
。
4
選項(4)：由實係數方程式虛根成對，知1
3i
+
也為實係數方程式
2
2
x
x k
−
+
的一根，推得
2
2
(
(1
3 ))(
(1
3 ))
x
x
k
x
i
x
i
−
+ = − +
− −
，
(1
3 )(1
3 )
4
k
i
i
= +
−
=
。此選項也可將
1
1
3
z
i
= −
代入得
(
) (
)
2
1
3
2 1
3
0
i
i
k
−
−
−
+ = ，推得
4
k = 。
選項(5)：
2
2
2
1
( 3 1)
(1
3)
(4 2 3)
(4
2 3)
2 2
z
z
−
=
−
+ +
=
−
+ +
=
，
故以
1
z
、
2
z
、原點 O 三點為頂點的三角形邊長為 2、2、
2 2
。推得其為直角
三角形，面積為
1
2 2
2
2
= 。
試題編號：9
參考答案：(1)(2)
學科內容：A-10-2 多項式之除法原理、F-12 乙-2 函數的極限、F-12 乙-3 微分、F-12 乙-5 積分
測驗目標：極限的運算性質、導數的定義、微積分基本定理
試題解析：選項(1)：由題意 ( )
f x 是多項式函數，知
( )
f x 為連續函數。
故
2
2
2
2
( )
( )
(2)
lim ( )
lim
(
2)
lim
lim(
2)
6 0
0
2
2
x
x
x
x
f x
f x
f
f x
x
x
x
x
→
→
→
→
=
=
− =
− = =
−
−
。
選項(2)：因為 (2) 0
f
= ，推得
2
2
( )
(2)
( )
(2)
lim
lim
6
2
2
x
x
f x
f
f x
f
x
x
→
→
−
=
=
=
−
−
。
選項(3)：將
0
x = 代入得
0
0
(0)
0 8
( )
8
f
g t dt
= − +
= −
。
選項(4)：
2
2
2
2
2
( )
( )
1
( )
1
1
3
lim
lim
lim
lim
6
2
2
2
2
4
2
4
x
x
x
x
f x
f x
f x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
=
=
= =
−
+
−
+
−
。
選項(5)
：
利用微積分基本定理，推得
2
2
0
( )
3
( )
3
( )
x
d
f x
x
g t dt
x
g x
dx
=
+
=
+
。因為
(2) 6
f
=
，
推得
2
(2)
(2)
3 2
6
g
f
=
−
= −
。
試題編號：10
參考答案： 3
−
學科內容
：
A-11B-1 矩陣與資料表格
（A-11A-1 二元一次方程組的矩陣表達、A-11A-3 矩陣的運算）
測驗目標：矩陣運算、反方陣
試題解析：
1
4
0
2
−
的反方陣
1
1
4
2
4
1
=
0
2
0 1
2
−
−
，
則
1
1
2
1
4
1
0
1
4
1
24
1
10
1
0
2
0
6
0
2
0
12
0
6
0
2
−
−
−
−
−
=
=
，推得
3
a b c d
+ + + = − 。
試題編號：11
參考答案：5.8
學科內容：F-10-1 一次與二次函數、F-12 乙-4 導函數、F-12 乙-5 積分
5
測驗目標：導數的邊際意涵、函數極值、一次函數的反導函數與定積分
試題解析：邊際利潤
( )
200 0.4
F x
x
=
−
，得反導函數
2
( )
0.2
200
F x
x
x c
= −
+
+
，其中 c 為一常數。已
知銷售 200 個公仔的利潤為 4 萬元，代入 ( )
F x 得
2
40000
200 200 0.2(200 ) c
=
−
+
，推得
8000
c =
，故
2
( )
0.2
200
8000
F x
x
x
= −
+
+
。由
( )
200 0.4
0
F x
x
=
−
=
，故當
500
x =
時， ( )
F x
有最大值 58000，即最大利潤為 5.8 萬元。此題也可利用配方法求出最大利潤。
試題編號：12
參考答案：
6 21
7
學科內容：G-10-5 廣義角和極坐標、G-10-7 三角比的性質
測驗目標：極坐標的定義、餘弦定理、三角形的面積
試題解析：由極坐標定義可知
4
OP =
、
6
OQ =
，
105
45
60
POQ
=
− = （如圖所示）
由餘弦定理
2
2
2
4
6
2 4 6 cos 60
PQ =
+
−
，得
2 7
PQ =
。
利用面積公式，三角形 POQ 的面積為
1
1
3
sin
4 6
6 3
2
2
2
OP OQ
POQ
=
=
。
由 O 到直線 PQ 的距離為三角形 POQ 在 PQ 邊上的
高，即 O 到直線 PQ 的距離
6 3 2
6 21
7
2 7
=
=
。
第貳部分、混合題或非選擇題
13-15 題為題組
試題編號：13
參考答案：(5)
學科內容：G-11B-2（G-11A-6） 平面向量的運算
測驗目標：平面向量的內積
試題解析：
( 4, 3) ( 6, 8)
24 24
48
AO AB
= − − − − =
+
=
。
試題編號：14
參考答案：
103 79
(
,
)
25 25
學科內容：G-11B-2（G-11A-6） 平面向量的運算
測驗目標：平面向量的正射影
6
試題解析： OQ 在 AB 上 的 正 射 影 為
2
(3, 4)
OQ AB
AB
AB
=
，
AO
在 AB 上 的 正 射 影 為
2
( 4, 3) ( 6, 8)
48
72
96
( 6, 8)
( 6, 8)
(
,
)
100
100
25
25
AO AB
AB
AB
− − − −
−
−
=
− − =
− − =
。
又 AQ
AO
OQ
=
+
， 可 得 AQ 在 AB 上 的 正 射 影
AC
為
2
2
2
72
96
3
4
(
,
)
(3, 4)
(
,
)
25
25
25 25
AQ AB
AO AB
OQ AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
−
−
=
+
=
+
=
已 知 點 A 的 坐 標 為 (4,3) ， 故 點 C 的 坐 標 為
103 79
(
,
)
25 25
。
試題編號：15
參考答案：
3
2
, (8, 1)
5
5
a
b
P
=
=
−
、
學科內容：G-11B-1（G-11A-1） 平面向量
測驗目標：平面向量的線性組合
試題解析：以下提供兩個解法說明
2
3
AD
BD
= ：
【解法一】
利用面積比等於同高的底邊長之比，得
OAD
OD
OBD
PAD
PBD
PD
=
=
，令
OBD
k
PBD
=
。
因此
2
2
1
1 3
3
k
k
OAD
OAP
OBP
OBD
k
k
=
=
=
+
+
；故
2
3
AD
OAD
OBD
BD
=
=
。
【解法二】
作 AE 垂直
OP
於點
E
，且 BF 垂直
OP
於點 F，則
AED
與
BFD
相似，故
1
2
2
1
3
2
OP
AE
AD
AE
OAP
OBP
BD
BF
OP BF
=
=
=
=
。
由此可取
3
5
a =
、
2
5
b =
，使得
3
2
3
2
1
(4,3)
( 2, 5)
(8, 1)
5
5
5
5
5
OD
OA
OB
=
+
=
+
− − =
− 。
設
(8, 1)
OP
t
=
− ，再由
65
OP =
，可知
1
t =
，故點 P 的坐標為 (8, 1)
− 。
7
16-18 題為題組
試題編號：16
參考答案：
11
a =
、
12
b =
學科內容：G-10-2 直線方程式、A-12 乙-1 線性規劃
測驗目標：根據題意，求得線性規劃問題的最佳解
試題解析：根據題意知車商售出一台甲車得淨利潤 11 萬元、售出一台乙車得淨利潤 12 萬元，故售
出甲車 x 台、乙車
y
台時，車商可得淨利潤為11
12
x
y
+
（萬元）。
試題編號：17
參考答案：
0,
0
20
30
5
6
220
x
y
x
y
x
y
+
學科內容：G-10-2 直線方程式、A-12 乙-1 線性規劃
測驗目標：根據題意，求得線性規劃問題的最佳解
試題解析：根據題意，由甲廠牌汽車每台成本 100 萬元，進口上限 20 台；乙廠牌汽車每台成本 120
萬元，進口上限 30 台，及車商準備 4400 萬元作為汽車進口成本，可列出不等式並化簡
得
0,
0
20
30
5
6
220
x
y
x
y
x
y
+
。
試題編號：18
參考答案：甲廠牌汽車 20 台、乙廠牌汽車 20 台，最大淨利潤 460（萬元）
學科內容：G-10-2 直線方程式、A-12 乙-1 線性規劃
測驗目標：根據題意，求得線性規劃問題的最佳解
試題解析：依據題意，目標函數 ( , ) 11
12
P x y
x
y
=
+
，求解聯立方程式可得出可行解區域的頂點坐
標 (0,0) 、 (0,30) 、 (8,30) 、 (20,20) 、 (20,0) 。
以下提供兩個解法求出最大利潤：
【解法一】頂點法
將可行解區域的頂點坐標代入目標函數
可知當進口甲廠牌汽車 20 台，乙廠牌汽車 20 台時，可獲得最大淨利潤 460（萬元）。
( , )
x y
(0,0)
(0,30)
(8,30)
(20,20)
(20,0)
( , ) 11
12
P x y
x
y
=
+
0
360
448
460
220
8
【解法二】平行線法
設 ( , ) 11
12
P x y
x
y
k
=
+
= ，
0
k ，則11
12
x
y
k
+
= 的斜率為
11
12
−
，
直線方程式 5
6
220
x
y
+
=
的斜率為
5
11
6
12
− −
，
由可行解區域及平行線法知當
20,
20
x
y
=
=
，即進口甲廠牌汽車 20 台，乙廠牌汽車 20
台時，可獲得最大淨利潤 20 11 20 12 460
+
=
(萬元)。