1
分科測驗（114 學年度起適用）
數學乙考科參考試卷（卷二）
參考答案
選擇(填)題
※答案「／」者，表示該題為非選擇題。
題號
參考答案
題號
參考答案
題號
參考答案
1
3
10
10-1
‒
13
5
2
2
10-2
3
14
／
3
5
11
11-1
5
15
／
4
4
11-2
8
16
16-1
1
5
3
12
12-1
6
16-2
1
6
5
12-2
2
16-3
1
7
3,5
12-3
1
16-4
2
8
1,2,5
12-4
7
17
／
9
1,2
18
／
2
非選擇題
題號
參考答案
14
OQ 在 AB 上 的 正 射 影 為
2
(3, 4)
OQ AB
AB
AB
=
，
AO
在 AB 上 的 正 射 影 為
2
( 4, 3) ( 6, 8)
48
72
96
( 6, 8)
( 6, 8)
(
,
)
100
100
25
25
AO AB
AB
AB
− − − −
−
−
=
− − =
− − =
。
又 AQ
AO
OQ
=
+
，可得 AQ 在 AB 上的正射影
AC
為
2
2
2
72
96
3
4
(
,
)
(3, 4)
(
,
)
25
25
25 25
AQ AB
AO AB
OQ AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
−
−
=
+
=
+
=
已知點 A 的坐標為 (4,3) ，故點 C 的坐標為
103 79
(
,
)
25 25
。
15
以下提供兩個解法說明
2
3
AD
BD
= ：
【解法一】
利用面積比等於同高的底邊長之比，得
OAD
OD
OBD
PAD
PBD
PD
=
=
，令
OBD
k
PBD
=
。
因此
2
2
1
1 3
3
k
k
OAD
OAP
OBP
OBD
k
k
=
=
=
+
+
；故
2
3
AD
OAD
OBD
BD
=
=
。
【解法二】
作 AE 垂直 OP 於點 E ，且 BF 垂直 OP 於點 F，則 AED
與 BFD
相似，
故
1
2
2
1
3
2
OP
AE
AD
AE
OAP
OBP
BD
BF
OP BF
=
=
=
=
。
由此可取
3
5
a =
、
2
5
b =
，使得
3
2
3
2
1
(4,3)
( 2, 5)
(8, 1)
5
5
5
5
5
OD
OA
OB
=
+
=
+
− − =
− 。
設
(8, 1)
OP
t
=
− ，再由
65
OP =
，可知
1
t =
，故點 P 的坐標為 (8, 1)
− 。
3
題號
參考答案
17
根據題意，由甲廠牌汽車每台成本 100 萬元，進口上限 20 台；乙廠牌汽車每台成本
120 萬元，進口上限 30 台，及車商準備 4400 萬元作為汽車進口成本，可列出不等式
並化簡得
0,
0
20
30
5
6
220
x
y
x
y
x
y
+
。
18
根據題意，目標函數 ( , ) 11
12
P x y
x
y
=
+
，求解聯立方程式可得出可行解區域的頂點坐
標 (0,0) 、 (0,30) 、 (8,30) 、 (20,20) 、 (20,0) 。
以下提供兩個解法求出最大利潤：
【解法一】頂點法
將可行解區域的頂點坐標代入目標函數
( , )
x y
(0,0)
(0,30)
(8,30)
(20,20)
(20,0)
( , ) 11
12
P x y
x
y
=
+
0
360
448
460
220
可知當進口甲廠牌汽車 20 台，乙廠牌汽車 20 台時，可獲得最大淨利潤 460（萬元）。
4
題號
參考答案
【解法二】平行線法
設 ( , ) 11
12
P x y
x
y
k
=
+
= ，
0
k
，則11
12
x
y
k
+
= 的斜率為
11
12
−
，
直線方程式 5
6
220
x
y
+
=
的斜率為
5
11
6
12
− −
，
由可行解區域及平行線法知當
20,
20
x
y
=
=
，即進口甲廠牌汽車 20 台，乙廠牌
汽車 20 台時，可獲得最大淨利潤 20 11 20 12 460
+
=
(萬元)。