1
分科測驗（
114 學年度起適用）
數學乙考科參考試卷（卷一）
試題解析
第壹部分、選擇（填）題
試題編號：1
參考答案：(4)
學科內容：D-12 乙-1 離散型隨機變數、D-12 乙-2 二項分布
測驗目標：隨機變數的期望值
試題解析：根據題意，出現 1 點、6 點的機率均為
1
1 4 (
)
1
12
2
3
−
= ，推得題意所求為
1
120
40
3
=
。
試題編號：2
參考答案：(5)
學科內容：G-10-7 三角比的性質
測驗目標：利用三角比的觀念解三角測量問題
試題解析：1.由甲塔頂 A 測得乙塔頂 C 的俯角為 22 ，可知水平線與
AC 的夾角為 22 。
2.由甲、乙兩塔的水平距離為 150，可知圖中
150
BC =
，且
由
1.知
22
ACB
= 。
3. 設 繩 索 AC 的 長 度 為
x
， 可 知
150
cos 22
x
=
， 故
150
cos 22
x =
。
試題編號：3
參考答案：(4)
學科內容：S-11B-1（S-11A-1）空間概念
測驗目標：空間中多面體的性質
試題解析：長方體有六個面，八個頂點；截去八個角後，除原有的六個面之外，新增了八個截面，
故形成十四面體。
2
試題編號：4
參考答案：(1)
學科內容：D-10-3 有系統的計數
測驗目標：有系統的計數
試題解析：根據題意，可分成以下 3 種情況討論：
1.甲、乙都在 A 組，此時有
6
5
2
1
3
2
60
C
C
C
=
種分組方式。
2.甲、乙都在 B 組，此時有
6
3
2
3
1
2
60
C
C
C
=
種分組方式。
3.甲、乙都在 C 組，此時有
6
3
3
3
20
C
C
=
種分組方式。
以上共 140 種分組方式。
試題編號：5
參考答案：(3)
學科內容：G-11B-1（G-11A-1）平面向量、G-11B-2（G-11A-6）平面向量的運算
測驗目標：平面向量的線性組合與內積運算
試題解析：由 A、B、D 共線，以及 3
8
AD
BD
=
，以及 OC 垂直 OD ，可推得 3
8
AD
BD
=
，
3(
)
8(
)
OD OA
OD OB
−
=
−
，推得
3
8
5
5
OD
OA
OB
−
=
+
。
【解法一】
因為 OC 垂直 OD ， OA 垂直 OB ，
故
2
2
3
2
3
8
9
16
(
) (
)
|
|
|
|
0
5
5
5
5
25
25
OC OD
OA
OB
OA
OB
OA
OB
−
−
=
+
+
=
+
= ，
得
|
|
3
4
|
|
OB
OB
OA
OA
=
= 。
【解法二】
因為 OA 垂直 OB ，設 O(0,0)、 ( ,0)
A a
以及 (0, )
B
b
，
可得
3
2
3
2
(
,
)
5
5
5
5
a
b
OC
OA
OB
=
+
=
，以及
3
8
3
8
(
,
)
5
5
5
5
a
b
OD
OA
OB
−
−
=
+
=
。
由 OC 垂直 OD ，
2
2
9
16
0
25
25
a
b
OC OD
−
=
+
= ，得
| |
3
| |
4
OB
b
a
OA
=
= 。
【解法三】
利用
3
2
5
5
OC
OA
OB
=
+
，3
8
AD
BD
=
。可得
:
:
2: 3: 3
AC CB BD =
，因為 COD
為直角
三角形，且 B 為 COD
之斜邊 CD 中點，故 B 為 COD
的外接圓圓心，推得
3
BO
BC
BD
t
=
=
= ，
0
t 。由 AOB
為直角三角形，得
3
3
4
4
OB
t
t
OA
=
= 。
3
試題編號：6
參考答案：(2)(4)
學科內容：N-10-6 數列、級數與遞迴關係、N-12 乙-2 無窮等比級數
測驗目標：觀察規律，評量等比數列、無窮等比級數和
試題解析：奇數項一般式為
(2
1) 1
2
2
2
1
1
3
3
,
1, 2,3
3
n
n
n
a
n
− −
−
−
=
=
=
;
偶數項一般式為
(2 ) 2
2
2
2
1
2
2
,
1, 2,3
2
n
n
n
a
n
−
−
=
=
=
選項(1)：
4
1
a = 、
5
1
3
a =
、
6
1
2
a =
、
7
1
9
a =
，故
4
6
5
7
a
a
a
a
。
選項(2)：
3
4
10
4
3
11
2
3
81
10
8
3
2
a
a
−
−
=
=
=
。
選項(3)：
【解法一】
50
2
2
2
4
6
1
1
1
2
2 1
4
1
2
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
a
=
=
=
+
+
+
= + + +
=
=
−
。
【解法二】
50
48
2
2
4
100
1
1
2 1
2
2
n
n
a
a
a
a
−
=
=
+
+ +
= + + + +
50
50
1
2 1
2
1
4
4
4
1
2
1
2
−
=
= −
−
。
選項(4)：由奇數項一般式
2
2
1
3
n
n
a
−
−
=
，及
4
5
4
5
1
1
1
1
1
1
3
,3
81
100
243
100
3
3
−
−
=
=
=
=
，
可知
2 7 1
13
a
a
−
=
滿足
13
1
100
a
。
同理由偶數項一般式
2
2
2
n
n
a
−
=
，
可知
2 9
18
a
a
=
滿足
18
1
100
a
。
故滿足
1
100
n
a
的最小正整數 n 是 13。
選項(5)：由
2
2
2
1
2
2
3
2
3
2
n
n
n
n
n
n
a
b
a
−
−
−
−
=
=
=
，得
2
1
1
3
2
9
2
2
3
2
1
3
n
n
n
n
b
−
=
=
=
=
=
−
4
試題編號：7
參考答案：(2)(4)
學科內容：D-10-4 複合事件的古典機率、
D-11B-2 不確定性（D-11A-2 條件機率、D- 11A-3 貝氏定理）
測驗目標：機率的定義、條件機率
試題解析：根據題意，以原點為起點，第一次若擲出 1、3、5 點，坐標分別為 0、 2
− 、 4
− ；若擲
出 2、4、6 點，坐標則分別為 1、2、3。
選項(1)：投擲骰子一次，棋子與原點距離為 2，則需擲出 3 點或 4 點，其機率為
2
1
6
3
= 。
選項(2)：期望值為
(
)
1
6 6
0 1 ( 2)
2
( 4)
3
0
6
6
−
+ + − + + − +
=
= 。
選項(3)：若要擲二次後抵達 5
− ，最有可能是擲出 3 點或 5 點。但擲出 3 點或 5 點，皆
無法配出棋子坐標為 5
− 。
選項(4)：投擲骰子二次，二次點數皆大於 3 的情形有 3 3 9
= 種。二次點數皆大於 3 且
棋子坐標為負，則兩次投擲中必定至少一次擲出 5，有 5 種情形。推得題意所
求機率為
5
9
。亦可列舉兩次點數大於 3 的情形求解。
選項(5)：投擲骰子三次，棋子會在原點，除了擲出 3 次 1 點外，還有其他可能，例如：
擲出 1、3、4 點，故機率必大於
3
1
6
。
試題編號：8
參考答案：(1)(4)
學科內容：F-10-1 一次與二次函數、F-10-2 三次函數的圖形特徵、F-12 乙-4 導函數
測驗目標：二次多項式函數圖形的性質、函數的導函數
試題解析： ( ) 0
f x = 沒有實根表示二次函數
( )
f x 的圖形都在
x
軸上方或下方。
選項(1)：當 (1) 0
f
時， ( )
f x 的圖形都在
x
軸上方，推得 (1) (2) 0
f
f
；當 (1) 0
f
時，
( )
f x 的圖形都在
x
軸下方，推得 (1) (2) 0
f
f
。
選項(2)：例如
2
( )
2
f x
x
= − −
，則 ( )
2
f x = − 有實根，但 ( ) 1
f x = 沒有實根。
選項(3)：例如
2
1
( )
2
f x
x
=
+ ，則 ( ) 2
f x = 有實根，且 ( ) 1
f x = 有實根。
選項(4)
：
當 (0)
0
f
時，圖形凹口向上，故
(0)
0
f
，得 (0) (0) 0
f
f
；同理當 (0) 0
f
時，圖形凹口向下，故
(0)
0
f
，得 (0) (0) 0
f
f
。一般而言，對任意實數 r，
( )
( )
0
f r f
r
均成立。
5
選項(5)：當 (3)
(1)
f
f
=
時，得
(
)
(3)
(1)
(2)
0
f
f
f
−
=
；當 (3)
(1)
f
f
時，若函數 ( )
f x
的圖形都在
x
軸上方，則點 (2, (2))
f
必在極小值發生點的右側，故
(2)
0
f
；若函數 ( )
f x 的圖形都在
x
軸下方，則點 (2, (2))
f
必在極大值發生
點的左側，故
(2)
0
f
，得
(
)
(3)
(1)
(2)
0
f
f
f
−
。同理可得當 (3)
(1)
f
f
時，
(
)
(3)
(1)
(2)
0
f
f
f
−
。此題也可令
2
( )
f x
ax
bx
c
=
+
+
，則
(
)
(3)
(1)
(2)
f
f
f
−
[(9
3
)
(
)] (4
)
a
b
c
a
b
c
a
b
=
+
+ −
+ +
+
2
2(4
)
0
a b
=
+
。
試題編號：9
參考答案：(1)(2)(4)
學科內容：D-10-2 數據分析
測驗目標：一維數據經線性平移後關於平均數、標準差的前後關係
試題解析：選項(1)：
1
1
1
1
1
1
(0.8
20)
20 0.2
0.2(100
)
0
y
x
x
x
x
x
− =
+
− =
−
=
−
。
選項(2)：令甲、乙兩班的原始平均分數為
1
x
、
2
x
，依據題意可得
1
60
0.8
20
x
=
+
、
2
60
0.75
25
x
=
+
，推得
1
50
x
=
、
2
140
3
x
=
。
選項(3)：令甲、乙兩班的原始分數標準差為
1
x
、
2
x
，依據題意可得
1
16
0.8
x
=
、
2
15
0.75
x
=
，推得
1
20
x
=
、
2
20
x
=
。
選項(4)：
1
2
1
2
(0.8
20) (0.75
25)
y
y
x
x
−
=
+
−
+
1
2
1
0.75(
) 0.05(
100)
0
x
x
x
=
−
+
−
，已知
1
100 0
x −
，得
1
2
0
x
x
−
。
選項(5)：由選項(2)可知，當甲班同學原始分數小於 50 分，乙班同學原始分數小於
2
46
3
分時，其調整分數會小於
60 分。但由題意無法得知各班原始分數的分
布情形。以下舉例說明：
甲班：調整後分數由小到大排序為 44 分有 20 人、76 分有 20 人，因此甲班
調整後分數不及格的人數有 20 人，且可由選項(2)推得甲班原始分數不及格
的人數為 20 人。
乙班：調整後分數由小到大排序為 30 分有 1 人、45 分有 16 人、60 分有 6
人、75 分有 16 人、90 分有 1 人，因此乙班調整後分數不及格的人數有 17
人，且可由選項(2)推得乙班原始分數不及格的人數有 23 人。
試題編號：10
參考答案：10
學科內容：A-11B-1 矩陣與資料表格（A-11A-1 二元一次方程組的矩陣表達、A-11A-3 矩陣的運算）
測驗目標：矩陣之加、減、乘法
試題解析：
2
1
1
1
1
2 0
1 0
2
2
1
1 1
1
0
2
0 1
A
I
=
=
=
=
−
−
，得
6
2
2
2
(2 )(2 )(2 )
8
A
A A A
I
I
I
I
=
=
=
。
6
8 0
3
3
5
3
3
8
3
0 8
3
3
3 11
A
A
I
A
−
−
=
−
=
−
=
−
−
，故
10
a b c d
+ + + =
。
6
試題編號：11
參考答案：46
學科內容：G-10-2 直線方程式、A-12 乙-1 線性規劃
測驗目標：由可行解區域尋找目標函數的最佳解
試題解析：直線 7
2
x
y
k
+
= 斜率為
7
2
− ，較頂點(4,5)、(6,2)所決定直線之斜率
5
2
3
4
6
2
−
= −
−
小，由平行線法可知，當直線 7
2
x
y
k
+
= 過(6,2)時，即
7 6 2 2
46
k = + =
，為題意所求 k 的最小值。
試題編號：12
參考答案： 4 2
學科內容：G-10-2 直線方程式、G-10-4 直線與圓
測驗目標：圓與直線的關係、兩平行線的距離
試題解析：已知圓與直線
0
x
y
+ = 交於 A、B 兩點且
8
AB = 。過圓心 O 點作兩平行線
0
x
y
+ = 、
24
x
y
+ =
的垂直線，設分別交兩平行線於 C、D 兩點。則
12
OA =
，
4
AC =
2
2
12
4
8 2
OC
=
−
=
，兩平行線
0
x
y
+ = 、
24
x
y
+ =
的距離
2
2
| 24
0 |
12 2
1
1
CD
−
=
=
+
，故
12 2 8 2
4 2
OD CD OC
=
−
=
−
=
。
第貳部分、混合題或非選擇題
13-15 題為題組
試題編號：13
參考答案：如解析
學科內容：F-11B-2 按比例成長模型（A-11A-4 對數律、F-11A-4 指數與對數函數）
測驗目標：對數律
試題解析：由對數律知
log
log (1
) = log
log(1
)
n
n
P
a
r
a
n
r
=
+
+
+
，
因此
5
2
log
log
log
5log(1
)
log
2log(1
)
log(1
)
3
3
P
P
a
r
a
r
A
r
−
+
+ −
−
+
=
=
=
+ ，
8
6
log
log
log
8log(1
)
log
6log(1
)
log(1
)
2
2
P
P
a
r
a
r
B
r
−
+
+ −
−
+
=
=
=
+ 。
所以
log(1
)
A
B
r
= =
+ 。
7
試題編號：14
參考答案：(1)
學科內容：F-11B-2 按比例成長模型（A-11A-4 對數律、F-11A-4 指數與對數函數）
測驗目標：指數律、指數函數模型
試題解析：根據題意，已知該傳染病每隔 16 天總感染人數會增加為 10 倍，可知
16
16
10
(1
)
n
n
P
r
P
+
=
= +
則每隔 2 天總感染人數會增加為原來的
1
1
2
16
2
8
8
(1
)
(1
)
10
n
n
P
r
r
P
+
= +
=
+
=
倍。
試題編號：15
參考答案：
15
16
學科內容：F-11B-2 按比例成長模型（A-11A-4 對數律、F-11A-4 指數與對數函數）
測驗目標：指數律、指數函數模型
試題解析：
10
2
1
3
19
1
2
2
4
20
1
1
1
1
10
1
1
1
1
k
k
k
P
P
P
P
P
P
P
P
r
r
r
r
−
=
=
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+
+
+
。
又承 14 可知
16
10
(1
)
r
= +
，推得
1
16
1
10
r
+ =
，因為
0
r ，所以
1
16
1
10
r
+ =
。
因此
15
10
2
1
16
2
1
10
10
1
k
k
k
P
P
r
−
=
=
=
+
，即
15
16
t =
。
16-18 題為題組
試題編號：16
參考答案：(5)
學科內容：A-12 乙-2 方程式的虛根
測驗目標：實係數方程式虛根成對
試題解析：已知 (2
)
0
f
i
− = ，由實係數方程式虛根成對定理，知 (2
)
0
f
i
+ = 。
因此 2 i
+ 是方程式 ( ) 0
f x = 的根。
試題編號：17
參考答案：
1,
2,
3,
10
a
b
c
d
=
= −
= −
=
學科內容：A-10-2 多項式之除法原理、A-12 乙-2 方程式的虛根
測驗目標：實係數方程式虛根成對、多項式之除法原理
試題解析：由 (2
)
(2
)
0
f
i
f
i
− =
+ = ，可知 ( )
f x 有因式 (
(2
))(
(2
))
x
i
x
i
− +
− −
。設
2
( )
(
)(
(2
))(
(2
))
(
)(
4
5)
f x
Ax
B x
i
x
i
Ax
B x
x
=
+
− +
− −
=
+
−
+
，由 (0) 5
10
f
B
=
=
，
(1)
(
)(1 4 5)
6
f
A
B
=
+
− + = ，可解出
1,
2
A
B
=
= 。
故
2
3
2
( )
(
2)(
4
5)
2
3
10
f x
x
x
x
x
x
x
= +
−
+ =
−
−
+
，得
1,
2,
3,
10
a
b
c
d
=
= −
= −
=
。
8
試題編號：18
參考答案：
125
24
學科內容：F-12 乙-3 微分、F-12 乙-5 積分
測驗目標：多項式函數的微積分
試題解析：
3
2
( )
2
3
10
f x
x
x
x
=
−
−
+
，
2
( )
3
4
3
f x
x
x
=
−
−
， 以 (0,10) 為 切 點 的切 線 L ， 其 斜率為
(0)
3
f
= − ， 因 此 L 的 方 程 式 為
10
3(
0)
y
x
−
= −
−
， 即 3
10
x
y
+ =
。 解 3
10
x
y
+ =
與
2
2
8
10
y
x
x
=
−
+
，得
2
5
2
5
0
0,
2
x
x
x
−
= =
。因此 L 與
2
2
8
10
y
x
x
=
−
+
有兩交點，
x
坐標
分別為
5
0,
2
，由
2
2
8
10
y
x
x
=
−
+
的開口朝上，題意所求封閉區域的面積：
5
2
2
0
( 3
10) (2
8
10)
x
x
x
dx
− +
−
−
+
5
2
2
0
( 2
5 )
x
x dx
=
−
+
5
3
2
2
3
2
0
2
5
2 5
5 5
125
3
2
3 2
2 2
24
x
x
= −
+
= −
+
=
。