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台北市九十九學年度
高中數學及自然學科能力競賽
數學科筆試（一）試題
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為 49 分。
2. 考試時間：2 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將演算過程依序填寫在答案卷內。
問題一：
給定不相交的一圓 O 與一直線 l。過圓心 O 且與直線 l 垂直的直線交圓 O
於點 A 與 B、又交直線 l 於點 C，設
AC
BC
。若一圓
O
與直線 l 相切且
與圓 O 外切，而過點 A 的一直線與圓
O
交於點 P 與 Q，試證：
AC
AB
AQ
AP
。
(12 分)
問題二：
試求
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
2)
(
6)
(
3)
(
3)
(
4)
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小
值。
(12 分)
l
B
A
O
Q
P
O'
C
問題三：
如圖，A-BCD 為一每邊長
6 2
公分的正四面體，P、Q、R 依序為
AC
、
BC
及
BD
三邊的中點，△PQR 所決定的平面 E 交
AD
於 S。
(1) 試證
PQRS
為一正方形。
(2) 試求立體
BAPQRS
的體積。
(12 分)
問題四：
平面上有
99
條相異的直線
n
L (
1, 2,3,
,99)
n
，設直線
n
L
上有一點
n
P
(
,
)
n
n
a b
滿足
1
1
1
2
,
1, 2,3,
,99
2
n
n
n
n
b
a
b
a
n
，
其中
100
1
a
a
且
0
99
b
b
。試證：這
99
條直線
n
L
共點。
(13 分)
E
B
C
D
P
Q
R
S