解答發佈時間：
110.10.11 結構學
實 力 文 教 機 構
~ 1 ~
110 年公務人員高等考試試題結構學參考解答
一、下圖中有
(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)四個平面結構，小圓符號代表鉸接或滾接，否則為
剛接。請判定它們為不穩定結構或穩定結構？若為不穩定結構，請說明不穩定原因；
若無穩定結構，請判別其靜不定的次數
R 。（
0
R =
，即表示為靜定結構。）
(20 分)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
•
110 年土木高考試題•
(1)已知
• 結構型式：(Ⅰ) beam；(Ⅱ) frame；
(Ⅲ)、(Ⅳ) truss
(2)待求
• 穩定性/靜定性
問題剖析
• 力的觀點：無法平衡 不穩定
• 變位觀點：剛體運動 不穩定
Key
110 年土木高等考試試題解答
結構學
實 力 文 教 機 構
~ 2 ~
(1)圖(Ⅰ)結構
垂直力 P 作用下（圖 a），會產生剛體運動。
∴不穩定
(2)圖(Ⅱ)結構
垂直力 P 作用下（圖 b），所有反力全部交於 O 點，
此時
[Σ
0]
O
M ≠
。
∴不穩定
(3)圖(Ⅲ)結構
垂直力 P 作用下（圖 c），考慮左半分離體圖，此時
[Σ
0]
y
F ≠
。
∴不穩定
(4)圖(Ⅳ)結構
垂直力 P 作用下（圖 d），桿件
EA
承受軸壓力
N
，
此時
A 點
[Σ
0]
x
F ≠
。
∴不穩定
Ans：(Ⅰ)~(Ⅳ)皆為不穩定
參考解答
圖
a
圖
b
圖
c
圖
d
圖
e
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110.10.11 結構學
實 力 文 教 機 構
~ 3 ~
※本題請參考“實力結構學《系統剖析》上冊
【P2-6
】
”
二、下圖為一水平梁，此梁
AC 段及 BC 段之斷面性質不同，AC 段為 EI 、BC 段則為
剛性（
EI = ∞ ），相關尺寸配置如圖所示。若於梁的 A 端施加一彎矩 M ，試以共軛
梁法求解此梁最大的垂直位移及其與
A 點的距離，另亦求解 A 點之轉角。（本題以
其他方法求解，一律不予計分。）
(25 分)
•
110 年土木高考試題•
(1)已知
• 剛 度：
EI ，
∞
• 外 力：
M
(2)待求
• 變 位：
A
θ ，
max
∆ 及其位置
(3)方法
• 共軛梁法
(4)思路
•（外力）→（內力）→（變位）
(1)（外力）→（內力）
• 依據個別法
繪製彎矩圖（圖
a）。
(2)（內力）→（變位）
• 依據共軛梁法
繪製共軛梁（圖
b），其中
1
( )
M
ML
F
L
EI
EI
=
=
2
1
( )
2 2
4
M
ML
F
L
EI
EI
=
=
問題剖析
參考解答
max
max
M
∆
=
會產生在
0
θ
=
處。
Key
限
圖
a 彎矩圖
採用個別法的好處在於後續計算
彎矩圖面積會比較簡單。
Note
110 年土木高等考試試題解答
結構學
實 力 文 教 機 構
~ 4 ~
圖
b
1
2
3
4
[
0]: (2 )
0
2
3
B
A
L
L
M
R
L F
F
Σ
=
−
+
=
➪
7
0.583
12
A
A
ML
ML
R
EI
EI
θ
=
=
=
再取圖
c 分離體圖，其中
3
( )
M
Mx
F
x
EI
EI
=
=
2
4
1
( )
2 2
4
Mx
Mx
F
x
EIL
EIL
=
=
3
4
( )
2
3
x
A
x
x
M
R x F
F
=
−
+
2
3
7
12
2 12
M
Lx x
x
EI
L
=
−
+
令
0
x
dM
dx
= ，
2
7
0
12
4
L
x
x
L
− +
=
0.709
x
L
=
2
max
0.709
max
0.1919
x
L
ML
M
M
EI
=
=
=
=
∆
※本題請參考“實力結構學《系統剖析》上冊
【P4-36
】
”
Ans：(a)
2
max
0.1919ML
EI
=
∆
（
↓）
距離
A 點
0.709
x
L
=
(b)
0.583
A
ML
EI
θ
=
（
）
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圖
c
圖
b 共軛梁
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110.10.11 結構學
實 力 文 教 機 構
~ 5 ~
三、如圖顯示一剛架結構，
B 點及 C 點為剛接，剛架尺寸配置及各桿件斷面之 EI 值如
圖所示。若於
CD 桿件中點施加一集中載重 P ，忽略各桿件軸向變形，試用彎矩分
配法求解
A 點、B 點、C 點之端彎矩
AB
M
、
BA
M
及
CB
M 及 C 點垂直位移
C
∆
，並請
繪製此剛架結構受力後之彈性變形圖。
（本題以其他方法求解，一律不予計分。）
(30
分
)
•
110 年土木高考試題•
(1)已知
• 剛 度： 5EI ， 3EI ， 4EI
• 外 力：
P ↓
(2)待求
• 內 力：
AB
M
，
BA
M
，
CB
M
• 變 位：
C
∆
• 變 形 圖
(3)方法
• 彎矩分配法
(4)思路
•（外力）→（內力）→（變位）
(1)準備工作
• 判別自由度
本題有三個自由度（圖
a），五個待求桿端彎矩（圖 b）。
• 依據疊加原理
（原結構）
=
（圖
c）
+
（圖
d）
+
（圖
e）
問題剖析
參考解答
本題有三個自由度，若用傳統
的彎矩分配法，計算量超大（唯
一好處是不必解聯立）
，建議使
用改良式的彎矩分配法（不是
綜合彎矩分配法喔）。
Key
圖
a 自由度
限
圖
b 待求桿端彎矩
110 年土木高等考試試題解答
結構學
實 力 文 教 機 構
~ 6 ~
圖
c 外力的 F.E.M.
圖
d 側移的 F.E.M.
圖
e
D.M.／C.O.M.
• 計算固端彎矩(Ⅰ)
3 (4 )
3
16
4
F
CD
P L
PL
M = −
= −
• 計算固端彎矩(Ⅱ)
2
2
2
:
:
6(5 )(5 )
6(3 )(3 )
3(4 )(4 )
:
:
(5 )
(3 )
(4 )
6
:
6
:
3
F
F
F
AB
BC
CD
M
M
M
EI
EI
EI
L
L
L
a
a
a
∆
∆
∆
= −
−
=
−
−
（令
2
a EI L
∆
=
）
• 計算相對
S 值
:
:
4(5 )
4(3 )
3(4 )
:
:
(5 )
(3 )
(4 )
4
:
4
:
3
BA
BC
CD
S
S
S
EI
EI
EI
L
L
L
=
=
(2)（外力）→（內力）
• 列表計算
Joint
A
B
C
E.M.
AB
BA
BC
CB
CD
D.F.
0
1 2
1 2
4 7
3 7
F.E.M.
6a
−
6a
−
6a
−
6a
−
3
4
PL
−
3a
D.M.
2x
2x
4y
3y
C.O.M.
x
2
y
x
∑
M
38
39
PL
−
3
26
PL
−
3
26
PL
20
39
PL
−
20
39
PL
• 依據力的平衡
○
1
圖
f[
0]:
0
B
BA
BC
M
M
M
Σ
=
+
=
4
2
12
0
x
y
a
+
−
=
…
(a)
○
2
圖
g
[
0]:
0
C
CB
CD
M
M
M
Σ
=
+
=
3
7
3
4
x
y
a
PL
+
−
=
…
(b)
○
3
圖
h
[
0]:
A
M
Σ
=
(6 )
(8 ) 0
2
4
CD
AB
M
P
M
P L
L
L
+
−
+
=
7
6
12
2
x
y
a
PL
−
−
= −
…
(c)
將各回合的分配全部累加
將各回合的傳遞全部累加
代入
x
、
y 及
a
值的最後答案
圖
f for
x
圖 g for y
圖
h for
a
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實 力 文 教 機 構
~ 7 ~
聯立
(a)~(c)式，可得
67
78
x
PL
=
，
3
26
y
PL
=
，
11
36
a
PL
=
將
x
、
y 及
a
值代回上表，可得各桿端彎矩（圖
i），
最後再繪製彎矩圖（圖
j）。
(3)（內力）→（變位）
• 依據變位幾何關係
2
2
4
11
4
4
36
C
L a
L
PL
EI
EI
∆
∆
=
=
=
3
11
9
PL
EI
=
最後，由彎矩圖推論變形圖（圖
k）。
※本題請參考“實力結構學《系統剖析》下冊
【例 I2.3-2
】
”
Ans：(a)
38
39
AB
M
PL
= −
（
），
3
26
BA
M
PL
= −
（
），
20
39
CB
M
PL
= −
（
）
(b)
3
11
9
C
PL
EI
∆
=
（
↓）
(c)變形圖如圖 k 所示
您終究要參加國家考試！
為何不趁早加入實力呢？
無論是大學或是研究所畢業
靠一張文憑是很難立足土木界的
透過國考取得技師證照或公職資格
才能讓您行遍天下～暢行無阻～
學校考試唸一次
研究所考試再唸一次
國家考試又要再來一次
其實 您可以畢其功於一役
加入實力 讓您大小考試都輕鬆如意
圖
i 桿端彎矩
圖
j 彎矩圖
圖
k 變形圖
110 年土木高等考試試題解答
結構學
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~ 8 ~
四、如圖顯示一懸臂梁
AB 與二力桿 BC 於 B 點鉸接處使用一螺旋彈簧連結，此彈簧勁
度為
S
k ，桿件 AB 之斷面性質為 EI 、二力桿件 BC 為 EA。已知 B 點垂直位移及旋
轉之自由度分別為
1
r 及
2
r ，相應之垂直力
1
R 為 P 、彎矩
2
R 為 M 。試依據圖中所示
之自由度
1
r 及
2
r ，以直接勁度法求此結構之勁度矩陣
[ ]
2 2
K
×
；若考慮
0
M =
，試求解
僅有外力
P 作用下之勁度矩陣
[ ]
1 1
K
×
，並請依照
[ ]
1 1
K
×
求解
B 點之垂直位移
B
∆ 。
（本
題以其他方法求解，一律不予計分。）
(25 分)
（已知：
3
EA L EI L
=
；
5
S
k
EI L
=
）
•
110 年土木高考試題•
(1)已知
• 剛 度：
EI ， EA
• 勁 度：
3
EA L EI L
=
，
5
S
k
EI L
=
• 外 力：
P ↓， M
(2)待求
• 勁度矩陣：
[ ]
2 2
K
×
，
[ ]
1 1
K
×
• 變 位：
B
∆
(3)方法
• 直接勁度法
(4)思路
•（結構型式）→（勁度矩陣）
•（外力）→（變位）
問題剖析
題目中所謂「鉸接處使用一螺
旋彈簧連結」這句話是不精確
的，應該說「
B 點梁端有螺旋
彈簧連結」才是正確的描述，
因為鉸接點的左右轉角不同，
必須清楚說明彈簧在哪一側才
是對的。
Key
限
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~ 9 ~
(1)準備工作
• 設定座標
題目已給定
,
r R
座標，可得外力矩陣
1
2
R
P
R
M
=
(2)（結構型式）→（勁度矩陣）
• 依據勁度係數的定義
圖
a：令
1
1
r = ,
2
0
r = ，可得
11
3
3
3
12
12
EI EA
EI EI
K
L
L
L
L
=
+
=
+
3
13EI
L
=
21
2
6EI
K
L
= −
圖
b：令
2
1
r = ,
1
0
r = ，可得
12
2
6EI
K
L
= −
22
4
4
5
S
EI
EI
EI
K
k
L
L
L
=
+
=
+
9EI
L
=
∴
[ ]
3
2
2 2
13
6
K
6
9
L
EI
L
L
L
×
−
=
−
(3)（外力）→（變位）
• 依據勁度矩陣連結外力-變位關係
[R] [K][r]
=
或
1
1
3
2
2
2
13
6
6
9
L
R
r
EI
R
r
L
L
L
−
=
−
或
1
2
3
2
13
6
EI
EI
P
r
r
L
L
=
−
…
(a)
1
2
2
6
9
EI
EI
M
r
r
L
L
= −
+
…
(b)
• 依題意，將
0
M =
代入
(b)式
1
2
2
6
9
0
EI
EI
r
r
L
L
−
+
=
2
1
2
3
r
r
L
=
…
(c)
參考解答
110 年土木高等考試試題解答
結構學
實 力 文 教 機 構
~ 10 ~
將
(c)式代入(a)式，可得
1
1
3
2
13
6
2
3
EI
EI
P
r
r
L
L
L
=
−
1
3
9EI
P
r
L
=
∴
[ ]
3
1 1
9
K
EI
L
×
=
3
1
9
PL
r
EI
=
（
↓）
B
∆
=
※本題請參考“實力結構學《試題精選》
【P6-273
】
”
Ans：(a)
[ ]
3
2
2 2
13
6
K
6
9
L
EI
L
L
L
×
−
=
−
(b)
[ ]
3
1 1
9
K
EI
L
×
=
(c)
3
9
B
PL
EI
∆
=
（
↓）
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