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102年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：44650
等 別： 四等考試
類 科： 天文
科 目： 微積分
考試時間： 1小時 30 分 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
下列各個題目必須詳列解題的過程。
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一、計算下列各個題目：
∫=
−
1
0
2？dxxe x（15 分）
？=
−1
x
x
dx
d（15 分）
二、假如 T是一個四面體，並且它的四個角分別為(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)和(0,0,1)。
求 ∫∫∫
=
T
ydVI 。（15 分）
三、試問當 0≥
x
時，什麼函數的馬克勞林（Maclaurin）級數是
？
n
n
nx
n
xx ∑
∞
=
−
=−+−
0
2
)!2( )1(
!4!2
1L
（請證明你的答案是正確的。）（10 分）
四、假如函數 f在閉區間[0,1]是連續的，並且對於每一個 x在閉區間[0,1]內， 1)(0
≤
≤
x
f
。
請證明在閉區間[0,1]內必定存在一個實數 c滿足 cc
f
=)( 。（15 分）
五、已知函數 1284),(
+
+
−= y
x
y
x
y
x
f
是在被直線 x＝0, y＝0和x＋y＝1所包圍且在第
一象限的三角形板上。求函數 ),( y
x
f
在所給的範圍下的絕對極大值和絕對極小值。
（15 分）
六、有一個以點(b,0)為中心且半徑為 a的圓盤，其中 b＞a＞0。將這個圓盤繞著 y軸旋
轉後形成甜甜圈，求該甜甜圈的體積。（15 分）