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102年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：34780
等 別： 三等考試
類 科： 天文
科 目： 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
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下列各個題目必須詳列解題的過程。
一、已知矩陣 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
011
101
110
A，求矩陣 A的對角化後的矩陣。（15 分）
二、令 dxdyz2
=
η
在3
R
空間，並令
S
是在 3
R
空間單位球的上半球體。計算 ？
=
∫∫
S
η
（15 分）
三、已知矩陣 =
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
2
0
1
1
5
2
2
6
2
1
3
1
。
（每小題 5分，共 10 分）
求矩陣 A的列空間的基底。
求矩陣 A的行空間的基底。
四、有一熱方程式 2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂，其中 0>
t
且∞
<
<
∞
−
x
。已知一開始時溫度的分布是
,2cos1)0,(
x
x
u+=
∞
<
<∞−
x
。求這個問題的解。（20 分）
五、已知有一個系統 ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−=
+
−
=
tyxy
yxx
3sin4022"
26"2 ，它一開始時的條件是
0)0(')0()0(')0(
=
=== yy
x
x
。求這個問題的解。（20 分）
六、已知問題
x
yy tan'' =+ 和,1)0(
=
y0)0('
=
y。求這個問題的解。（20 分）