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年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：天文
科 目：應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）
考試時間：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目得以本國文字或英文作答。
代號：
34980
頁次：
2
－
1
一、假設
))
(
),
(
),
(
(
t
z
t
y
t
x
滿足以下線性系統：
+−=
+=
−
+
−
=
.2
,
,2
zyxz
zxy
zyxx
⑴
請求出滿足⑴之
)
,
,
(
z
y
x
的通解。（20 分）
令))(),(),(( tztytx ppp 滿足⑴及初始值 ),,())0(),0(),0(( 000 zyxzyx ppp
=
的
解。試問對任何 ),,( 000 zyx ,))(),(),(( tztytx ppp 在
∞
→
t
是否都有界？如
果不是，是否能給出適當 ),,( 000 zyx 使得 ))(),(),(( tztytx ppp 在
∞
→
t
維
持有界。（10 分）
二、利用分離變數法求解以下熱方程的初始及邊界值問題：
<<=
>==
>
<
<
−
=
.0,0)0,(
,0,1),(,0),0(
,0,0,
hxxu
tthutu
thxauuu xxt
此時 a為一個正數。（提示：設解
)
(
)
,
(
)
,
(
x
t
x
v
t
x
u
φ
+
=
，利用
φ
來處理非
零邊界條件。不需要算出傅立葉級數的係數，只要寫出積分公式即可。）
（25 分）
代號：
34980
頁次：
2
－
2
三、定義函數空間
{
)(')1,0()())1,0((
1
0xfxxfC 都可微分且微分在每點函數 ∈=
)
1
,
0
(
在是連續函數，
}
0)1()0(
=
=
ff 。假設
∫−+= 1
022 ,]2)'[(
2
1
)( dxvxevvvI x
))1,0((
1
0
Cv∈。請在 ))1,0((
1
0
C函數空間中找出使
)
(
v
I
為最小的函數 v，需
要說明為什麼這個 v使
)
(
v
I
為最小。（提示：變分法）（25 分）
四、求
)
(
x
y
y
=
滿足
==
=+
′
+
′′
∞→ .0)(lim,0)1(
,/)(ln3
2
xyy
xxyyxyx
x
試問這樣的
)
(
x
y
是不是唯一的？（20 分）