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100
年公務人員升官等考試、
100
年關務人員升官等考試試題
代號：
37660
等 別： 薦任
類 科： 天文
科 目： 應用數學（包括微積分、微分方程、向量分析）
考試時間： 2小時
座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
各題需詳列計算過程。
全一頁
一、求出下列積分：（每小題 4分，共 20 分）
dx
x
x
∫+
2
1
3)
1
2(
dxe x
∫
2
0
2
dxx
∫4
0)2sin(
π
dxxx
∫4
0
2)sin()(cos
π
dx
x)
2
(
2
1
∫
二、利用極座標（polar coordinates）求出半徑為 a的圓的面積。（20 分）
三、f (x, y) = x2-xy+y2+5x+2y。（每小題 10 分，共 20 分）
求出 f (x, y)的極小值，以及出現此極小值時的 x, y 值。
在x = 2y的限制下，求出 f (x, y)的極小值，以及出現此極小值時的 x, y 值。
四、 0=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
b
x
u
a，請用分離變數法求解 u，其中 a, b為兩個常數。（20 分）
五、在一個二維的平面上，令向量場F
v
= (4x+2y)i
v
+ (2x-3y)，其中的
j
vi
v
與j
v
分別為沿
x與y軸方向的單位向量。現在將
F
v
沿著一個圓心在原點，半徑為 3的圓的邊界，
以逆時針方向積分一圈，結果為多少？（20 分）