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100年公務人員高等考試三級考試試題 代號：35950
類 科： 核子工程
科 目： 微積分與微分方程
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
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以下每題都需要寫出詳細過程，每一小題獨立計分。
令1−=i，
x
、 和 皆為實數。
yz
一、
令∫−
=
2
0
1
tan),( zdy
x
y
zxF ，求 z
F
∂
∂
。（10 分）
求ix
xix)
1
1(lim +
∞→ 。（15 分）
二、求 （Cauchy 型）之通解。（20 分） 042)( 43 =+−
′
+
′′′ ixiyyixyix
三、求 在曲面 上之極大值和極小值，
用Lagrange 法。（20 分）
222 )3()2()1(),,( −+−+−= zyxzyxf 14
222 =++ zyx
四、證明圓錐曲面 和球面 在每一個相交點
222 yxz += 2
222 =++ zyx )1,,(
±
y
x
p皆為正交
（Orthogonal），也就是兩曲面在 點之二切面的法線（Normal Lines）為垂直。
（20 分） p
五、令 ，求反拉氏變換
[]
dxxgexgLzG zx )()()( 0
∫∞−
== ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+
−)1ln( 2
2
1z
i
L，用 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+− )1ln( 2
2
z
i
dz
d。
（15 分）