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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：37460
類 科：
氣象
科 目：
應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）
考試時間：
2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
全一張
（
正面
）
一、
kjikji
r
r
r
r
r
r
r
r
4B23A ++=+
−
=，
求出：（每小題 5分，共 25 分）
B
A
r
r
+
A
r
在沿著
B
r
所指向方向的投影量
此兩向量構成之三角形的面積
此兩向量的夾角
繪出
B
A
r
r
−
與
A
r
和
B
r
在空間中相對的幾何關係
二、由(0, 0)到(3, 9)有兩條路徑，路徑 1是y = 3x，路徑 2是y = x
2
，現在有兩個向量場：
1
F
r
= (3x + y)
i
r
+ (x + 2y)
j
r
及
2
F
r
= (x + y)
i
r
+ (2x - y)
j
r
請問：（每小題 5分，共 25 分）
那一個向量場是保守的？也就是在兩點之間沿任意一條片段平滑（piecewise smooth）
曲線的線積分其結果不變？請解釋你是如何判斷的？
請將保守的這個向量場分別沿路徑1與路徑2由(0, 0)積分到(3, 9)，結果為何？是否合
乎
中不受路徑影響的描述？
求出該保守向量場的位勢函數（potential function）。
利用此位勢函數計算
中的線積分，其結果為何？
利用 Green’s theorem 計算由路徑 1與路徑 2所圍成區域的面積。
三、將下列函數在 x = 0 處進行泰勒（Taylor）級數展開，求出非零的前三項。
（每小題 5分，共 10 分）
ln(1 + 2x)
2
1
)1( x+
四、求出下列積分：（每小題 5分，共 10 分）
dx
x
x
∫
+
2
1
3)
2
(
dxexx
x
])(sin)[cos(
2
4
0
2
+
∫
π
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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：37460
類 科：
氣象
科 目：
應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）
全一張
（
背面
）
五、求解下列微分方程：（每小題 5分，共 10 分）
x
dx
dy
x
y+=1
3
x
y
x
y
dx
dy += 3
3
2
1
六、證明：
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
⋅∇−⋅=⋅∇ dVFfdsnFfdVFf )()()(
r
r
r
r
其中的三維積分是針對一封閉曲面所圍成的體積 V，二維的積分則是在此曲面上進
行的面積分，
n
r
為曲面上的法向量。（10 分）
七、求出下列矩陣的反矩陣（inverse matrix），並驗證之（寫出計算過程）。（10 分）
−
−
−
122
410
312