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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：28360
類 科： 氣象
科 目： 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
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一、令 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
112
101
212
A，⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=
210
101
120
B，⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1
0
1
u，⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1
1
2
v
請計算出 AB, BA, vTBv, det (A2)。（20 分）
二、請找出下列微分方程系統的通解並決定其臨界點的型態和穩定度。（20 分）
⎩
⎨
⎧
−−=
′
−−=
′
212
211 32
23
yyy
yyy
三、請解下列初始值問題：
2
84 xyy =+
′′ , 3)0( −=
y
, 0)0( =
′
y
。（15 分）
四、請證明 LL ,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnx
x
x
x
x
，這些三角函數（trigonometric
functions）在
π
π
<<−
x
之間是彼此正交的（orthogonal）。（15 分）
五、請定義和解釋單位步階函數（Unit Step Function），並推導出它的拉普拉斯轉
換（Laplace transform）。（10 分）
六、請解下列邊界值問題：
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
x
yx
x
u
t
ψ
β
ψψ
，0=
∂
∂
x
ψ
at 1±=y and ),(),0( yLy
ψ
ψ
=其中u
和
β
都是常數。（20 分）