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107年公務人員高等考試三級考試試題 代號：37860 全一頁
類科： 氣象
科目： 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
作答時務必清楚寫下每一題的演算過程，如沒有完整的演算過程，只寫答案，則不給予任何分數。
（請接背面）
一、已知矩陣方程組
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=++
−=−+
14
12
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
求其解。
將方程組寫成矩陣形式 AX = b。（3分）
求矩陣的特徵值和所對應的特徵向量。（12 分）
求矩陣 A的反矩陣，並且用此反矩陣求此方程組的解。（5分）
二、求 dydxex
xy
∫∫ +−
2
1log
02
1)1( 。（20 分）
三、解下列微分方程式：
3
1
)0(,022 −==+
′
−
′′ yyyxy 。（12 分）
0)0(,2132)1(3 =−=+
′
−
′
+
y
x
y
y
y
y
x。（8分）
四、使用拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的方法解微分方程式。（15 分）
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
′
=
=
′
+
′′ −
.1)0(
,0)0(
,sin
y
y
xeyy x
五、
已知三角形 DEF 的邊是 C，其邊上的方向性是逆時針方向。其頂點分別為 D(0,0),
E(1,2)和F(0,2)。使用格林定理（Green’s Theorem）計算
Δ
∫+
C
ydyydxx 24 2。（10 分）
已知向量場 。求向量場 F的電位能（Scalar
potential）。（要先驗證其守恆性，否則不給分。）（15 分）
kji yzxeex yxyx 2)2()1( −−++= ++
F