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110年公務人員高等考試三級考試試題
類 科
：
氣象
科 目
：
應用數學
（
包括微積分
、
微分方程與向量分析
）
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
38760
頁次：
2
－
1
一、科學問題應用，模擬日全蝕現象（如 2020/6/21 之日全蝕），計算日全蝕
過程中於日全蝕處大氣短收直接來自太陽的能量。日全蝕過程如圖，白
色圓圈為太陽、灰色圓圈為月亮，兩星球視覺半徑皆為 R。假設月亮靜
止不動，太陽等速直線運動（v=2R/T），t為時間，初虧時 t=0，食甚時
t=T（兩星球完全重疊），單位時間、單位面積之太陽能量強度為 S，且
假設 S為固定值。
求在 t=0～T任意時間兩球重疊處的面積 A，θ為重疊處之夾角，A為
θ之函數。（10 分）
求初虧到食甚過程（t=0～T）中於日全蝕地點大氣所短收直接來自太
陽的能量。（20 分）
（提示：能量變化 dw=dASdt）
二、傅立葉級數（Fourier series）與應用：
若函數 f(t)可以被展開為傅立葉級數，則 f(t)需滿足什麼條件？（10 分）
若有一組觀測資料 f(t)，總共有 2N 個觀測數據，時間總長度為 T，n
為特徵值，請寫出 f(t)之傅立葉級數。（10 分）
利用之傅立葉級數，針對相同週期之特徵函數（特徵值為 n），其週
期、振幅及相位各為何？（15 分）
代號：
38760
頁次：
2
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2
三、球面上兩點之間的距離：
若地球半徑 R=6400 公里，在地球面上有 A、B兩點，其經緯度各為 A
（30N, 120E），B（60N, 150E），求在地球面上 A、B兩點之間的距離（請
寫出近似之數值）。（15 分）
提示 1：球面上兩邊夾一角求第三邊公式：
cos(a) = cos(b)cos(c) + sin(b)sin(c)cos(A)
提示 2：三角函數可利用泰勒級數展開得到近似值
四、矩陣 A=1 2
2 1。
求A之特徵值（eigenvalues）及特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
將A對角線化（diagonalization）。（10 分）