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109年公務人員高等考試三級考試試題
類 科
：
氣象
科 目
：
應用數學
（
包括微積分
、
微分方程與向量分析
）
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
39260
頁次：
1
－
1
一、設a和b為實數，試求下列對稱矩陣為正定（positive definite）的充分必要
條件，並證明其結果。（20分）
a b b b
b a b b
b b a b
b b b a
二、求下列微分方程系統的解。（20分）
'( ) 2 ( ) ( )
'( ) 3 ( ) 2 ( )
(0) 1, (0) 2
t
t
u t u t v t e
v t u t v t e
u v
三、設
F
及
G
為三維向量場，證明下列散度、旋度公式。（20分）
div( ) (curl ) (curl )
F G F G F G
四、寫出
2
L
週期實函數
( )
f x
的傅立葉級數公式。（6分）
設
( )
x
為中之傅立葉基底函數， 2
( )
L
L
x dx
為何？（6分）
使用計算 2
( )
L
L
f x dx
。（8分）
五、求下列偏微分方程的通解w。（20分）
2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) 0
w x y z
x y z