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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：26950
類 科： 核子工程
科 目： 微積分與微分方程
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
務必將所有演算過程寫在試卷上，否則不予計分。
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一、
已知函數 ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
=0,
0,
1)5.0(
)( xk
x
x
xf
x
，在 0=
x
處連續，求
k
值。（15 分）
求？=
−
→1sec
lim 2
0x
x
x（10 分）
二、
已知函數 xyxxyy,xf 64)( 22 −−−= ，求此函數在以 (0, 0)，(2, 0)，(2, 6) 三點所
圍成的三角形區域
}{
xy,xy,xD 3020:)( ≤≤≤≤= 的最大值和最小值。（15 分）
求∫∫
Ω++ 2322 )1( 1/
yx dxdy，其中Ω是由(0, 0)，(1, 0)，(1, 1)三點所圍成的三角形區
域。（15 分）
三、已知向量 kxyjzyiyxz,y,xv
v
v
v
v
222
)( ++= ，計算下列之值：（每小題 10 分，共 20 分）
)3,2,1(−•∇ v
v
。
)1,2(3, −×∇ v
v
。
四、已知微分方程系統
,1)0(),(7.0
)( 11
1=−= ftf
dttdf
,0)0(),(0.5)(7.0
)( 221
2=−= ftftf
d
t
tdf
0)0(),(5.0
)( 32
3== ftf
dttdf
求)(tf１，)(
2tf 和)(
3tf 。（25 分）