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106年公務人員高等考試三級考試試題 代號：26150 全一頁
類 科：核子工程
科 目：微積分與微分方程
考試時間：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
（請接背面）
一、
求極限值： 2
0
2
02
cos
lim
2
x
dtt
x
x
∫
→。（10 分）
已知 )(
x
f
y=滿足方程式 且086 33 =−++ yyxx 1)1( =
f
，求圖形 )(
x
f
在點 ))1(,1(
f
的
切線方程式。（10 分）
二、利用Lagrange 乘數法（The Method of Lagrange Multipliers）求函數 在
25.075.0
200),( yxyxf =
0120000600400),( =−+= y
x
y
x
g的條件下之最大值。（20 分）
三、令向量函數 kxzyjyzxixyzzyxF
G
G
H
G
)5()3()(),,( 222 ++= 。（每小題 10 分，共 20 分）
試求
F
G
的散度（Divergence）： ),,( zyxF
G
•∇ 。
試求
F
G
的旋度（Curl）： ),,( zyxF
G
×∇ 。
四、求下列的積分值：（10 分）
∫∫
Ω
+dxdy
y
x2
2
sin ，其中 }2|),{( 2
2
ππ
≤+≤=Ω y
x
yx 。
利用格林定理（Green Theorem）計算下列線積分：（10 分）
dyexdxexy y
C
x)2()2( 22 +++
∫，其中曲線 C是由拋物線 與直線 所圍成封閉
區域之邊界。
2
xy =xy =
五、求下列微分方程組的解：（20 分）
)(2)(2 32
1tyty
dt
dy += ， ，
5)0(
1=y
)(2)(2 13
2tyty
dt
dy += ， ，
1)0(
2−=y
)(2)(2 21
3tyty
dt
dy += ， 。
1)0(
3−=y