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年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：統計
科 目：統計學
考試時間：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
31480
頁次：
1
－
1
一、新北市捷運環狀線部分路段預定在 2019 年年底完工通車，目前已進
入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時
間是服從具有自由度為 2的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系
統，得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本，分別以
1
Y與
2
Y表示。
（每小題 10 分，共 40 分）
令變數
2
1
YYD
−
=
，求出變數
D
之機率密度函數
)
(
d
f
。
令變數
2
1
YYS
+
=
，求出變數
S
之變異數
)
(
S
Var
。
令變數 R為全距，求出變數
R
之機率密度函數
)
(
r
f
。
令變數
}
{
2
1
,min YYU
=
及
}
{
2
1
,max YYV
=
，求出機率
)
10
,
6
(
>
<
V
U
P
。
二、某經濟學者長期研究國內農民的家戶所得，發現國內的農家所得是服
從平均數為
µ
，變異數為 2
σ
之常態分配。針對評估農家所得分配是否
不平均的狀況，此經濟學者提出了以所得分配的第 90 百分位數和第
10 百分位數的差（以 θ表示），做為評估農家所得分配是否不平均的
評估指標。今由全臺灣農家隨機抽取 n筆家戶所得的資料，得到隨機樣
本n
XXX ...,,, 21 。令
)
(
x
F
為農家所得分配之累積分配函數（cumulative
distribution function）。（每小題 10 分，共 30 分）
假設
µ
和2
σ
皆未知，求出上述評估指標
θ
之最小變異不偏估計量
（uniformly minimum variance unbiased estimator），
θ
ˆ
。
假設 2
σ
已知但
µ
未知，求出上述累積分配函數
)
(
x
F
之不偏估計量的變
異數的 Cram’er-Rao 下限（Cram’er-Rao lower bound）。
假設 2
σ
已知但
µ
未知，求出上述
)
(
x
F
之信賴水準為
)%
1
(
100
α
−
的信賴區間。
三、同時丟擲三個均勻的骰子（均勻的骰子，指骰子出現每一點的機率均
等）5次，令變數 T代表 5次丟擲中三個骰子出現的點數皆不同的次
數，且令變數 W代表 5次丟擲中三個骰子出現的點數皆相同的次數。
（每小題 10 分，共 30 分）
求出變數 T與W之聯合機率密度函數
)
,
(
w
t
f
。
求出給定
t
T
=
之下，W之條件機率密度函數 )( twf 。
求出條件變異數的期望值 ])([ TWVE 。