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105年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：35180 全四頁
第一頁
等別： 三等考試
類科： 工業工程
科目： 工程統計學與品質管制
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
一、令 X為某電子零件的厚度，最理想的厚度值是 θ（單位：mm）。現在給定一組所謂
iid 資料，X1, X2, ..., Xn。令 μX 為X 之期望值， 2
X
σ
為X之變異數。我們想要估計 μX
與2
X
σ
。我們以不偏（unbiased）或小的 mean squared error（mse）為選取估計量的標
準。
令∑=
=n
iinXX 1/為μX之估計量。令 )(var)se( XX =為
X
之標準誤。
再令 3個2
X
σ
之估計量定義如下：
‧2
1
2
2
11
)(
ˆS
n
XX
n
ii=
−
−
=∑=
σ
‧n
Sn 2
2
2
)1(
ˆ−
=
σ
‧1
)1(
ˆ
2
2
3+
−
=n
Sn
σ
回答以下問題並說明理由：（每小題 5分，共 30 分）
X
是否為 μX的不偏估計量？
令μX之95%信賴區間為 ))(),(( 2/2/ XsezXXsezX
αα
+− 。
寫出 2/
α
z之值。（參考附表：標準常態分配表）
上一小題使用了中央極限定理，本小題是考你中央極限定理的定義。中央極限定理
是當 n無限大時，＿＿＿的分配趨近標準常態。（請將應填在空白處的答案作答於
試卷上）
2
1
ˆ
σ
是否為 2
X
σ
的不偏估計量？
3 個2
X
σ
之估計量中何者 mse 最小？
如果 X 服從常態分配且 μX未知，則 2
X
σ
的最大概似估計量（maximum likelihood
estimator, MLE）為何？
（請接第二頁）
105年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：35180 全四頁
第二頁
等別： 三等考試
類科： 工業工程
科目： 工程統計學與品質管制
二、考慮一個 2k全因子實驗，其中 k = 3，各有 2個水準。回答下列問題，並說明理由：
（每小題 5 分，共 20 分）
繪一立方圖，將符號：(1), a, b, c, ab, ac, bc, abc 填在立方圖之適當位置。
將符號：(1), a, b, c, ab, ac, bc, abc 填在表 1中之第三行（Treatment Combination）
之適當位置，並將符號+、−填滿第四到第十行之適當位置。（請將表 1繪製於試卷
上作答）（表 1中之第一行是做實驗時實際上使用的次序，第二行是實驗設計中所
謂的標準次序。）
說明如何估計主效用 A。
因為經費受限，無法做 23全因子實驗，只能做 4次實驗。假設可犧牲 ABC 交互作
用，要如何選擇此 4次實驗？
表1：23全因子實驗
註：Run order：做實驗時實際上使用的次序
Standard order：實驗設計中所謂的標準次序
三、令 X 為某電子零件的厚度。現在給定一組所謂常態 iid 資料，X1, X2, ..., Xn。令 μX為
X之期望值， 2
X
σ
為X之變異數， ∑=
=n
iinXX 1/為μX之估計量， )E(X
X
=
μ
，
)(var)se( XX =為
X
之標準誤。
如果使用 Shewhart Chart
X
品管圖：上下限分別為
)se(Xk
X
+
μ
與
)se(Xk
X
−
μ
，其
中，當製程正常時 μX = μ0，σX = 1。將正確 average run length（ARL）填入表 2之
空格(a), (b), (c), (d)，並列出計算式。（(a), (b), (c), (d)之答案請作答於試卷上）其中，
μX = μ0 +δσX , σX = 1，查附表：標準常態分配表。（每一答案 5分，共 20 分）
（請接第三頁）
表2：ARL Values.
Run Stand. Treat. Factorial Effect
Order Order Combi. A B C AB AC BC ABC
4 1
2 2
8 3
1 4
6 5
5 6
7 7
2 8
δ k = 2 k = 3
0 (a) (b)
1 (c) (d)
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第三頁
等別： 三等考試
類科： 工業工程
科目： 工程統計學與品質管制
（請接背面）
四、表 3第三、四行列出太陽系九大行星之公轉週期 x（定義為：行星繞太陽的週期，單
位：天）與軌道的平均半徑 y（定義為：行星繞太陽的橢圓長軸半長，單位：109 cm）。
使用線性迴歸算出 x與y的關係： 9...,,2,10655.0340
ˆ=+= ixy ii ，。表 3最右一行是
迴歸值與真實值的誤差（ei = yi −i
y
ˆ，9...,,2,1=i）。表 4為迴歸之相關 ANOVA 表，
圖1 提供與誤差相關的資料。
表3：x, y, and e
i 行星 xi y
i ei
1 水 88 58 -287.764
2 金 225 108 -246.738
3 地 365 150 -213.908
4 火 687 228 -156.998
5 木 4339 778 153.795
6 土 10761 1427 382.155
7 天王 30690 2875 524.805
8 海王 60185 4505 222.882
9 冥王 90782 5914 -372.221
圖1：Plots about ei
根據以上太陽系九大行星相關的圖與表中之資料，回答下列問題，並說明理由：
（每小題 5分，共 30 分）
判斷此迴歸式
y
ˆ= 340 + 0.0655x是否適合描述 x與y的關係？
列出迴歸式 Coefficient of Determination, R2之值。
列出 MSR 與MSE之值（表 4第四行）。
列出 ANOVA 表中虛無與對立假設。
根據 ANOVA 表中最後兩列的值（F and P），針對上小題之虛無與對立假設作出結論。
此迴歸式的誤差值是否為獨立？
（請接第四頁）
表4：ANOVA 表
Fitted Value
Residual
Residual
Residual Plots for Y
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Observation Order
Percent
Fre
q
uenc
y
Residual
Residual
Source DF SS MS F P
Regression 1 36822205 MSR304.16 0.000
Residual Error 7 847428 MSE
Total 8 37669632
105年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：35180 全四頁
第四頁
等別： 三等考試
類科： 工業工程
科目： 工程統計學與品質管制
附表 標準常態分配表
z1
dzezzp
zz
∫
∞−
−
=≤
12
2
1
12
1
)(
π