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台南一中 111學年度 第一學期 第二次段考 高一數學科
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一、單選題（每題 6分，共 6 分）
( ) 1. 𝐿1:7𝑥+𝑦=15，𝐿2:3𝑥−𝑦=5，已知 3條直線 𝐿1、𝐿2、𝐿3 可圍出一個三角形，試問當 𝐿3 為下列何者時，
所圍成的三角形面積最大？
(1) 6𝑥−5𝑦=0 (2) 6𝑥−5𝑦=𝜋 (3) 6𝑥−5𝑦=5 (4) 6𝑥−5𝑦=−1 (5) 6𝑥−5𝑦=−2
二、多選題（每題 8分，共 24 分，8−6−4−2−0）
( ) 1. 平面上有一個面積為 50 𝜋 的圓 C，若三直線 𝐿1:𝑦=𝑥+17，𝐿2: 𝑦=𝑥+ 7，𝐿3: 𝑦=𝑥 −13，其中有 2條
是圓 C的切線，直線 𝑀:𝑦=−3𝑥+1，通過圓 C的圓心，試選出正確的選項：
(1) 𝐿1 是圓 C的切線 (2) 直線 𝑀1: 𝑦=−3𝑥− 26 與圓 C交於 2點
(3) 直線 𝑀1: 𝑦=−3𝑥 + 16 與圓 C交於 2點 (4) 點 𝐴( 8 ,−1 ) 在圓 C上 (5) 點 𝐵( 0 ,−10 ) 在圓 C內
( ) 2. a為正實數，且圓 𝐶:𝑥2−2𝑎𝑥+𝑦2− 4
𝑎𝑦=0 的圓心為點 P，當實數 𝑎=𝑡0 時，圓心 P與原點 𝑂( 0 ,0 ) 有
最小距離為 m，試選出正確的選項：
(1) 圓心 P的坐標為 ( 𝑎 , 2
𝑎 ) (2) 圓C半徑的最大值為 2 (3) 𝑡0=√2
(4) 𝑚=2 (5) 𝑎=𝑡0 時，圓 C上的點與直線 𝑥+𝑦+4=0 距離的最大值為 4+√2
( ) 3. 試判斷下列各選項所述情形或方程式，何者在坐標平面上洽可決定一圓？
(1) √ ( 𝑥 − 111 )2+( 𝑦 − 2022 )2 =√2
3 (2) 𝑥2+𝑦2+6𝑥−4𝑦+13=0
(3) 通過三點 ( −2 ,7 )，( 7 ,−8 )，( 1 ,2 ) (4) 兩點 𝐴( 2 ,6 ) 和 𝐵( 5 ,0 )，滿足 𝑃𝐴= 1
3𝑃𝐵 的點 P軌跡
(5) 與x軸，y軸，𝑥+𝑦=2022 三直線皆相切
三、填充題（每格 5分，共 60 分）
1. 求過 𝐴( 1 ,2 ) 且與 2𝑥+3𝑦=5 垂直之直線方程式 。
2. △ABC 中，𝐴( 1 ,4 )，𝐵( 2 ,3 )，𝐶( 2 ,2 ) 試求△ABC 之外接圓方程式 。
3. 平行四邊形 ABCD，𝐴( 2 ,7 )，𝐵( 1 ,2 )，𝐶( 5 ,0 )，又過 𝑃( 0 ,1 ) 之直線 L將平行四邊形之面積平分，求 L之方
程式 。
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4. 𝐿:𝑦=𝑚𝑥+6 與直線 𝑦=− 4
3𝑥 垂直，將直線 L向右平移 a單位或向下平移 b單位都會與直線 𝑦=𝑚𝑥 重合，
試求數對 ( 𝑎 ,𝑏 )= 。
5. L為過 ( 4 ,3 ) 之直線，求分別滿足以下條件之 L方程式：
(1) L在第一象限與 x軸，y軸所圍成之三角形有最小面積，求 L: 。
(2) L與2坐標軸圍成之三角形面積＝ 3，求 L: 。 （2解）
6. 過點 𝐴( 3 ,4 ) 對圓 𝐶:( 𝑥− 1 )2+( 𝑦 − 3 )2=4 可作 2條切線，2切線分別交圓 C於P、Q兩點，則：
(1) △APQ 之外接圓方程式為 。 (2) △APQ之面積為 。
7. 在坐標平面上，一圓過點 𝐴( 2 .−1 )，且與直線 4𝑥−3𝑦=14 相切於點 𝐵( 5 ,2 )，求此圓之方程式為
。
8. △ABC 中，𝐴(−1 ,2 )，𝐵( 5 ,10 )，外心 ( 6 ,3 )，試求滿足條件之△ABC 最大面積為 。
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9. 在 𝐿:4𝑥−3𝑦=5 上有兩點 𝑃( 111,𝑎 )，𝑄( 𝑏 ,√2022 )，則 𝑎 − √2022 + 4
111 − 𝑏 + 3 = 。
10. 點 𝑃( −2 ,−3 )，Q為x軸上一點，R為圓 ( 𝑥− 4 )2+( 𝑦 − 5 )2=9 上一點，試問 | 𝑃𝑄− 𝑄𝑅 | 之最大值為
。
四、計算題（共 10 分）
1. (1) 𝛤: { 𝑥2+𝑦2−10𝑥+6𝑦+9≤0
𝑥≥0
𝑦≥0 試在坐標平面上表示 𝛤 之區域。（3分）
(2) 直線 𝐿:𝑦=𝑚𝑥+5 與 𝛤 有交點，求 m之範圍。（7分）
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一、單選題
1.
(5)
二、多選題
1.
2.
3.
(1)(3)
(1)(3)(4)
(1)(4)
三、填充題
1.
2.
3.
4.
3𝑥−2𝑦=−1
𝑥2+𝑦2−𝑥−5𝑦+4=0
𝑦=1
( 8 ,6 )
5.(1)
5.(2)
6.(1)
6.(2)
3𝑥+4𝑦=24
3𝑥− 2𝑦=6
或 3𝑥− 8𝑦=12
(𝑥−2)2+(𝑦−7
2)2=5
4
2
5
7.
8.
9.
10.
(𝑥+7)2+(𝑦−11)2=225
25(√2+1)
4
3
2√10+3
四、計算題
1.(1)
1.(2)
−5≤𝑚≤−5
9
( 5 , -3 )