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台南一中 111學年度 第一學期 第一次段考 高二數學科(A 卷)
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一、單選題（每題 5分，共 10 分）
( ) 1. 若已知 sin 39° ≈ 0.63 ，則下列選項中哪一個數值最接近 sin(−1992°)？
(A) 0.21 (B) 0.23 (C) 0.25 (D) 0.27 (E) 0.29
( ) 2. 已知 𝛼 為實數，且 sin 𝛼 = 𝛼 + 1，則下列何者正確？
(A) cos𝛼 < sin 𝛼 < tan𝛼 (B) cos 𝛼 < tan 𝛼 < sin𝛼 (C) tan𝛼 < sin 𝛼 < cos 𝛼
(D) sin 𝛼 < tan 𝛼 < cos 𝛼 (E) sin 𝛼 < cos 𝛼 < tan 𝛼
二、填充題（每格 5分，共 90 分）
1. 單位圓的外切正八邊形的面積為 。
2. 已知− 𝜋
2 < 𝜃 < 0，且 sin 𝜃 + cos 𝜃 = 1
2，則 cos3𝜃 − sin3𝜃 = 。
3. 已知 4𝜋
3 ≤ 𝑥 ≤ 11𝜋
3，若 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2 的最大值為 a，最小值為 b，則數對 ( 𝑎 , 𝑏 )= 。
4. 已知 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋，則滿足不等式 sin( 2𝑥 − 𝑥
4 ) ≥ 1
2 的x值之區間長度為 。
5. 已知 𝜋
6 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
3，函數 𝑓(𝑥)= 3tan 𝑥+5
tan 𝑥+1 ，若 𝑓(𝑥) 的最大值為 𝛼，最小值為 𝛽，則數對 ( 𝛼 , 𝛽)= 。
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6. 已知 0 < 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋
2，且 sin( 𝑥 + 𝑦 ) = 𝑠𝑖𝑛 𝜋
5，cos( 𝑥 − 𝑦 ) = 𝑐𝑜𝑠 𝜋
5，則合於條件數對 ( 𝑥 , 𝑦)= 。
7. 已知 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋，則 𝑓(𝑥)= sin( 𝑥 + 7𝜋
18 ) + cos( 𝑥 + 2𝜋
9 ) 的最大值為 。
8. 已知 y軸與直線 𝐿1: 𝑦 = 1
2 𝑥 的銳夾角為 𝜃，若直線 𝐿2: 𝑦 = 𝑚𝑥 平分角 𝜃，則 m之值為 。
9. 若 tan 𝛼，tan𝛽 為二次方程式 𝑥2− 5𝑥 + 6 = 0 的兩個實數解，其中 − 𝜋
2 < 𝛼 < 𝜋
2，− 𝜋
2 < 𝛽 < 𝜋
2，則
𝑡𝑎𝑛 𝛼+𝛽
2= 。
10. 已知 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋，方程式 | sin 𝑥 |+| cos 𝑥 |= 2 | cos 2𝑥 | 的實數解有 個。
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11. 在△ABC 中，𝐴𝐵 = 3，𝐵𝐶 = 7，𝐶𝐴 = 8，今以 A為圓心，𝐴𝐵 為半徑畫弧，此弧交 𝐴𝐶 於D。若稱在△ABC 內
部且在扇形 BAD 外部的區域為 R，則區域 R的面積為 。
12. 在平面上， 𝐴( 5 ,12 )，𝐵( 12 , 5 )，𝐶( 𝑥 , 0 )，其中 𝑥 > 0。則
(1) 𝑃𝐴
𝑃𝐵 的最大值為 。 (2) 當 𝑃𝐴
𝑃𝐵 的最大值時，tan ∠𝐴𝑃𝐵 之值為 。
13. 已知 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋，函數 𝑓(𝑥)= sin2𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥
(1) 將 𝑓(𝑥) 表成 𝑓(𝑥)= 𝐴𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 + 𝐵)+ 𝐶，其中 A，B，C為定實數，則序組 ( 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 )= 。
(2) 若 𝑓(𝑥) 的最大值為 M，最小值為 m，則數對 ( 𝑀 , 𝑚 )= 。
(3) 若方程式 𝑓(𝑥)= 𝑘 有兩個相異實數解，則 k的範圍為 = 。
三、計算題（每題 5分，共 10 分）
1. 若令 𝑥 = sin 𝜃，試將 sin 5𝜃 表成 x的多項式。（降次排列）（5分）
2. 利用 1.小題的結果，試求 cos 666° 之值。（5分）
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台南一中 111學年度 第一學期 第一次段考 高二數學科(A 卷)
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一、單選題
1.
2.
(A)
(E)
二、填充題
1.
2.
3.
4.
5.
8√2 − 8
5√7
16
( √3
2 , −1 )
2
3𝜋
(6 − √3 , 2 + √3 )
6.
7.
8.
9.
10.
( 3
10 𝜋 , 1
2𝜋 )
1
√5 − 2
√2 + 1
4
11.
12.(1)
12.(2)
13.(1)
13.(2)
6√3 − 3
2𝜋
8
7
17
( √2
2 , − 𝜋
4 , 1
2 )
( 1 + √2
2,1 − √2
2)
13.(3)
1 − √2
2<𝑘<1 + √2
2，且 𝑘 ≠ 1
2
三、計算題
1.
2.
sin 5𝜃 = 16𝑥5−20𝑥3+ 5𝑥
√10 − 2√5
4