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台南女中 111學年度 第一學期 第三次段考 高二數學科 A卷
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一、是非題（每題 2分，共 20 分）
( ) 1. 同時與一平面平行的兩相異直線必互相平行。
( ) 2. 空間中相異兩直線必可決定一個平面。
( ) 3. 已知右圖 ABCD-EFGH 是一個長方體，則 △AFG 為直角三角形。
( ) 4. 若 |3𝑎−2𝑐 3𝑐
3𝑏−2𝑑 3𝑑|+|𝑐 +2𝑎 3𝑎 +𝑐
𝑑+2𝑏 3𝑏+𝑑|+|2022 2023
2024 2025| = 0，則 |𝑎 𝑐
𝑏 𝑑| = 1。
( ) 5. 已知 𝑎
+𝑏
+𝑐
= 0
，且 | 𝑎
|= 5、| 𝑏
| = 8、| 𝑐
|= 7，則 𝑎
∙𝑏
=20。
( ) 6. 設x、y皆為正整數且 𝑥−2𝑦 = 10，則 𝑥2+𝑦2 得最小值為 20。
( ) 7. 已知△ABC 面積為 k，若 P點滿足 𝐴𝑃
= 𝑥𝐴𝐵
+𝑦𝐴𝐶
，其中 −1 ≤ 𝑥 ≤ 2
、
−2 ≤ 𝑦 ≤ 1，則所有 P點所形
成區域的面積為 9k。
( ) 8. P、Q、R為坐標平面上相異三點，若 | 𝑃𝑄
| = | 𝑃𝑅
|+| 𝑅𝑄
|，則 𝑃𝑄
∙𝑃𝑅
= |𝑃𝑄
||𝑃𝑅
|。
( ) 9. 已知 A、B、C、D為平面上相異四點，且 𝐴𝐵 =𝐴𝐶，若 𝐴𝐷
=𝐴𝐵
+𝐴𝐶
，則四邊形 ABCD 為菱形。
( ) 10. 在坐標平面上，設 O為原點，且 A、B為異於 O的相異兩點。令 𝐶1
、
𝐶2 為平面上兩個點，且已知 𝑂𝐶1
=
𝑂𝐴
+𝑂𝐵
、𝑂𝐶2
=𝑂𝐴
+2𝑂𝐵
，則 𝑂𝐶1
∙𝑂𝐴
< 𝑂𝐶2
∙𝑂𝐴
。
二、單選題（每題 5分，共 15 分）
( ) 1. 求兩直線 𝐿1:3𝑥 +4𝑦− 1 = 0 和 𝐿2:𝑥 −7𝑦 +1 = 0 所夾的銳夾角為何？
(1) 15° (2) 30° (3) 45° (4) 60° (5) 75°
( ) 2. 右圖為一長方體形狀的房間，𝐴𝐵 = 15，𝐴𝐷 =20，𝐴𝐸 = 5，將監視器裝設在 E
點，若有小偷從 B點沿著 𝐵𝐷 移動到 D點，求這個過程中，小偷離監視器 E點的
最近距離為何？
(1) 3√29
2 (2) 5√29
2 (3) 12 (4) 13 (5) √146
( ) 3. 假設 △ABC 的三邊長分別為，𝐴𝐵 = 5，𝐵𝐶 = 8，𝐴𝐶 = 6。請選出和向量 𝐵𝐴
的內積最大的選項。
(1) 𝐴𝐶
(2) 𝐶𝐴
(3) 𝐵𝐴
(4) 𝐶𝐵
(5) 𝐵𝐶
三、多選題（每題 5分，共 25 分）
( ) 1. △ABC 中，已知 𝐴𝑃
= 9
16𝐴𝐵
+ 1
4 𝐴𝐶
，若 F 在 𝐵𝐶 上且 𝐴𝐹
= 𝑡 𝐴𝑃
，請選出正確的選項。
(1) 點P在△ABC 內部 (2) 𝑡 = 16
13 (3) 𝐵𝐹 ∶ 𝐹𝐶 = 9 ∶ 4
(4) △ABP 和△ACP 的面積比為 9 ∶ 4 (5) △ABP 和△ABC 的面積比為 1 ∶ 4
( ) 2. 右圖為平面坐標上兩個邊長為 2的正六邊形，共用一邊連接而成，其中 C、O、A、R、P、S為頂點，B、
Q兩點分別為兩個正六邊形的中心點，𝑂( 0 ,0 )
、
𝐴( 2 ,0 )，請選出正確的選項。
(1) 𝐶𝑃
= 2 𝑂𝐴
+2 𝑂𝐵
(2) △AOB 的面積為 √3
(3) 𝑂𝑅
在 𝑂𝑄
的正射影為 ( 24
7 ,12√3
7 )
(4) ) 𝑂𝑅
在 𝑂𝑄
的正射影長 =𝑂𝑄
在 𝑂𝑅
的正射影長
(5) 𝐶𝑃
與 𝑂𝑆
所張成的平行四邊形面積為 8√3
A
B
C
D
E
F
G
H
E
A
B
F
H
D
C
G
y
x
O
C
A
R
P
S
Q
B
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( ) 3. 右圖是空間中的一個四面體，已知底面 BCD 是為邊長 12 的正三角形，H為頂點 A
在底面 BCD 的投影點。且側面皆為腰長 10 的等腰三角形，設 M為 𝐶𝐷 中點，N為
𝐴𝐵 中點，請選出正確的選項。
(1) 𝐴𝐻 = 2√13 (2) 𝐴𝐵
∙𝐶𝐷
= 0 (3) cos∠𝐴𝑀𝐵 > cos∠𝐴𝐶𝐵
(4) 𝑀𝑁 垂直 𝐴𝐵 (5) 𝑀𝑁 垂直 𝐶𝐷
( ) 4. 設 𝑎
= ( 𝑝 ,1 )，𝑏
= ( 1 ,1 )，欲將 𝑐
= ( r , q) 寫成 𝑎
與 𝑏
的線性組合，以 𝑐
= 𝑥 𝑎
+𝑦 𝑏
表示，請選出
必定正確的選項。
(1) 若 𝑐
可表示成 𝑎
與 𝑏
的線性組合，則 𝑝 ≠ 1
(2) 若 𝑝 ≠ 1，則 𝑐
可表示成 𝑎
與 𝑏
的線性組合
(3) 若 𝑞 ≠ 0 且 𝑟 ≠ 0，則 𝑐
可表示成 𝑎
與 𝑏
的線性組合
(4) 若「 𝑎
與 𝑐
所決定的平行四邊形面積」是「𝑎
與 𝑏
所決定的平行四邊形面積」的 3倍，則 𝑦 = 3
(5) 若 𝑥 = 2，則「 𝑏
與 𝑐
所決定的平行四邊形面積」是「𝑎
與 𝑏
所決定的平行四邊形面積」的 2倍
( ) 5. 設k為實數，圓心為 O的單元圓有 A、B、C三點，且 −𝑂𝐴
+𝑂𝐵
+𝑘 𝑂𝐶
= 0
，請選出正確的選項。
(1) 𝐴𝐵
平行 𝑂𝐶
(2) 對任意滿足條件的 k，△OAB 和△ABC 的面積均相等
(3) 𝐴𝑂
=𝐴𝐶
− 1
𝑘 𝐴𝐵
(4) 𝑘 = 1 時，∠𝐵𝐴𝐶 =120° (5) 𝑘 = √3 時，∠𝐵𝐴𝐶 =105°
四、填充題（每格 5分，共 30 分）
1. 已知聯立方程式 { 𝑎1𝑥+𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦 = 𝑐2 恰有一組解為 𝑥 = 2
、
𝑦 = 3，求聯立方程式 { ( 𝑎1−2𝑏1 )𝑥−3𝑏1𝑦 = 3𝑐1
( 𝑎2−2𝑏2 )𝑥−3𝑏2𝑦 = 3𝑐2 的解
( 𝑥 ,𝑦 )= 。
2. 圖一為正三角形的紙張 ABC，其中 D、E是 𝐵𝐶 的三等分點。今沿著摺線 𝐴𝐷
、
𝐴𝐸 摺起，使得 B、C兩點重合，
令此重合點為 P點，形成如圖二的四面體 ADEP。已知平面 APD 與平面 APE 所形成的兩面角大小為 θ，則
cos𝜃 = 。
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3. 右圖為兩個邊長為 1的正六邊形，共用一邊連結而成的平面圖形。已知 A、B、C為三個頂點，求 𝐴𝐵
∙𝐴𝐶
=
。
4. 如圖，∠𝐵𝐴𝐷 =90°，𝐴𝐷 = 1，𝐵𝐶 =√3𝐵𝐷，求 𝐴𝐶
∙𝐴𝐷
= 。
5. 地面上 A、B兩點的距離為 8公尺，而動點 C在地面上以 𝐴𝐵 為直徑的圓上，今在 B點建立一座樓梯垂直於地
面，從樓梯頂 D點到 B點的距離為 6公尺，如圖所示，則當 𝐴𝐶 +2 𝐷𝐶 有最大值時，𝐴𝐶 為 公
尺。
6. △ABC 中，𝐴𝐶 = 4，𝐵𝐶 = 3，P為△ABC 內部一點，𝑃𝐴
+𝑃𝐵
+𝑃𝐶
= 0
，且 𝑃𝐴
∙𝑃𝐵
= 0，求 cos∠𝐴𝐶𝐵 =
。
A
B
C
A
B
D
C
C
A
B
D
8
6
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五、混合題（共 10 分）
方衣系統為台灣原住民的一種服裝型式，由兩條窄幅長條形的衣料拼縫成無領的長衣或背心，在衣料取得不易
的情況下，直接取用素材，不做太多剪裁，是不浪費素材的一種構成方式。阿美族人的重要工藝「樹皮衣」，也屬於
方衣系統。
樹皮工藝在部落消失已久，直到民國八十五年，部落長老們靠著口述相傳，才摸索找回這項傳統，族裡有名年
輕的工藝創作者想融入方形元素創立一個品牌，推廣自己的文化，設計如【圖一】的藍圖樣式，細節如【圖二】，
ABCD 和EFGH 為全等的長方形，且 H在 𝐴𝐵 上，A、E、F共線，𝐹𝐸 =𝐴𝐵 = 8，𝐸𝐻 =𝐴𝐷 = 3。設 𝐴𝐶
= 𝑘𝐴𝐻
+𝐴𝐷
，
且 𝐴𝐶
與 𝐴𝐷
所張成的平行四邊形面積為 𝐴𝐻
與 𝐴𝐷
所張成的平行四邊形面積的 8
5 倍，試回答下列各題。
1. 請選出正確的選項。 （5分）
(1) 𝑘 = 4
3 (2) 𝐹𝐻
= 5
8𝐹𝐴
+ 3
8𝐹𝐵
(3) 𝐴𝐶
與 𝐴𝐻
所張成的平行四邊形面積＝𝐴𝐻
與 𝐴𝐷
所張成的平行四邊形面積
(4) 𝐴𝐶
∙ 𝐷𝐵
=50 (5) 𝐴𝐶
∙ 𝐴𝐻
=40
2. 求C點到 AF 直線的距離為 。（ 5分）
【圖一】
【圖二】
A
C
B
D
H
F
E
G
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台南女中 111學年度 第一學期 第三次段考 高二數學科 A卷
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一、是非題
1.
2.
3.
4.
5.
✕
✕
◯
✕
✕
6.
7.
8.
9.
10.
✕
✕
◯
◯
✕
二、單選題
1.
2.
3.
(3)
(4)
(5)
三、多選題
1.
2.
3.
4.
5.
(1)(2)(5)
(2)(4)
(1)(2)(5)
(2)(5)
(1)(2)(4)(5)
四、填充題
1.
2.
3.
4.
5.
( 6 ,−7 )
1
3
1
√3
2√5
6.
5
6
五、混合題
1.
2.
(3)(5)
36
5