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中山附中 111學年度 第一學期 第三次段考 高二數學科 A卷
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一、單選題（每題 5分，共 10 分）
( ) 1. 設O為原點，下列哪一個條件可使點 P在線段 𝐴𝐵 上？
(A) 𝐴𝑃
+2𝐴𝐵
=0
(B) 𝑂𝑃
=𝑂𝐴
+𝑂𝐵
(C) 𝑂𝐴
= 3
5𝑂𝐵
+ 2
5𝑂𝑃
(D) 12𝑂𝑃
−4𝑂𝐵
−8𝑂𝐴
=0
(E) 5𝑂𝑃
+𝑂𝐴
−6𝑂𝐵
=0
( ) 2. 於△ABC 中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶 =4，𝐶𝐴=2，則下列哪一個選項的值最小？
(A) 𝐵𝐶
∙𝐶𝐴
(B) 𝐴𝐵
∙𝐴𝐵
(C) 𝐴𝐵
∙𝐴𝐶
(D) 𝐴𝐵
∙𝐶𝐵
(E) 𝐴𝐵
∙𝐶𝐴
二、多選題（每題 8分，共 24 分，8−5−2−0）
( ) 1. 已知 𝑎
、
𝑏
為平面上兩非零向量，則下列選項哪些是正確的？
(A) 𝑥 ,𝑦 ∈𝑅，若 𝑥 𝑎 +𝑦 𝑏
=0
，則 𝑥=𝑦=0
(B) 若 | 𝑎 +𝑏
|=| 𝑎 −𝑏
|，則 𝑎 ⊥𝑏
(C) 若 𝑎
∥
𝑏
，則 | 𝑎 +𝑏
|= | 𝑎 |+| 𝑏
|
(D) 若 | 𝑎 |=5，| 𝑏
|=2，則 𝑐 =2𝑎 −5𝑏
平分 𝑎 與 𝑏
的夾角
(E) 已知 𝑑
=𝑥 𝑎 +𝑦 𝑏
，若 𝑎 與 𝑏
所決定的平行四邊形面積為 𝑑
與 𝑎 所決定的平行四邊形面積的 4倍，則
| 𝑦 |=4
( ) 2. 下列選項哪些是正確的？
(A) | 3𝑎 3𝑏
3𝑐 3𝑑 |=3| 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 | (B) | 4𝑎 3𝑏
3𝑐 4𝑑 |=12| 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 |
(C) 若 | 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 |=√5，則 | −2𝑎+𝑏 5𝑎−3𝑏
−2𝑐+𝑑 5𝑐−3𝑑 |=√5
(D) 若 { 𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2 恰有一解，則 𝑢
=( 𝑎1 ,𝑏1 ) 與 𝑣 =( 𝑎2 ,𝑏2 ) 不平行
(E) 若 ∆ =| 𝑎1𝑏1
𝑎2𝑏2 |=0，則 { 𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2 有無限多解
( ) 3. 設 𝑂𝐴
、𝑂𝐵
、𝑂𝐶
、𝑂𝐷
為平面上四個互不平行的非零向量，且滿足 𝑂𝐴
∙𝑂𝐷
=𝑂𝐵
∙𝑂𝐷
=𝑂𝐶
∙𝑂𝐷
，則下
列選項哪些是正確的？
(A) 𝑂𝐴
=𝑂𝐵
=𝑂𝐶
(B) 𝑂𝐴
在 𝑂𝐷
上的正射影與 𝑂𝐵
在 𝑂𝐷
上的正射影相同
(C) 𝐴𝐵
∙ 𝑂𝐷
= 𝐵𝐶
∙ 𝑂𝐷
(D) 𝐴𝐵
⊥𝑂𝐷
(E) 存在一組實數 x、y，使得 𝑂𝐷
=𝑥 𝐴𝐵
+𝑦 𝐴𝐶
三、填充題（共 58 分）
格數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
8
16
24
30
36
42
46
50
54
58
1. 已知 𝑎 =( 2 ,1 )、𝑏
=( 5 ,6 )、𝑐 =( −1 ,3 )，若實數 t滿足 ( 𝑡 𝑎 +𝑏
)
∥
𝑐 ，則 𝑡= 。
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2. | log4−log25 log4
2+log5−log2 1−log2 |= 。
3. 設 𝐴( −2 ,1 )、𝐵( 3 ,𝑘 )、𝐶( 1 ,−2 ) 為坐標平面上三點。已知 𝐴𝑃
=𝑥 𝐴𝐵
+𝑦 𝐴𝐶
，其中 − 1
2≤ −𝑥 ≤ 1，1≤
𝑦≤5，所有 P點所形成區域的面積為 72，則 𝑘= 。
4. 已知向量 𝑎
=( −5 ,3 )、𝑏
=( 6 ,10 )，若 𝑐 在 𝑎 上知正射影為 ( 10 ,−6 )，且 𝑐 在 𝑏
上知正射影為 ( 3 ,5 )，則
| 𝑐
|= 。
5. 設 𝑎 ≠ 0
，且 2| 𝑎 |=| 𝑏
|=| 2𝑎 +𝑏
|，若 | 𝑎 +3𝑏
|=𝑘| 𝑎 |，則 𝑘= 。
6. 如右圖，𝐴𝐷∶𝐵𝐷=3∶1，𝐴𝐸 ∶𝐸𝐶 =1∶2，若 𝐴𝑃
=𝑥 𝐴𝐵
+𝑦 𝐴𝐶
，則數對 ( 𝑥 ,𝑦 )= 。
7. 平面上兩直線 𝐿1:𝑎𝑥+4𝑦=8+𝑎，𝐿2:3𝑥+( 𝑎−1 )𝑦=𝑎−2，若 𝐿1
∥
𝐿2，則 𝑎= 。
A
B
C
D
E
P
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8. 已知方程組 { 𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2 的唯一解為 { 𝑥=2
𝑦=3，方程組 { ( 𝑎1−𝑏1 )𝑥+2𝑎1𝑦+𝑐1=0
( 𝑎2−𝑏2 )𝑥+2𝑎2𝑦+𝑐2=0 的解為 ( 𝑥 ,𝑦 )=
。
9. 已知直線 𝐿:𝑎𝑥+2𝑦=5 與直線 𝐿1:𝑥−3𝑦−1=0 所夾之銳角的餘弦值為 2
√5，則 𝑎= 。
（兩解）
10. 已知 I為△ABC 的內心且滿足 5𝐼𝐴
+3𝐼𝐵
+7𝐼𝐶
=0
，若△ABC 的周長為 30，則△ABC 的面積為 。
四、計算題（8%）
某工程處要編列運算，在一圓形的人工湖泊上建造工字形的人行步道，如圖，已知二線段 𝐴𝐵
、
𝐶𝐷 平行且等長，圓
心O為 𝑀𝑁 中點且 𝑀𝑁⊥𝐴𝐵。
1. 若 𝑂𝑀=𝑥，𝑀𝐴=𝑦，則步道總長為多少公尺？（以 x、y表示）（2%）
2. 已知圓形湖泊半徑為 125 公尺，步道建造費用 1公尺長約需 10 萬元，則此工程預算須編列多少萬元較合適？
（6%）
B
A
D
C
O
M
N
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中山附中 111學年度 第一學期 第三次段考 高二數學科 A卷
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一、單選題
1.
2.
(D)
(A)
二、多選題
1.
2.
3.
(B)
(C)(D)
(B)(C)(D)
三、填充題
1.
2.
3.
4.
5.
−3
−2
0 𝑜𝑟−8
√170
√31
6.
7.
8.
9.
10.
( 2
3 ,1
9 )
4
( 3 ,−5
2 )
−2
7 𝑜𝑟 2
15√3
四、計算題
1.
2.
2𝑥+4𝑦
2500√5 萬