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鳳山高中 110 學年度 第二學期 第三次段考 高二數學科(A 卷)
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一、單選題：每題 6分，共 24 分
( ) 1. 若方程組 { 𝑥− 𝑦 + 2𝑧=1 − 𝑎
𝑥+3𝑦−3𝑧=1+𝑎
3𝑥+ 𝑦+ 𝑧=2𝑎 有解，則 𝑎=
(A) 3
2 (B) 1
2 (C) 0 (D) 1 (E) 2
( ) 2. 設矩陣 𝐴=[ 𝑎𝑖𝑗 ]3×2 且滿足 𝑎𝑖𝑗＝ { 𝑖+𝑗，𝑖≠𝑗
𝑖+1，𝑖=𝑗，則矩陣 A的所有元素總和為？
(A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22 (E) 24
( ) 3. 設 𝐴=( 1 ,0 )，𝐵( 0 ,2 ) 為坐標平面上兩點。C為直線 AB 外一點，經平面線性變換 M作用後，A被映射
至 𝑃( 1 ,√2 )，B被映射至 𝑄( 2 ,−2√2 )，而 C被映射至 R。若△ABC 的面積為 6，則△PQR 的面積為？
(A) 6√19 (B) 12 (C) 6√2 (D) 12√2 (E) 24√2
( ) 4. 使得 ([ cos50° sin50°
−sin50° cos50° ] ∙ [ cos20° −sin20°
sin20° cos20° ])𝑛=[ −1 0
0 −1 ] 的最小正整數 𝑛=
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 (E) 18
二、多選題（每題 7分，共 28 分，7−4−2−0）
( ) 1. 設A、B均為 2階方陣，I為2階單位方陣，O為2階的零方陣，則下列敘述何者正確？
(A) 若 𝐴2=𝑂，則 𝐴=𝑂 (B) 若 𝐴2=𝐵2，則 𝐴=𝐵 或 𝐴=−𝐵
(C) 若 𝐴2=𝐴，則 𝐴=𝑂 或 𝐴=𝐼 (D) 若 𝐴𝐵=𝐴𝐶 且 𝐴≠𝑂，則 𝐵=𝐶
(E) 若 𝐴𝐵=𝑂，A的行列式值 det𝐴≠𝑂，則 𝐵=𝑂
( ) 2. 不透明箱內有編號分別為 1至5的五個球，設每球被取出的機會均等，每次隨機取出一球，紀錄其編號後
放回箱內；以 𝑝𝑛 表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率，以 𝑞𝑛 表示前 n 次取球的編號之總和為奇數
的機率。已知存在矩陣 𝐴=[ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 ]，使得 [ 𝑝𝑛+1
𝑞𝑛+1 ]=𝐴 [ 𝑝𝑛
𝑞𝑛 ]，則下列哪些選項正確？
(A) 𝑎+𝑏=1 且 𝑐+𝑑=1 (2) 𝑝2= 13
25 (C) 𝑝3= 63
125
(D) 𝑝4+𝑞4=1 (5) 𝑝𝑛+1= 3
5 − 1
5 𝑝𝑛 （對所有正整數 n都成立）
( ) 3. 設A、B、C均為 2階方陣，O、I分別為 2階零方陣與單位方陣，則下列各敘述哪些正確？
(A) 若A、B都是轉移矩陣，則 1
3 (𝐴+2𝐵)×𝐵 也是轉移方陣
(B) 若A、B、C均為轉移矩陣，則 1
2 𝐴2+ 1
4(𝐵3+𝐶)亦為轉移矩陣
(C) 若 𝐴+𝐵=𝐼 且 𝐴𝐵=𝑂，則 𝐴3𝐵3=𝑂
(D) 若A、B的乘法方反方陣均存在，則 (𝐴𝐵) 的乘法反方陣亦存在
(E) 若 𝐴𝐵=𝐵𝐴，則 A 的乘法反方陣存在
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( ) 4. M為2階方陣且 M的行列式值 𝑑𝑒𝑡(𝑀)=1，設不共線三點 A、B、C經M線性變換後依序為 A’、B’、C’，
則下列敘述哪些是正確的？
(A) 𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ (B) ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′ (C) M可能為鏡射矩陣
(D) 𝐴𝐵 中點經 M線性變換後為𝐴′𝐵′中點 (E) △ABC 的重心經 M經線性變換後為△A’B’C’重心
三、填充題：每題 6分，共 48 分
1. 《九章算術》是現存最早（東漢時期）的中國數學著作之一，此書收錄 246 個數學問題，並分為九大類，故稱
「九章」。由魏劉徽注、唐朝議大夫太史令上輕車都尉李淳風等注釋。其中卷第八「方程章」第十六題為：「今
有令一人、吏五人、從者一十人，食雞一十；令一十人、吏一人、從者五人，食雞八；令五人、吏一十人、從
者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何？」依此提議，可解得吏一人食一百二十二分雞之 k，k是整數，
則 𝑘= 。
2. 設a與b是實數，𝐴=[ 1 2
1 2 ] ，𝐼=[ 1 0
0 1 ]，若 ( 𝐼 + 1
3𝐴 )4=𝑎𝐼+𝑏𝐴，則數對 ( 𝑎 ,𝑏 )= 。
3. 設A為二階方陣且 𝐴3=[ 3 −2
2 −1 ]，𝐴5=[ 7 −11
5 −8 ]，求 𝐴= 。
4. 設a與b是實數，若方陣 [ 1 𝑎
𝑏 −3 ] 所定義的線性變換把直線𝐿: 2𝑥−𝑦=5 變換到本身，則數對
( 𝑎 ,𝑏 )= 。
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5. 如圖，正三角形 ABC 的重心為原點 O，有一頂點 𝐴( 4 ,−6 )，且 B點在第三象限，則 B點坐標為 。
6. 在平面上有一四邊形 S，依序作下列 (a)、(b) 之線性變換後得到一新的四邊形 S’：(a) 往x方向推移 y坐標 3倍；
(b) 對直線 𝑦=2𝑥 作鏡射。若 S映成 S’的線性變換可用 T表示，則 T的矩陣為 。
7. 設甲箱內有 3紅球 1白球，乙箱內有 3紅球，現在每次同時自各箱中隨機取出一個球交換，則在 2次的交換後，
白球在甲箱內的機率為 。
8. 假設小墨同學要講“I LOVE YOU ”的訊息給朋友，雙方約定好用 01，02，⋯⋯26 分別表示 A，B，⋯⋯，Z並用
00 表示空格
𝐴=01
𝐵=02
𝐶=03
𝐷=04
𝐸=05
𝐹=06
𝐺=07
𝐻=08
𝐼=09
𝐽=10
𝐾=11
𝐿=12
𝑀=12
𝑁=14
𝑂=15
𝑃=16
𝑄=17
𝑅=18
𝑆=19
𝑇=20
𝑈=21
𝑉=22
𝑊=23
𝑋=24
𝑌=25
𝑍=26
這樣就能將訊息寫成密碼“ 0900 1215 2205 0025 1521 ”來取代“ I LOVE YOU ”。但是這樣的做法容易被人
發現，為了保密，小墨同學找了一個 2階方陣 𝐴=[ 1 2
2 3 ]，將密碼寫成矩陣 𝐴=[ 0011200212
9025250551 ] 的
形式，再求出 𝐴𝐵=[ 18 0 5 11 610 012 11 4
27 0 8 17 10 15 019 17 7 ]，然後才寫成密碼“ 1827 0000 0508 1117 0610 1015
0000 1219 1117 0407 ”傳給朋友，如此小墨同學就不怕被別人知道到底寫了些什麼。某天，蔡力芯同學在綠豆
湯邊無意之中撿到一張小墨同學傳給朋友的紙條，只見上面寫著一串數字“1218 1929 1929 1624 0914 1827
0609 1015 ”請你找出這組密碼所代表的英文為 。。
A
B
C
O
x
y
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鳳山高中 110 學年度 第二學期 第三次段考 高二數學科(A 卷)
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一、單選題
1.
2.
3.
4.
(D)
(B)
(D)
(B)
二、多選題
1.
2.
3.
4.
(E)
(A)(B)(D)(E)
(A)(B)(C)(D)
(D)(E)
三、填充題
1.
2.
3.
4
5,
41
( 1 ,5 )
[ 20 −27
17 −23 ]
( −2 ,0 )
(−2−3√3,−2√3+3)
6.
7.
8.
[ −3
5−1
4
53 ]
31
48
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