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前鎮高中 110 學年度 第二學期 第三次段考 高二數學科(B 卷)
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一、單選題（每題 5分，共 15 分）[超過 100 分以 100 分計算]
( ) 1. 關於矩陣 𝐴=[ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓 ]，下列選項何者正確？
(A) A有2列3行 (B) A是2×3矩陣 (C) A是方陣 (D) 第( 2 , 1 )元是 b (E)
第( 3 , 2 )元是 f
( ) 2. 設A、B都是非零二階方陣，O為二階零矩陣，下列敘述何者正確？
(A) 𝐴𝐵=𝐵𝐴 恆成立 (B) 當 𝐴𝐵=𝐴𝐶 時 𝐵=𝐶 (C) (𝐴+𝐵)2=𝐴2+𝐴𝐵+𝐵𝐴+𝐵2恆成立
(D) 𝐴2−𝐵2=(𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵) 恆成立 (E) 若 𝐴𝐵=𝑂，則 𝐴=𝑂 或 𝐵=𝑂
( ) 3. 若 𝐴=[ cos𝜃 sin𝜃
−sin𝜃 cos𝜃 ]，其中 0≤𝜃≤𝜋
2，則下列何者為真？
(A) 𝐴−1 不存在 (B) 𝐴−1 =𝐴 (C) 𝐴−1 =−𝐴 (D) A的行列式值為 1
二、多選題（每題 5分，共 20 分，全對才給分）
( ) 4. 一種密碼編寫技術是使用二階方陣作為密碼傳遞的加密矩陣，將原始訊息的數字明文經過加密矩陣的乘法
偽裝成數字亂碼後傳遞，收到數字亂碼的人再利用解密矩陣（加密矩陣之反矩陣）的乘法轉譯為數字明文。
若以下列 5個二階方陣作為加密矩陣，哪幾個無法產生反矩陣，意即此加密將導致數字亂碼無法轉譯為數
字明文？
(A) [ 1 2
4 8 ] (B)
[ 1 2
3 1 ] (C)
[ 9 0
3 1 ] (D)
[ −8 6
12 −9 ] (E) [ 96 97
98 99 ]
( ) 5. 下列敘述何者正確？
(A) 矩陣 𝐴=[ 𝑎𝑖𝑗 ]3×2 為3行2列矩陣
(B) 矩陣 𝐵=[ 𝑎𝑖𝑗 ]2×3 為2列3行矩陣
(C) 三階方陣為 3列3行矩陣
(D) 若矩陣 𝐴=[ 𝑎𝑖𝑗 ]3×2 滿足 𝑎𝑖𝑗 ∈{ 0 ,1 }，則 A共有 64 種可能
(E) 若矩陣 𝐴=[ 𝑎𝑖𝑗 ]3×2 滿足 𝑎𝑖𝑗 ={ 0 ，當 𝑖<𝑗
1，當 𝑖≥𝑗，則所有元的和為 3
( ) 6. 空間中一直圓錐面以直線 L為軸，頂點為 V。今一平面 E與直圓錐面的截痕為一橢圓，其橢圓中心為 O，
且橢圓上距離頂點 V最近的點為 A，最遠的點為 B，下列選項何者正確？
(A) 軸L與平面 E垂直 (B) 平面 E通過頂點 V (C) 軸L通過橢圓中心 O點
(D) 𝑉𝑂 為△VAB 的中線 (E) 若 𝐴𝑉=3，𝐵𝑉=4，且 ∠𝐴𝑉𝐵=60°，則橢圓長軸長為 √13
( ) 7. 設I是二階單位方陣，O是二階零方陣。若 𝐴+𝐵=𝐼 且 𝐴𝐵=𝑂，則下列哪些敘述恆正確？
(A) 𝐴=−𝐵 (B) 𝐴=𝑂 或 𝐵=𝑂 (C) 𝐴2=𝐴 (D) 𝐴2+𝐵2=𝐼 (E) 𝐵𝐴=𝑂
三、填充題（共 65 分）
1. 若矩陣滿足 [ 5 6
9 8 ]=𝑎 [ 1 0
0 1 ] + 𝑏[ 1 0
−1 0 ] + 𝑐 [ 0 1
1 0 ]，則 𝑎+𝑏+𝑐 的值為 。
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2. 坐標平面上，已知二階方陣 𝐴=[ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 ] 且對任意點[ 𝑥
𝑦 ]，恆有 [ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 ][ 𝑥
𝑦 ]=[ 𝑎𝑥+𝑏𝑦
𝑐𝑥+𝑑𝑦 ]=[ 𝑦
−𝑥 ]，請問
𝐴= 、𝐴4= 。
3. 設 𝐴=[ 102
213 ]，𝐵=[ −2 3 −1
1 1 2 ]，令 𝑋=[ 𝑎𝑖𝑗 ]2×3，且滿足 2𝑋−3𝐴=2(𝐵−3𝑋)−3𝐵，則𝑎23 = 。
4. 已知矩陣𝐴=[ −1 2
3 −4
−2 0 ]，𝐵=[ 201
123 ]
，則 𝐵𝐴= 。
5. 設二階方陣 𝐴=[ 1 −3
−1 2 ] ，已知 A將點 Q對應到點𝑄′(0 ,−3 )，則 Q點之坐標為 。
6. 如圖，已知空間中兩平行平面 E、F分別與直圓錐面截出小橢圓與大橢圓，且小橢圓上
距離頂點最近距離 𝑉𝐴=4，小橢圓的長軸長 𝐴𝐵=8。若延長 𝑉𝐴 交大橢圓於點 C，且
𝐴𝐶=3，則大橢圓的長軸長 𝐶𝐷= 。
7. 設 𝐴=[ 1 −2
1 4 ]，𝑃=[ 1 2
−1 −1 ] 且𝐵=𝑃−1𝐴𝑃，則 𝐵3= 。
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8. 圖為坐標空間中的一直圓錐面，已知頂點 V為原點 ( 0 , 0 , 0 )，直圓錐面的軸為 z軸。
已知 𝑃(2 ,2 ,2√2) 在直圓錐面的一條母線上，求
(1) P點在 z軸上的投影點 𝑃’ 坐標為 。
(2) 通過 P點的母線與 z軸的銳夾角 𝜃= 。
9. 所有元皆為實數的二階方陣 A，滿足 𝐴[ −4
3 ]=[ −3
−2 ] ，𝐴[ 5
−4 ]=[ 2
1 ]，則 𝐴= 。
10. 設二階方陣 A、B均有乘法反方陣，且 𝐴−1 =[ 5 4
3 2 ]，𝐵−1 =[ −2 4
−1 3 ]，求 (𝐴𝐵)−1 = 。
11. 設 𝐴=[ 3 −1
1 4 ]，已知 𝐴2−7𝐴+13𝐼2=𝑂2×2（2階零矩陣），則 𝐴4−5𝐴3+9𝐴2−2𝐴+100𝐼2= 。
四、計算題（10 分）
1. 設二階方陣𝐴=[ 1 1
1 1 ]，
𝐼=[ 1 0
0 1 ]，若 (𝐼+ 1
2𝐴)10 =𝑟𝐼+𝑠𝐴，求 𝑟 + 2𝑠== 。
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前鎮高中 110 學年度 第二學期 第三次段考 高二數學科(B 卷)
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一、單選題
1.
2.
3.
(E)
(C)
(D)
二、多選題
1.
2.
3.
4.
(A)(D)
(B)(C)(D)
(D)(E)
(C)(D)(E)
三、填充題
1.
2.
3.
4.
5.
11
[ 0 1
−1 0 ] , [ 1 0
0 1 ]
7
8
[ −4 4
−1 −6 ]
( 9 , 3 )
6.
7.
8.(1)
8.(2)
9.
14
[ 27 0
0 8 ]
( 0 ,0 ,2√2)
45
[ 6 7
5 6 ]
10.
11.
[ 2 0
4 2 ]
[ 96 −42
42 138 ]
三、計算題
1.
∵𝐴2=[ 2 2
2 2 ]=2𝐴，𝐴3=𝐴×𝐴2=22𝐴，𝐴4=𝐴×𝐴3=23𝐴，⋯，𝐴10 =29𝐴
又(𝐼+1
2𝐴)10 =𝐶0
10𝐼+𝐶1
10(1
2)𝐴+𝐶2
10(1
2)2𝐴2+𝐶3
10(1
2)3𝐴3+⋯+𝐶10
10(1
2)10𝐴10
=𝐶0
10𝐼+𝐶1
10(1
2)𝐴+𝐶2
10(1
2)22𝐴+𝐶3
10(1
2)322𝐴+⋯+𝐶10
10(1
2)1029𝐴=𝐶0
10𝐼+1
2𝐴(𝐶1
10+𝐶2
10+⋯+𝐶10
10)
=𝐶0
10𝐼+1
2𝐴(210−1)=𝐼+1023
2𝐴 ⇒ 得𝑟=1
，
𝑠=1023
2
，
故 𝑟 + 2𝑠=1024