加載中. ..
PDF
加入群翊 如虎添翼
前鎮高中 111學年度 第一學期 第一次段考 高二數學科(A 卷)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
一、單選題（每題 5分，共 30 分）
( ) 1. 已知若 cos 40° = 0.7660，則利用這個數值可求得 sin 20° =
(A) √0.1170 (B) √0.2340 (C) √0.4415 (D) √0.6755 (E) √0.8830
( ) 2. 將一繩長為 50 公分的繩子一端固定在 A點上，將此繩子逆時針纏繞在如圖的圓形輪上，
輪子的半徑是 5公分，且繩子的另一端點為 B，則 B點在什麼位置？（繩子厚度不計）
(A) 第1象限 (B) 第2象限 (C) 第3象限 (D) 第4象限 (E) X 軸或 Y軸
( ) 3. 設 𝑓(𝑥)=√3 sin 𝑥 − cos 𝑥，則下列何者之值最小？
(A) 𝑓(0°) (B) 𝑓(111°) (C) 𝑓(222°) (D) 𝑓(333°) (E) 𝑓(444°)
( ) 4. 下列何者之值最大？
(A) sin 1° (B) cos1° (C) sin 1 (D) cos1 (E) 𝑡𝑎𝑛 1
2
( ) 5. sin(−1°)
cos 110° cos 111° +sin(−1°)
cos 111° cos 112° +sin 2°
cos 112° cos 110° =
(A) 1 (B) −1 (C) 3 (D) 0 (E) −3
( ) 6. 設 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋，則滿足 cos110 𝑥 + cos111 2𝑥 = 2 的x之值有幾個？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
二、多選題（每題 5分，共 25 分，5−3−1−0）
( ) 7. 下列哪些方程式有解？
(A) sin 𝑥 = cos 𝑥 (B) tan𝑥 = 2022 (C) sin 𝑥 = 1
2022 𝑥
(D) sin 𝑥 = 1
2022 𝑥2 (E) sin 100𝑥 + cos 100𝑥 = 2
( ) 8. 哪些數是有理數？
(A) sin215° +cos215° (B) sin215° −cos215° (C) √2 sin 22.5° cos 22.5°
(D) 3 sin 170° − 4sin310° (E) tan 31° +tan14° +tan 31° ×tan 14°
( ) 9. 考慮函數 𝑓(𝑥)= 3 sin 2𝑥，試問下列哪些敘述為真？
(A) −3 ≤ 𝑓(𝑥)≤ 3 (B) 𝑓(𝑥) 的週期為 2𝜋 (C) 𝑓(3.14)= 0
(D) 𝑓(𝑥) 在 𝑥 = 𝜋
4 時有最大值 (E) 當 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋 時，𝑓(𝑥) 的圖形與 𝑦 = 2 的圖形恰有 4個交點
( ) 10. 已知 𝛼，𝛽 ∈ 𝑅（即 𝛼，𝛽 皆為任意實數），則下列哪些敘述正確？
(A) 4 sin 𝛼 + 3 cos 𝛽 的最大值可為 7 (B) 4 sin 𝛼 + 3 cos 𝛽 的最大值可為 5
(C) 4 sin 𝛼 + 3 cos𝛼 的最大值可為 5 (D) 4 sin 𝛼 + 3 cos 𝛼 的最小值可為 −5
(E) 4 sin 2𝛼 + 3 cos 2𝛼 的最大值可為 5
( ) 11. 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋，若 𝑥2− 1
2 = 0 的解為 sin 𝜃 與 cos 𝜃，則下列哪些敘述正確？
(A) tan 𝜃 = 1 (B) 𝜃 恰有一解 (C) sin 2𝜃 = −1
(D) 𝑐𝑜𝑠 𝜃
2=√2−√2
2 (E) 若 cos 𝜃 > sin 𝜃，則 𝑠𝑖𝑛 𝜃
2> 0 且 𝑐𝑜𝑠 𝜃
2< 0
O
A
x
y
加入群翊 如虎添翼
三、填充題（每題 5分，共 35 分）
1. 57° = 弳。
2. 已知扇形的半徑為 8，圓心角為 𝜋
8，若此扇形的弧長為 s且面積為 A，試求 ( 𝑠 , 𝐴 )= 。
3. 設 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋，當 𝑥 = 𝜃 時，函數 𝑦 = sin 𝑥 + cos 𝑥 + 2 有最小值 k，試求 ( 𝜃 , 𝑘 )= 。
4. △ABC 為直角三角形，∠𝐶 = 90°，𝐴𝐶 = 1，𝐵𝐶 = 4√3，則 cos(𝐴 + 60°)= 。
5. 如右圖，直角三角形 ABD 中，∠𝐴 為直角，C為 𝐴𝐷 邊上的點。已知 𝐵𝐶 = 7，𝐴𝐵 = 5，∠𝐴𝐵𝐷 = 2∠𝐴𝐵𝐶，則
𝐵𝐷 = 。
6. 如圖，扇形 OAB 的中心角 ∠𝐴𝑂𝐵 = 90°，半徑 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 2，P為弧 AB 上之動點，且 𝑃𝑀 ⊥𝑂𝐴，𝑀𝑁 ⊥𝑂𝑃，
令 ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝜃且 𝑆 = 𝑃𝑁 +𝑀𝑁，求 S的最大值= 。
A
B
C
D
A
B
P
O
M
N
𝜃
加入群翊 如虎添翼
7. 在△ABC 中，已知 ∠𝐴 = 45°，tan 𝐵 與 tan𝐶 的乘積為 6，且 tan 𝐵 < tan 𝐶，試求 tan 𝐶 = 。
三、混合題（10 分）
阿里山小火車採用傳統的輪軸推進器，火車的輪軸轉動如示意圖。
設輪圈的半徑 50 公分，而輪軸轉動時，A點距離地面的高度為 y（公分）與時間 t（秒）的關係式為 𝑦 = 𝑓(𝑡)=
𝑎 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑘𝑡 + 𝜋
2 ) + 𝑏，其中 a、k、b為常數，且 𝑎 > 0，𝑘 > 0，若輪軸轉動一圈的時間為 4秒，則試回答下面問題：
1. A點離地面的距離最高為 公分。（2分）
2. 𝑘 = 。（3分）
3. ( 𝑎 , 𝑏 ) = 。（5分）
加入群翊 如虎添翼
前鎮高中 111學年度 第一學期 第一次段考 高二數學科(A 卷)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
一、單選題
1.
2.
3.
4.
5.
(A)
(C)
(D)
(B)
(D)
6.
(C)
二、多選題
7.
8.
9.
10.
11.
(A)(B)(C)(D)
(A)(C)(D)(E)
(A)(D)(E)
(A)(C)(D)(E)
(C)(E)
三、填充題
1.
2.
3.
4.
5.
19
60 𝜋
( 𝜋 , 4𝜋 )
( 𝜋 , 1 )
−11
14
245
6.
7.
√2 + 1
3
四、混合題
1.
2.
3.
100
𝜋
2
( 50 , 50 )