加載中. ..
PDF
加入群翊 如虎添翼
岡山高中 111學年度 第一學期 第一次段考 高二數學科(A 卷)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
一、多選題（每題 4分，共 12 分，4−2−0）
( ) 1. 下列選項哪些是正確的？
(A) 𝜋2是第三象限角 (B) 𝑦 = sin 𝑥
2 圖形的週期是 𝜋 (C) 𝑦 = sin𝑥 與 𝑦 = sin2𝑥 有相同的最大值
(D) cos100° =√1+cos200°
2 (E) 𝑦 = sin𝑥+cos𝑥 的最大值為 2
( ) 2. 風力電機的三個葉片長度皆為 20 公尺，其旋轉中心離地面 47 公尺，如右圖所示，P點
為某葉片的頂端且逆時針方向旋轉一圈需 3秒鐘。當風力發電機開始運轉時，P點恰在
離地最高的位置上，x秒後，P點離地的高度 y（公尺）可表示為 𝑦 =𝑎sin𝑏𝑥+𝑐，其
中a與b都是正數。下列選項哪些是正確的？
(A) 𝑎 =67 (B) 𝑏 = 2𝜋
3 (C) 𝑐 =27 (D) 週期為 6 (E) y的最小值為 27
( ) 3. 關於函數 𝑓(𝑥)=√3sin𝑥−3cos𝑥 的圖形，下列選項哪些是正確的？
(A) 週期為 𝜋 (B) 振幅是 2 (C) 𝑦 = 𝑓(𝑥) 的圖形與 y軸的交點為 ( 0 ,−3 )
(D) 𝑦 = 𝑓(𝑥) 的圖形對稱於 ( 𝜋
3 ,0 ) (E) 當 𝑥 = 𝜋 時，𝑓(𝑥) 有最大值 3
二、填充題（每題 5分，共 80 分）
1. 將函數 𝑦 =sin𝑥 的圖形向右平移 𝜋
2 單位，再向上平移 3單位後，所得為函數 𝑦 =sin(𝑥+ ℎ) + 𝑘 的圖形，試求
數對 ( ℎ ,𝑘 )= 。
2. 右圖是函數 𝑦 =𝑎sin𝑥+𝑏cos𝑥 圖形的一部分，則此函數的週期為 。
3. 有一直角三角形的斜邊長為 6，此直角三角形其中一個內角為22.5°，則此直角三角形的面積為 。
加入群翊 如虎添翼
4. 如右圖，△ABC 是邊長為 2的正三角形，分別以 A、B、C為圓心，三角形的邊長為半徑，作圓弧 𝐵𝐶
、𝐶𝐴
、𝐴𝐵
。
試求圓弧所圍成的面積為 。
5. 若 90° ≤ 𝜃 ≤ 180° 且 sin𝜃 = 3
5，則 cos(𝜃− 𝜋
3) = 。
6. 如右圖，△ABC 中，∠𝐶 =90°，∠𝐵 的外角為 𝜃，若 𝐴𝐶 = 5，𝐵𝐶 =12，則 sin 𝜃
2= 。
7. 如右圖，設半徑為 60 公分的車輪上有 A、B兩點，且𝐴𝐵
所對的圓心角為135°。將車輪的 A點置於地面，開始往
右滾動；當車輪的 B點第一次接觸地面時停止，如右圖所示，問此時車輪前進的距離為 公分。
8. 設 0≤𝑥 ≤2𝜋，若 cos𝜃 ≤ √3
2，試求 x的範圍為 。
A
B
C
C
A
B
12
5
𝜃
加入群翊 如虎添翼
9. 將六個大小相同的正方形排成如右圖所示，試求 tan∠𝐴𝑂𝐵 = 。
10. 在 0≤𝑥 ≤𝜋 的範圍內，若函數 𝑦 = √3sin𝑥−cos𝑥 最大值為 M，最小值為 m，數對 ( 𝑀 ,𝑚 )= 。
11. 如右圖,已知 𝑎 > 0，𝑏 > 0，函數 𝑦 =𝑎sin𝑏𝑥 的圖形通過最高點 𝑃( 3 ,2 ) 及最低點 𝑄( 9 ,−2 )，且與直線
𝑦 = −1 交於 A、B、C三點，則△PAC 的面積為 。
12. 方程式 sin𝑥 = − 1
3 在 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 的範圍內實數解的總和為 。
13. 設 0≤𝜃 ≤𝜋，若 sin𝜃 =cos 𝜃
2，試求 𝜃 = 。
A
B
O
加入群翊 如虎添翼
14. 設 0≤𝑥 ≤2𝜋 ，且 𝛼，𝛽 為方程式 sin𝑥−√3cos𝑥−1 = 0 的兩解，試求 tan(𝛼+𝛽) = 。
15. 小明發明了一種兩段式雨刷，號稱可以讓駕駛者在雨天開車時，視線零死角。假設一般汽車的擋風玻璃為長方
形，而特殊雨刷的裝置示意圖如右。𝐵𝐶 =40√3，𝑂𝐸 =𝑂𝐹 =40 公分，O點為 𝐵𝐶 中點，扇形 OEF 是大雨刷可
以刷到的區域，而隱藏式的小雨刷，則能夠在大雨刷碰到 E，F點時，同時刷到扇形 OPB 和扇形 ORC 的區域。
下雨天時，雨刷則不斷地反覆清潔玻璃，讓駕駛人能清楚地辨識路況。試問大小雨刷能刷出的總面積為
平方公分。
16. 如右圖，圓半徑 3，B是圓周上一定點，且 A、C是圓周上異於 B點的兩相異動點。若 ∠𝐴𝐵𝐶 = 2𝜋
3，則
3𝐴𝐵+4𝐵𝐶 的最大值為 。
三、混合題
銳角△ABC 中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶 分別是三個內角。
(1) 證明 tan𝐴+tan𝐵+tan𝐶 = tan𝐴×tan𝐵×tan𝐶。
(2) 若 tan𝐴，tan𝐵，tan𝐶 成等差數列，則 tan𝐴×tan𝐶 = 。
A
D
B
C
E
F
O
P
R
B
C
A
加入群翊 如虎添翼
岡山高中 111學年度 第一學期 第一次段考 高二數學科(A 卷)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
一、多擇題
1.
2.
3.
(A)(C)
(B)(E)
(C)(D)
二、填充題
1.
2.
3.
4.
5.
( −𝜋
2 ,3 )
2𝜋
9√2
2
2𝜋−2√3
−4+3√3
10
6.
7.
8.
9.
10.
5√26
26
75𝜋
𝜋
6≤𝑥≤11𝜋
6
−7
4
( 2 ,−1 )
11.
12.
13.
14.
15.
18
3𝜋
𝜋
3 𝑜𝑟 𝜋
−√3
2200𝜋
3
16.
6√13
三、混合題
(1)
(2)
∵ ∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶 = 180° ⟹ ∠𝐴+ ∠𝐵 = 180°−∠𝐶
∴tan(𝐴+𝐵)= tan(180°−∠𝐶)
tan𝐴+tan𝐵
1−tan𝐴tan𝐵= −tan𝐶
tan𝐴+tan𝐵 =−tan𝐶+tan𝐴tan𝐵tan𝐶
故 tan𝐴+tan𝐵+tan𝐶 = tan𝐴tan𝐵tan𝐶
承 (1)，
∵tan𝐴、tan𝐵、tan𝐶 成等差
∴tan𝐴+tan𝐶 =2tan𝐵
⟹3tan𝐵 = tan𝐴tan𝐵tan𝐶
又 tan𝐵 ≠ 0，故 tan𝐴tan𝐶 =3