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高雄女中 111學年度 第一學期 第一次段考 高二數學科(A 卷)
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一、多選題（每題 7分，共 28 分，7−5−3−0）
( ) 1. 在△ABC 中，已知 tan 𝐴 = 1，tan 𝐵 = 2，下列敘述何者正確？
(1) sin(𝐵 + 𝐶) = − √2
2 (2) sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐶 (3) cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐶
(4) tan 𝐵 + tan 𝐶 − tan 𝐵 tan 𝐶 = 1 (5) △ABC 為銳角三角形
( ) 2. 試問下列哪些函數圖形的週期為 𝜋？
(1) sin 𝑥 (2) sin 𝑥
2 (3) cos 2𝑥 (4) tan 𝑥
2 (5) | tan 𝑥 |
( ) 3. 若函數 𝑓(𝑥)= 𝑎 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑，其中 𝑎 > 0，𝑏 > 0，0 < 𝑐 < 𝜋
2，部分圖形
如圖所示，下列哪些正確？
(1) 𝑦 = sin 𝑥 之圖形先以 y軸為基準左右伸縮 2倍，可向左平移 𝜋
6 單位而得
𝑦 = sin(𝑏𝑥 + 𝑐)
(2) 𝑦 = sin 𝑥 之圖形先向左平移 𝜋
6 單位，再以 y軸為基準左右伸縮 1
2 倍而得
𝑦 = sin(𝑏𝑥 + 𝑐)
(3) 𝑓(𝑥) 的週期為 𝜋 (4) ( 𝑎 , 𝑏 )= ( 2 , 2 ) (5) ( 𝑐 , 𝑑 )= ( 𝜋
3, −1)
( ) 4. 若正方形 ABCD 的邊長為 12，分別以四個頂點為圓心，12 為半徑畫四分之一
圓弧，交點如下圖所示，下列敘述哪些正確？（x、y、z分別是陰影的面積）
(1) 𝐸𝐹 =12(√3 − 1) (2) 𝐸𝐺2=144(2 − √3)
(3) 𝑥 = 48𝜋 + 144 −144√3 (4) 𝑦 + 𝑧 = 36√3 − 12𝜋
(5) 𝑧 = 144 −36√3 + 24𝜋
二、填充題（共 72 分）
1. 如右圖，已知兩個同心圓的半徑分別為 3和9，且 𝐴𝐷
的弧長為 𝜋
4，求 𝐵𝐶
的弧長為 。
2. 如下圖，一扇形所在圓之半徑為 2，DEFG 為內接正方形，又扇形圓心角為 𝜋
4，求灰色面積為 。
A
B
D
C
E
F
G
H
x
y
z
1
-1
-2
-3
A(𝜋
6,1)
B(2𝜋
3,-3)
O
A
B
C
D
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3. 令 𝑎 = sin 1 ，𝑏 = sin 2 ，𝑐 = sin 3 ，𝑑 = sin 4 ，𝑒 = sin 𝜋2，則下面哪個選項為正確排序大小？ 。
(1) 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 𝑒 > 𝑑 (2) 𝑏 > 𝑎 > 𝑐 > 𝑒 > 𝑑 (3) 𝑏 > 𝑎 > 𝑐 > 𝑑 > 𝑒 (4) 𝑏 > 𝑐 > 𝑎 > 𝑒 > 𝑑
4. 設 𝜋 < 𝛼 < 𝛽 < 5𝜋
4，若 cos(𝛼 − 𝛽) = 12
13，sin(𝛼 + 𝛽) = 3
5，則 sin(2𝛼)= 。
5. 已知函數 𝑓(𝑥)= 2 cos(𝑥 + 𝜋
3) + 4 sin(𝑥 − 𝜋
6) − 1，請回答下列問題：
(1) 若 𝑓(𝑥)= 𝑟 cos(𝑥 − 𝛼) − 1 且 𝑟 > 0，0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋，試求 ( 𝑟, 𝛼 )= 。
(2) 當 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 時，則 𝑓(𝑥) 的最小值為 。
6. 在 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 的範圍內，解方程式 (cos 𝑥)2+ 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − (sin 𝑥)2= 𝑘 ，試問：
(1) 若 (cos 𝑥)2+ 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − (sin 𝑥)2= 𝑘 共有五相異實根時，則 k的值為 。
(2) 若 (cos 𝑥)2+ 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − (sin 𝑥)2= 𝑘 共有四相異實根時，試求四相異實根之和的最大值為 。
7. 求 cos 30° cos 100° cos 140° cos 200° 的值為 。
8. 當 𝑥 = 𝛼 時，函數 𝑦 = 2 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 有最大值，此時 tan 𝛼 = 。
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9. 設△ABC 為邊長 10 的三角形，若 P點在△ABC 之外接圓 𝐴𝐵
弧（劣弧）上移動，則 △ 𝐴𝑃𝐶 +△ 𝐴𝑃𝐵 的面積最大
值為 。
10. 設 𝑓(𝑥)=√2 + 2 cos 2𝑥 + √2 − 2 cos 2𝑥 ，若 𝑓(𝑥) 的最大值為 𝛼，最小值為 𝛽，且 𝑓(𝑥) 的週期為 T，試問
( 𝛼 , 𝛽 , 𝑇 )= 。
11. 在平面坐標上，若有一條直線 𝐿: 𝑦 = 2𝑥
𝜋(0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋) 與圖形 𝛤: 𝑦 = 1 − cos 𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋) 共有三個交點，試
求L在 𝛤 下方的線段長度為 。
12. 設 𝑓(𝑥)= sin6𝑥 + cos6𝑥，當 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
2 時，𝑓(𝑥) 的最大值為 𝛼，最小值為 𝛽，試問 ( 𝛼 , 𝛽 )= 。
13. 平面上有一個圓的圓心為 𝐴( 0 , 0 )，若圓上有兩個點分別為 𝐵( 𝑏 , 2 )、𝐶( 𝑐 , 3√2 )，其中 0 < 𝑐 < 𝑏 且 ∠𝐵𝐴𝐶 =
45°，若直線 𝐴𝐵
的方程式為 𝑦 = 𝑎𝑥，則 𝑎 = 。
A
C
P
B
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一、多選題
1.
2.
3.
4.
(2)(5)
(3)(5)
(2)(3)(4)
(1)(2)(3)(4)
二、填充題
格數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
得分
9
18
27
34
41
46
51
54
57
60
63
66
68
70
72
1.
2.
3.
4.
5.(1)
3𝜋
4
𝜋
2−6
5
(2)
16
65
( 2 , 2𝜋
3 )
5.(2)
6.(1)
6.(2)
7.
8.
−2
1
9𝜋
2
−√3
16
−3
2
9.
10.
11.
12.
13.
50
( 2√2 , 2 , 𝜋
2 )
√𝜋2+ 4
2
( 1 , 1
4 )
1
2