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台南一中 111學年度 第一學期 第一次段考 高一數學科
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一、填充題（每格 5分，共 70 分）
1. 解方程式：
(1) | −2𝑥 + 1 |= 7，則 𝑥 = 。（有 2解）
(2) | 𝑥 + 3 |+ 2| 𝑥 − 2 |= 8，則 𝑥 = 。（有 2解）
(3) 32𝑥 −82 × 3𝑥−1 + 9 = 0，則 𝑥 = 。（有 2解）
(4) 2 log 80 − 3 log 𝑥 + 1 = 0，則 𝑥 = 。
2. 計算 log √2
3
2√25
3= 。
3. 滿足不等式 | 𝑎𝑥 + 1 |≥ 𝑏 之x範圍為 𝑥 ≥ 4 或 𝑥 ≤ −3，則數對 ( 𝑎 , 𝑏 ) = 。
4. 無理數 √53 + 2√31 介於整數 𝑛 與 𝑛 + 1 之間，則 𝑛 = 。
5. 若 √14 − 4√10 = 𝑛 + 𝑏，其中 𝑛 ∈ 𝑁，0 ≤ 𝑏 < 1，則 1
𝑏+6 −1
𝑏= 。
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6. 設 𝑥 > 0，若 𝑥1
2+ 𝑥−1
2= 3，則 𝑥 3
2 + 𝑥−3
2 + 7
𝑥 2 + 𝑥−2 − 7 = 。
7. 莊子天下篇：「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」小莊將一根 200 公分的木棒，每日截取一半長度丟棄，因此
1天後剩 100 公分，2天後剩 50 公分，3天後剩 25 公分，⋯⋯，若 n天後長度不到 0.01 公分，則 n的最小值
為 。（已知 log 2 ≈ 0.3010）
8. 直角三角形三邊長為 3、4、5，則斜邊上一點到兩股距離之乘積的最大值為 。
9. 滿足不等式
1 3 4 5x + −
的整數 x共有 個。
10. 已知 𝑓(𝑥)= 2 𝑥 + 2−𝑥
2 𝑥 − 2−𝑥 ，若 𝑓(𝑚)= 2，𝑓(𝑛)= 3，則 𝑓(𝑚 + 𝑛)= 。
11. 𝑎 = 11 +√143 +√171，𝑏 = 12 +√119 +√172，𝑐 = 24 +√145，比較 a，b，c之大小為 。
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二、多選題（每題 8分，共 16 分，8−5−2−0）
( ) 1. 三個相異實數 a、b、c滿足 𝑏 = 4
5𝑎 + 1
5𝑐，如果將 a、b、c標示在數線上，則
(A) b在a與c之間 (B) 𝑐 > 𝑏 (C) 若 𝑑 = 4
3𝑎 − 1
3𝑐，則 d在a與b之間
(D) a到c的距離是 a的b的距離的 5倍 (E) 如果 | 𝑏 |= 4
5| 𝑎 |+ 1
5| 𝑐 |，則 𝑎𝑏𝑐 > 0
( ) 2. 已知 a與b均為正數且 𝑎 + 1
𝑎> 𝑏 + 1
𝑏，下列選項何者必正確？
(A) 𝑎 ≠ 1 (B) 𝑏 ≠ 1 (C) 𝑎 > 1
𝑏 (D) 若 𝑎 > 1
𝑎 ，則 𝑎 > 𝑏 (E) 若 𝑏 > 1
𝑏 ，則 𝑎 > 𝑏
三、計算題（共 14 分）
1. 如右上圖，古希臘認為最美的身材比例要滿足 𝐴𝐶
𝐵𝐶 =𝐵𝐶
𝐴𝐵 = 𝜑 （A為頭頂，B為肚臍，C為地面站立處；𝜑 讀作
“phi”），這個比值 𝜑 稱為黃金比例。
(1) 求出黃金比例 𝜑 = 。
(2) 若將 √5 取其近似值 2.236，則 𝜑 之值為 。
(以下二題的 𝜑 之值皆以此題所得數據計算)
(3) 高大帥身高為 180 公分，他的肚臍到腳底的距離為 110 公分，穿上新買的籃球鞋
後剛好達成黃金比例，請問籃球鞋使其身高增加 公分。
(4) 某展覽館想仿照右圖作一巨型看板，設計師構圖時不慎將正方形上邊的兩頂點畫
在圓上（如下圖，A、B、C仍符合題幹之比例，但 B點將不為圓心）， 若下圖正方形邊長為 10 公尺，即
1000 公分，則圓心在 B點上方 公分（若有小數，則四捨五入至整數）
A
B
C
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台南一中 111學年度 第一學期 第一次段考 高一數學科
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一、填充題
1.(1)
1.(2)
1.(3)
1.(4)
2.
4 or − 3
3 or − 1
3 or − 1
40
−2
3
3.
4.
5.
6.
7.
( −2 , 7 )
8
−6
5
8
15
8.
9.
10.
11
3
13
7
5
𝑐 > 𝑎 > 𝑏
二、多選題
1.
2.
(A)(D)
(A)(D)
三、計算題
1.(1)
1.(2)
1.(3)
1.(4)
1 + √5
2
1.618
3.26
7