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南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
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數學 PISA 試題評量─以五年級為例
高雄市國小數學輔導團/高雄市旗津國小 陳幸永
壹、 前言
擔任教學工作多年，透過「說數學」活動，筆者得以瞭解學生的
學習歷程與思維活動；也讓低年級學生能從解題經驗中建立數學符號
表徵。但從來沒有嘗試過紙筆評量、闖關活動以外的其他評量方式。
PISA 評量的對象是 15 歲學生，評量目的是了解學生在數學、科學和
閱讀三方面的素養和能力以及面對成人生活的準備度，是一項強調基
礎素養與終身學習能力的國際性標準化評量。參加跨縣市「精進數學
教學與命題工作坊」，認識了與傳統教學評量目標不同的 PISA 評量，
於是，嘗試從 PISA 試題樣本中選取適合國小高年級學生的試題進行
評量活動。
貳、 評量目標
一、 了解學生解決 PISA 評量開放性問題的解題表現。
二、 了解每個學生在「木匠」問題與「蘋果」問題中，其數學
解題與說理的能力。
三、 了解全班學生在「木匠」問題與「蘋果」問題中，正確解
題與錯誤解題之解題類型。
參、 實施年級或適用對象
本示例實施年級與對象為高雄市旗津國小五年級 26 位學生。而本
示例(蘋果問題、木匠問題)的題材原本是 PISA 針對全球 15 歲學生所
設計的題目，但是因為本示例實施對象為國小五年級學生，尚未學習
代數教材，因此，筆者在施測時將蘋果問題中關於蘋果樹數量與針葉
樹數量的規律之代數表徵問題(問題 6)刪去。
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肆、 實施流程
一、 分析 PISA 範例題本、選定評量題目。
二、 進行 PISA 紙筆評量。
三、 以PISA 評分規準分析學生解題表現。
四、 補救教學與學生補充說明。
五、 評量資料彙整。
伍、 評量內容
本示例評量題組共二題，題目如下：
第一題：
木 匠
木匠有 32 公尺的木材，想要在花圃周圍做邊界。 他考慮將花圃設計
成以下的造型。
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問題：上面花圃的設計是否可以用長度 32 公尺的木板來圍成，在下
表中的每一種設計圈出是或否。
花圃
設計
問題 1
是否能用長度
32 公尺的木板圍成
問題 2
請說明你的理由
A設計
是 / 否
B設計
是 / 否
C設計
是 / 否
D設計
是 / 否
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第二題：
蘋 果
農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為了保護蘋果樹不怕風吹，他在蘋
果樹的周圍種針葉樹。
在下圖裡，你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數(n)，和蘋果樹數量
及針葉樹數量的規律：
_____________________________________________________________
問題1：請完成下表的空格
n
蘋果樹數
針葉樹數
1
1
8
2
4
3
4
5
問題2：若農夫想要種更多列，做一個更大的果園，當農夫將果園擴大
時，那一種樹會增加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？
請解釋你的想法。
X = 針葉樹
= 蘋果樹
n=1 n=2 n=3 n=4
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陸、 評量標準
第一題「木匠」問題 1之PISA 評量標準
評量標準
滿分
代號 2：答對四項。
A設計 是 B設計 否
C設計 是 D設計 是
部分分數
代號 1：答對三項。
零分
代號 0：答對二項或以下。
零分
代號 9：沒有作答
第一題「木匠」問題 2之自訂評量標準
評量標準
滿分
代號 21：說理清楚
部分分數
代號 11：B、C、D說明正確，僅 A設計說明有誤
代號 12：A、C、D說明正確，僅 B設計說明有誤
代號 13：A、B、D說明正確，僅 C設計說明有誤
代號 14：A、B、C說明正確，僅 D設計說明有誤
零分
代號 01：僅 A設計說明正確
代號 02：僅 B設計說明正確
代號 03：僅 C設計說明正確
代號 04：僅 D設計說明正確
代號 05：ABCD 說明全誤
零分
代號 99：沒有作答
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第二題「蘋果」問題 1之PISA 評量標準
評量標準
滿分
代號 21：7格全對。
部分分數
代號 11：n＝2、3、4時均答對，但 n＝5答錯一格或未作答
最後一格「40」答錯；其餘均正確。
「25」答錯；其餘均正確。
代號 12：n＝5中的數量均答對，但在 n＝2或3或4中有一格答錯
或未作答。
零分
代號 01：n＝2、3、4時均答對，但 n＝5兩個空格全錯
「25」和「40」都答錯；其餘均正確。
代號 02 其他答案
代號 99：沒有作答
第二題「蘋果」問題 2之PISA 評量標準
評量標準
滿分
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部分分數
零分
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柒、 學生之解題表現分析
筆者以 PISA 試題樣本中的木匠問題與蘋果問題作施測，以紙筆
評量方式，請學生將問題做法及想法寫在紙上。根據旗津國小五年級
學生解題表現分析，如下表：
表1
木匠問題的評量表現
問題 1
問題 2 理由說明
人數
百分比
人數
百分比
滿分 2或21
5
19%
4
15%
15%
部分分數 1或11
10
38%
0
0%
23%
部分分數 12
6
23%
部分分數 13
0
0%
部分分數 14
0
0%
零分 0或01
10
38%
1
4%
58%
零分 02
1
4%
零分 03
0
0%
零分 04
9
35%
零分 05
4
15%
未作答
1
4%
1
4%
4%
總計
26
100%
26
100%
100%
「木匠」問題的整體評量表現為問題 1滿分 19%、部分分數 39%、
零分與未作答計 42%。本題為幾何題材、多重是非題，屬於 PISA 評
量難度為水準 6，答對率為 20.2%。本班施測結果答對率為 19%。與
PISA 正式評量的結果相差不遠。
「木匠」問題屬於多重是非題，含四個「是/否」選項，原題目
只要求寫出答案；為了能確實掌握學生解題思維，加入問題2請學生
寫出「理由說明」之要求。問題2的評量表現為滿分15%、部分分數23%、
零分與未作答62%。
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表2
蘋果問題的評量表現
問題 1
問題 2
人數
百分比
人數
百分比
滿分 21
11
42.3%
1
3.8%
部分分數 11
9
34.6%
2
7.7%
部分分數 12
0
0.0%
0
0.0%
零分 01
2
7.7%
1
3.8%
零分 02
4
15.4%
19
73.1%
未作答
0
0.0%
3
11.5%
總計
26
100%
26
100%
「蘋果」問題的整體評量表現為問題 1滿分 42%、部分分數 35%、
零分與未作答計 23%。問題 2的評量表現為滿分 3.8%、部分分數 7.7%、
零分與未作答 88.5%。
本題為數量題材，本班施測結果問題 1滿分(7 格全對)與部分分
數(答對 6格)合計 77%，但是在問題 2的施測結果卻是滿分與部分分
數合計僅 11.5%。從學生的解題表現可以得知，就數量問題的解題方
面，學生可以解決問題 1，但是，問題 2乃是針對問題 1所得的答案
做資料的解讀與判斷。原本 PISA 的評量試題在問題 1與2之中還有
一個問題是：「你可以用以下的 2個公式來計算上面提到的蘋果樹數
量及針葉樹數量的規律：
蘋果樹的數量 = n2
針葉樹的數量 = 8n
n代表蘋果樹的列數
當n為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹數量。找出 n值，
並寫出你的計算方法。」
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由於施測的對象是國小五年級學生，尚未學習代數教材，所以，
施測時便將此問題刪去。但是筆者在施測後，重新審視此一問題時，
察覺這個問題是察覺蘋果樹與針葉樹數量何者增加較快的重要思考
線索，本班在施測時刪去此題雖然可以避開學生尚未學習代數表徵的
問題，卻也增加了問題2的難度。
捌、 學生「解題類型」萃取示例
第一題：木匠問題
學生解題類型
說明
答
案
正
確
、
說
明
清
晰
S08
透過圖像與算式可
以清楚看出解題思
維脈絡。
在全班討論過後，主
動補充說明為何斜
線會比直線長。
S09
透過圖像可以清楚
看出解題思維脈絡。
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學生解題類型
說明
答
案
正
確
、
說
明
清
晰
在全班討論過後，補
充說明不規則形狀
的線段移出後，就如
D設計的長方形周長
一樣。
S11
解題正確而且說理
清楚。
S12
解題正確而且說理
清楚。
善用工具（尺）來證
明B設計的周長超
過32 公尺。
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學生解題類型
說明
答
案
正
確
、
說
明
有
誤
S28
A、C、D設計的周長
說理正確，B設計則
是解題正確，但缺乏
理由說明。
透過討論活動後，能
清楚說明圖形中的
高並非邊長。
答
案
錯
誤
S04
邊長周長概念不
清，對於圖像中的資
訊缺乏解讀能力。
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學生解題類型
說明
答
案
錯
誤
S05
從「缺很多塊」的描
述，可以看出 S05 將
面積與周長混淆了。
S06
從B設計的說明「…
把右邊凸出來的地
方畫一條線，變成一
個三角形(甲)，再把
甲移到左邊少的地
方…」可以看出，誤
將平行四邊形 B與
長方形 D等積異形
當做周長相等。
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學生解題類型
說明
答
案
錯
誤
S07
從B設計的說明「將
其中一邊切開補到
另一邊不完整的，就
跟(D)一樣了。」可
以看出，誤將平行四
邊形B與長方形D等
積異形當做周長相
等。
透過討論活動，了解
周長與面積的不
同，能說明平行四邊
形的斜邊比高長，所
以B設計無法完成。
S10
從B設計的說明與
算式可以看出 S10
不僅誤將平行四邊
形B與長方形D等積
異形當做周長相
等，更把面積當做周
長。
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學生解題類型
說明
答
案
錯
誤
S03
D設計長方形周長解
題說明正確，但對於
非長方形的A和C則
無法從圖像上的線
索求得其周長。
B設計誤將平行四邊
形的（底＋高）2
當做周長。
S18
從B設計的說明可
以看出，誤將平行四
邊形B與長方形D等
積異形當做周長相
等。
事後的補充說明，面
積與長度概念仍未
澄清。
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學生解題類型
說明
答
案
錯
誤
S20
從學生事後的補充
說明可以看出原先
對面積與長度的基
本定義是混淆的，這
也是多數學生解題
錯誤的主因。
S29
從B設計的說明可
以看出，誤將平行四
邊形B與長方形D等
積異形當做周長相
等。
雖然 A、C設計學生
的解答是正確的，但
從圖象上看來，仍然
是與 B設計相同的
迷思概念：將面積誤
為周長。
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學生解題類型
說明
答
案
錯
誤
S27
從B設計的說明可
以看出，誤將平行四
邊形B與長方形D等
積異形當做周長相
等。
在全班討論過後，補
充說明 B設計中的
高不是邊長，而邊長
的斜線會比高的直
線還長。
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第二題：蘋果問題
學生解題類型
說明
答
案
正
確
、
說
明
清
晰
S07
能夠自行延伸表
格，將 n推算到 9，
因而能對問題 2有
正確的闡述。
能發現蘋果樹與針
葉樹的數量變化規
律，並且能將蘋果樹
與針葉樹的數量表
徵為 N×N(自己乘自
己)和N×8(8 乘N)。
但缺乏對蘋果數增
加比較快的說明。
S08
能發現蘋果樹的增
加率的規則(＋3、＋
5、＋7、＋9)，並且
發現每次增加的數
量都是前一次增加
數量再＋2，而針葉
樹每次增加的數量
是固定的都是＋8。
從表格中可以知道 n
＝5蘋果樹的數量增
加9比針葉樹數量
增加 8多1。
能發現蘋果樹與針
葉樹的數量變化規
律，並且能將蘋果樹
與針葉樹的數量表
徵為 X×X和X×8。
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學生解題類型
說明
答
案
正
確
說
明
有
誤
S06
從「如果蘋果樹增加
的比較快的話，就表
是蘋果樹比較多」可
知以為總數較多就
是增加得比較快。
從「 ……蘋果樹比較
多，這樣的話針葉樹
就無法種在周圍。」
可以看出誤以為外
圍的樹木數量會比
裡面的樹木數量多。
透過評量後得討論
活動，澄清「增加得
比較快」的意義，但
S06 仍以總量大當做
「增加得比較快」的
判斷依據。
S27
雖然問題1中有1格
算錯，但能發現種樹
的規則：「把原來的
針葉樹變成蘋果
樹，然後再把蘋果樹
的周圍種針葉樹。」
能正確判斷出蘋果
樹數量增加比較快。
S09
能發現蘋果樹與針
葉樹的數量變化規
律，並且能將蘋果樹
與針葉樹的數量表
徵為 X×X和X×8。
從表格中針葉樹的
數量比蘋果樹的數
量大，誤以為針葉樹
增加得快，由此可知
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學生解題類型
說明
答
案
正
確
、
說
明
有
誤
學生並不瞭解增加
比較快的意義為
何。這是本班多數學
生普遍的問題點。
S05
從表格中針葉樹的
數量比蘋果樹的數
量大，誤以為針葉樹
增加得快，由此可知
學生並不瞭解增加
比較快的意義為
何。這是本班多數學
生普遍的問題點。
S12
能發現蘋果樹與針
葉樹的數量變化規
律，並且能將蘋果樹
與針葉樹的數量表
徵為 X×X和X×8。
即使能將數量推算
到n＝9，但仍然無
法判斷這些數字所
代表的意義，由此可
知學生並不瞭解增
加比較快的意義為
何。這是本班多數學
生普遍的問題點。
從「因為針葉樹要保
護蘋果樹，所以針葉
樹比較多。」的說
明，可以知道 S12 注
意到針葉樹單邊的
數量比蘋果樹單邊
的數量多，卻沒有思
考到二者總量與哪
一個的數量增加得
比較快？
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學生解題類型
說明
答
案
正
確
、
說
明
有
誤
S26
能察覺針葉樹數量
的變化規律「針葉樹
的數量都是相差
8」，也能描述不同 n
值蘋果樹與針葉樹
的數量關係，n=2，
蘋果樹(a)=4，針葉
樹16=a×4；n=3……
但無法從這些資料
判斷出何者增加比
較快。
答
案
錯
誤
S18
受限於「針葉樹在外
圍保護蘋果樹」，知
道針葉樹種植的單
邊數量比蘋果數的
單邊數量多，與 S12
相同，詳見 S12 說
明。
S19
能察覺針葉樹的變
化規律是「8的倍
數」，但對於何者數
量增加較快，則無法
判斷。其原因詳見
S12。
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學生解題類型
說明
答
案
錯
誤
S10
詳見 S12 說明。
玖、 教學省思
筆者第一次看到 PISA 試題，乍看之下覺得試題很難，因為這是
一種與傳統以學科知識為中心的評量方式完全不同的評量。試題的敘
寫方式乍看繁瑣冗長，其中的開放性問題是正規教育中少見的問題題
型。
為了這次評量仔細的看了試題樣本，發覺題目好像又沒有預期
中的那麼困難。解決這些問題所需要的數學知識不見得是非常高深的
數學知識；但是，除了這些數學知識之外，困難點在於是否具備運用
課堂中所習得的數學知識來解決問題的數學能力素養。
施測之後從學生的解題表現發現本班學生僅 15%(4 人)在木匠問
題中的解題說理正確且清楚。而錯誤的說理大致上可分為兩類：一是
誤將等積異形的面積相同當做周長也相同，也就是面積與周長的意義
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混淆了。另一類是誤將平行四邊形的高當作是斜邊。在施測後針對學
生的迷思概念進行討論活動，有不少學生因此而得以澄清其迷思概
念，但仍有幾個學生對於面積與周長的概念仍然模糊。
整體而言，筆者發覺適當選用 PISA 試題讓學生練習解決非例行
性問題，並增加解題說明的訓練，對於學生的解題能力與思維活動說
明都有很大的幫助。教師更可從分析學生的解題表現中發現學生的迷
思概念，進而能透過補救教學討論活動去澄清學生的迷思概念。
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