加載中. ..
PDF
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
439
國小學童的 PISA 試題初體驗─以六年級為例
臺南市數學科輔導員 曾曉馨
一、 前言
由經濟合作暨發展組織（Organisation for Economic Cooperation and
Development）主辦的國際學生能力評量計畫（Programme for International
Student Assessment，簡稱 PISA），係以檢測 15 歲學生是否儲備未來所需
的各項能力與素養為目標，藉此評鑑學校培育學生面對未來挑戰的效能，近
來已被參與國視為教育政策的發展依據。
數學被 OECD（2002）定義為一種工具、一種公民素養，而所謂「數學
素養」（ Mathematical Literacy）就是學生必須有能力去辨識、理解、探索數
學在生活世界的意義，在情境中做出有效的數學判斷，透過建構、關懷、反
省進行邏輯思考，致力於解決生活上出現的數學問題。因此，PISA 明確地
與傳統學校課程要素區隔，以現象學取向（phenomenological approach）組
織數學內容（content）， 透過變化與關係、空間與形狀、量、不確定性 4個
概念（overarching concepts），將算數、幾何、代數、微積分學等 12 個領域
完全包羅進去(周玉秀，2006)。
現象學教育大師荷蘭數學家 Freudenthal(1970)強調「學生不是學習『應
用數學』，而是學習如何應用『數學』」。筆者認為，學習如何應用數學解題，
學生必須經歷「概念化─將問題轉化為數學概念列式」、「運算化─進行算式
的計算」和「溝通化─以數學式的語言溝通想法」3個歷程，彼此之間環環
相扣，其中，普遍存在於台灣小學數學教學現場的瓶頸，要以「概念化」和
「溝通化」為主，面對題目靈活、強調通盤理解、歸納、推理與溝通能力的
PISA 試題，台灣的數學教育界能有什麼作為？或許我們可以試著從讓學生
初探 PISA 試題，透過質性分析的角度，深入了解教學的著力點。
二、 實施流程
1. 選擇適合國小六年級學生施測的 3組題型，進行內容分析，選題原則以
涵蓋 PISA 試題的 4個概念：變化與關係、空間與形狀、量、不確定性，
並符合六年級學生概念發展為考量依據。
2. 採立意取樣，選擇筆者任教學校 3班常態編班的六年級學生進行施測，
有效樣本為 97 份。
3. 以PISA 的評分標準進行評分，彙整學生答題情形。
4. 分析學生答題的正確類型與錯誤類型。
5. 提出反思與建議。
題型分析
取樣施測
評分彙整
整理迷思
提出建議
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
440
三、 試題分析與施測結果
PISA 由歷程（processes）、內容與情境 3個向度轉化數學素養為可評量
的能力等級。情境向度涵蓋生活各領域；內容向度，由變化與關係、空間與
形狀、量、不確定性 4個大概念統整所有的傳統數學領域。歷程部份，PISA
將數學素養概分為再複製（Reproduction）、聯結與統整（Connections and
Integration）、反思（Reflection）3個能力群組（competency clusters）、 6個
能力等級（level）(周玉秀，2006)。
1. M136：蘋果
農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為了保護蘋果樹不怕風吹，他在蘋果樹的周
圍種針葉樹。
在下圖裡，你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數(n)，和蘋果樹數量及針葉樹數
量的規律：
M136 蘋果
子題一 完成下表的空格
n
蘋果樹數
針葉樹數
1
1
8
2
4
3
4
5
情境向度
內容向度
題型
九年一貫能力指標
私人
變化與關係
填答
N-2-15 能用不同的想法，檢驗答案的合理性。
N-2-17 能察覺簡單數列之規律。
C-E-5 能將問題與解題一般化。
C-S-4 能運用解題的各種方法：分類、歸納、
演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
441
化、特殊化、模型化、系統化、監控等。
子題二(略加修改)
【原題】：
你可以用以下的2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律：
蘋果樹的數量 = n2
針葉樹的數量 = 8n
n 代表蘋果樹的列數
當n 為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹數量。找出n 值，並寫出你的
計算方法。
【修改後】：省略代數式，並加註提示，再次強調n所代表的意涵。
n等於多少時(也就是種多少列蘋果時)蘋果數量會等於針葉樹的數量？
請說明你的想法：
私人
變化與關係
封閉
結構
C-C-1 瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形
式化演繹等)的內涵。
C-C-4 用數學的觀點推測及說明解答的屬性。
子題三(未納入測驗題施測)
【原題】：
若農夫想要種更多列，做一個更大的果園，當農夫將果園擴大時，那一種樹會
增加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？解釋你的想法。
【修改後】：於測驗後之課堂討論提問
當果園繼續擴充，蘋果樹的數量有沒有可能比針葉樹的數量多？
作答分析：
子題一
滿分
部分分數
零分
代號 21
代號 11
代號 12
代號 01
代號 02
代號 99
78.3%
11.3%
3.1%
2.1%
5.2%
0%
子題二
滿分
零分
代號 12
代號 13
代號 00
代號 99
8.2%
33%
43.3%
15.5%
答題類型分析：
【子題一】
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
442
n=1 至n=4，透過圖示，89.4%的學生均可輕鬆解題；n=5 之後 89.4%的學生便
有11.3%因無法發現數列的規律而解題失敗。
【子題二】
(1) 正確類型
以代數表示出一般式，受限於國小階段尚未有代數運算的教學，因此，學生
以數字代入一般式來進行運算。
學生能夠透過不明確的代數表示式來加以表徵。
(2) 錯誤類型：
利用 n=1 時兩數的公倍數解
題。
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
443
觀察幾階的數差，發現差距
增加，故妄下定論認定「兩
者越差越多，所以不會相
等」。
M154：披薩
披薩店供應兩種厚度相同但大小不同的披薩。小披薩的直徑是30 公分，售
價為 30 元。大披薩的直徑是 40 公分，售價為 40 元。
那個披薩比較划算？寫出你的理由。
情境向度
內容向度
題型
九年一貫能力指標
日常
量
封閉
結構
N-3-5 能延伸小數的認識到三位以上(小數)，
並解決生活中與小數有關的加、減、乘、除問
題。
N-3-12 能對非直線形的平面區域，選定適當的
正方形單位，估計其概略面積，並檢驗圓面積
公式(π ，r為圓的半徑)。
N-3-15 能在情境中理解比、比例(包括正比例
和反比例)、比值、率(百分率、ppm)的意義。
C-T-1 能把情境中與問題相關的數量形析出。
作答分析：
滿分
零分
代號 1
代號 8
代號 0
代號 9
20.6%
22.7%
47.4%
9.3%
正確類型：
利用「比」的概念來解題，
學生對於比例項各數所代表
的意涵，概念清楚。
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
444
以單位價錢1元或10 元可以
買到的披薩面積來加以比
較。
以30 和40 的公倍數 120 為
單位，比較買到的披薩面積。
錯誤類型：
未利用面積解題，而是以直
徑或周長切入，因而認為一
樣划算。
不清楚算式所代表的意涵
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
445
未考慮價錢，認為大披薩份
量多，比較划算。
缺乏數學式的思考與說明
2. M266：木匠
木匠有32 公尺的木材，想要在花圃周圍做邊界。 他考慮將花圃設計成以下的造
型。
【原題】
上面花圃的設計是否可以用長度32 公尺的木板來圍成，在下表中的每一種設計
圈出是或否。
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
446
【修改】加上「請說明你的想法」
情境向度
內容向度
題型
九年一貫能力指標
教育相關
空間與形狀
選擇題
N-2-9 能在保留概念形成後，進行兩個同類
量的間接比較(利用完整複製)及個別單位的
比較(利用等量合成的複製)(量：長度、容
量、重量、角度、面積、體積)。
C-S-1 能分解複雜的問題為一系列的子題。
C-S-4 能運用解題的各種方法：分類、歸納、
演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一
般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。
作答分析：
滿分
部分分數
零分
代號 2
代號 1
代號 0
代號 9
27.8%
35.1%
35.1%
2%
正確類型：
利用邊界補償的方式解題
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
447
「利用斜線大於垂直線」的
方式說明選項 B
利用未知數的方式說明選項
B，但代數運算的技巧尚未純
熟。
10×2＋(6＋x)×2
＝20＋12＋x×2
錯誤類型：
不了解邊界的意思
將每個小線段當成 1㎝
四、 建議
1. 盡量完整呈現 PISA 題型，但須依據學生認知程度加以修正
本次施測筆者並未將 M136 的子題 3納入，主要是認為其問題呈現
南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
448
方式，對國小學童而言較顯困難，故僅只呈現子題 1和2，並試著將子
題2的題目略做修正。然而，在測驗後的課堂討論，曾針對子題 3拋出
「當果園繼續擴充，蘋果樹的數量有沒有可能比針葉樹的數量多？」的
問題，筆者發現，學生透過子題 1和2的墊步，已能發展出「n大於 8，
蘋果樹的數量將大於針葉樹的數量。」之結論。因此，建議未來在進行
PISA 問題的施測時，能盡量考量完整呈現題型，以提供學生進行漸進
式的數學建模。
2. 訓練學生進行數學式的溝通
多數學生並不清楚何謂「數學式的溝通」，也就是無法透過數學邏
輯，說服自己與同儕信服自己的論點，尤以「披薩」題特別明顯，部分
學生甚至由個人喜好、團體與個人需求等情形來討論問題。
3. 提供學生用數學說理的空間
「木匠」題依據 PISA 原題的設計，僅以選擇項目來加以評分，但
筆者發現，依此標準，學生在面積與周長概念不清的情況下，認為 A、
B和C面積得以補償成長方形，並以為挪移後的長方形與 D面積相同，
因為「負負得正」的結果，竟也得到部分分數，但事實上觀念是一錯再
錯。因此，筆者建議後續教師在進行施測的時候，能預留一些讓學生說
理的空間，深入了解學生的思考脈絡，一方面培養學生說理的能力，一
方面亦可避免錯過學生的想法。
參考資料
OECD (2002). Programme for International Student Assesssment .上網日期：
2006 年9 月5 日。
PISA 樣本試題。民 100 年1月2日，取自：http://pisa.nutn.edu.tw/。
周玉秀(2006)。〈從PISA看數學素養與中小學數學教育〉。科學教育月刊，293，
2-21。