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南區跨縣市國小「精進數學教學與命題」工作坊
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數學 PISA 試題評量－以速率為例
嘉義市國小數學輔導團/嘉義市崇文國小 林雅惠
一、 前言：
PISA（the Programme for International Student Assessment）的數
學素養評量包括常用的運算、數學思考與分析能力，每個國家的國民都會碰
到許多有關數量、空間、機率或者其他數學概念的相關課題。重要的是每一
個人都必須能解讀生活中的公車或火車時刻表、處理金錢交易、決定賣場中
的最佳購物盤算等，PISA 數學素養即在評量十五歲學生運用數學知識與理
解來完成這些課題的能力。
課程中的學習評量中經常出現應用問題，得分的評定準則依據是否應加
以再思考。QUASAR（Quantitative Understanding：Amplifying Student
Achievement and Reasoning）紙筆認知評量工具的發展有四個主要成分為
數學內容、認知過程、表徵類型和任務背景。讓學生能在對與錯之外，能鼓
勵學生多思考的肯定評量工具。
藉由學期學習課程中結合正規學習內容與彈性生活運用，讓學生能藉由
彼此的陳述、互相激盪，在未告知答案的分享下呈現自己數學的判斷。同時
增進教師對命題技術與內容之瞭解，提升教師數學教學與命題素養。
二、 評量目標：
(一)、 了解學生學習與開放性 PISA 題目的表現
(二)、 了解學生質性說明的學習思考能力與方式
(三)、 了解學生解題的思考模式與類型
(四)、 讓學生能勇與於說明表達數學思考方式並以紙筆呈現
(五)、 教師能以參考QUASAR 方式進行評量與解題類型分析將解題說理的層
次釐清分析
三、 實施年級：
為嘉義市崇文國民小學六年級第二學期的學生，共 32 位學生。
四、 實施流程：
(一)、 進行教學（六年級下學期數學課程──速率）
(二)、 分析 PISA 題目
(三)、 選定評量題目
(四)、 進行 QUASAR 紙筆評量（練習與正式）
(五)、 共同分享解題的策略
(六)、 解題答案分析
(七)、 解題說理能力分析
(八)、 解題類型分析
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(九)、 解題示例萃取
(十)、 評量資料數位建檔紀錄
(十一)、 進行分享
五、 評量內容：
以課程為主體，摘選自 PISA 兩個題目，增加質性的解題問題提問：
練習──M432（反應時間）、 正式──M159（賽車速度）
M432：反應時間
在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間」是指鳴槍後
到運動員開始起跑的時間，「最後時間」包含了反應時間
和起跑後到終點的跑步時間。
下表是 8個跑者參加 100 公尺短跑競賽的反應時間和最後時間：
跑道
反應時間（秒）
最後時間（秒）
1
0.147
10.09
2
0.136
999
3
.19
9.87
4
0.180
未完成比賽
5
0.210
10.17
6
0.216
10.04
7
0.174
10.08
8
0.193
10.13
______________________________________________________________
問題 1：反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌、銀牌、銅牌。並依序將各獎項得主的跑道號碼，
反應時間和最後時間填入下表。
獎牌
跑道
反應時間（秒）
最後時間（秒）
金牌
銀牌
銅牌
______________________________________________________________
問題 2：反應時間
目前為止，沒有人能夠在短於鳴槍後的 0.110 秒內開始起跑。
如果跑者被記錄的反應時間少於 0.110 秒，那必須考量跑者的起跑有問題，因為跑者一
定在聽見槍響前就起跑。
如果獲得銅牌的跑者有更快的反應時間，他是否會有機會獲得銀牌？ 請寫出一個理由來
解釋你的答案。
M159：賽車速度
下圖顯示一輛賽車在跑第二圈時，沿著一個帄坦、3km 長軌道的速度變化。
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_____________________________________________________________
問題 1：賽車速度
從起始線到軌道裡最長且帄直部分的開始處，其大約距離為何？
A 0.5 km
B 1.5 km
C 2.3 km
D 2.6 km
______________________________________________________________
問題 2：賽車速度
在跑第二圈期間，哪個地方速度最低？
A 在起跑線
B 約在 0.8 km 處
C 約在 1.3 km 處
D 約在軌道的一半
_____________________________________________________________
問題 3：賽車速度
你能說明在2.6 km到2.8 km之間的車速代表什麼意思嗎？
A 車速維持不變
B 車速增加
C 車速減少
D 無法由圖中判斷車速
_____________________________________________________________
問題 4：賽車速度
在此有五條軌道的圖形：
沿著哪個軌道駕駛賽車，會繪出如前述的速度變化圖？
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S：起點
六、 評量標準：仿QUASAR 方式，修正後進行評量與解題類型分析。
與學生先達成共識：並非學習成就表現，評量是以了解學習思考為目的。因
此，選項答案每題五分，但是解題說理的評分標準為七個層次，總分數超過 100
分。答案正確固然重要，說理表達思考更是可貴，鼓勵學生嘗試錯誤、分享思路，
了解困惑的迷思點，因此於結果分享時不加入分數的告知及評比。
得分
Level
解題說理表現
0
0
未作答
2
1
0：作答但無法判別
5
2
1：答案對（說明不完整）或
答案錯（簡單說明）
10
3
2：答案對（單一陳述）或
答案錯（使用語文或數學說明）
15
4
3：答案對（語文或數學說明）或
答案錯（語文、數學表示說明清楚）
20
5
4：答案對（語文、數學表示且說明清楚）
25
6
5：答案對（語文、數學表示且說明清楚且完整）
七、 學生之各個選項表現分析比率：M159（賽車速度）
(一)、 選項答對題數統計情形：小學六年級的答題看出，基本上可以回答二
至三題，但也不乏有16％的學生選項判斷全部正確。
選項
答對題數
人數
比率
代表學生號碼
四題全對
5
16%
2、11、13、20、27
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三題答對
7
22%
1、5、12、21、22、31、33
二題答對
12
38%
3、7、8、10、14、17、18、19、23、24、25、30
一題答對
6
19%
6、9、26、28、29、33
全錯
2
6%
15、16
(二)、 各題選項選擇分析：
1. 第一題的答題以A（25％）、C（22％）選項，比率呈現約1/4，似乎圖
形題意理解方面有不清楚、不了解的情況。對於速度與距離的曲線圖
形的座標表徵較難以持續掌控，容易與軌道圖混淆。
2. 第二題、第三題的答題正確比率81%、75%，相對於四題的表現上答對
率較高。
3. 第二題的選項B與第三題的選項D，作答比率為0％，可見選項無誘答
力。
4. 第四個問題選項中的多個不同的軌道圖造成有嚴重性的干擾與混亂
的情況。以E圖（41％）的誘答性最大，與速度與距離的曲線圖形的
座標表徵形狀最為相似。
問題 1：從起始線到軌道裡最長且帄直部分的開始處，其大約距離為何？
選項
答題
人數
比率
代表號碼
A： 0.5 km
8
25%
3、9、15、16、17、26、28、31
B： 1.5 km
12
38%
1、2、5、8、10、11、13、18、20、21、27、32
C： 2.3 km
7
22%
7、14、19、22、23、25、30
D： 2.6 km
3
9%
6、12、24
未作答
2
6%
29、33
_____________________________________________________________
問題 2：在跑第二圈期間，哪個地方速度最低？
選項
答題
人數
比率
代表號碼
A：在起跑線
2
6%
9、16
B：約在 0.8
km 處
0
0%
×
C：約在 1.3
km 處
26
81%
1、2、3、5、6、7、10、11、12、13、14、17、18、
19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、30、
31、32
D：約在軌道
3
9%
8、15、29
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的一半
未作答
1
3%
33
______________________________________________________________
問題 3：你能說明在2.6 km到2.8 km之間的車速代表什麼意思嗎？
選項
答題
人數
比率
代表號碼
A：車速維持
不變
2
6%
10、16
B：車速增加
24
75%
1、2、3、7、8、9、11、12、13、14、17、19、20、
21、22、23、24、25、27、29、30、31、32、33
C：車速減少
5
16%
6、15、18、26、28
D：無法由圖
中判斷車速
0
0%
×
未作答
1
3%
5
______________________________________________________________
問題 4：在此有五條軌道的圖形，沿著哪個軌道駕駛賽車，會繪出如前述的
速度變化圖？S：起點
選項
答題
人數
比率
代表號碼
A圖
4
13%
1、16、24、32
B圖
9
28%
2、5、11、12、13、20、22、27、31
C圖
5
16%
7、19、26、29、30
D圖
1
3%
17
E圖
13
41%
3、6、8、9、10、14、15、18、21、23、25、28、
33
未作答
0
0%
×
八、 學生之解題說理表現結果：M159（賽車速度）
1. 解題說理的帄均分數在 Level 3~4，但是超過 2/3 的人數是答對的，可
見仍需要加強說理的能力。Level 2~3 之間，答對人數在 1/3。因此，經
由多練習的機會，將可讓表達能力提升，思考方式獲得更多的激盪。
2. 發現以第二題與第三題的解題說理表現較高，與選項答對人數較多，有
相互呼應的情況。
3. 第四題的題說理的帄均分數較第一題高，且發現第四題選項 E圖的選答
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率達 41％，可見學生有解題的想法，雖然未發現是錯誤的，但是仍勇於
表達自己的想法是值得肯定的。
4. 第四題 E圖的誘答情況相當不錯，可推測學生對於軌道的曲線理解高於
速度對於距離的曲線圖，所以發生選項答對人數（10 人）是四個問題中
最少的。
5. 第四題 A圖的說理情況是經由學生以操作方式表示，選擇理由是將作答
紙捲起來而產生的答案。
解題說理帄均分數
選項答對人數
第一題
9.1（0~25）
12
第二題
13（0~25）
26
第三題
13（0~25）
24
第四題
9.3（0~25）
10
第一~四題
44（0~100）
學生之解題說理表現結果發現：選項答對的學生在解題說理表現較佳。選項
答對，則解題說理的表現也隨之較佳。
解題說理表現
第一題
第二題
第三題
第四題
選項答
對人數
表現
比率
選項答
對人數
表現
比率
選項答
對人數
表現
比率
選項答
對人數
表現
比率
未作答
1
8%
2
8%
0
0%
1
13%
0：作答但無法判別
3
25%
1
4%
2
8%
0
0%
1：答案對（說明不完整）
0
0%
0
0%
1
4%
0
0%
2：答案對（單一陳述）
2
17%
6
23%
4
17%
2
25%
3：答案對（語文或數學說
明）
2
17%
6
23%
7
29%
1
13%
4：答案對（語文、數學表
示且說明清楚）
3
25%
6
23%
7
29%
2
25%
5：答案對（語文、數學表
示且說明清楚且完整）
1
8%
5
19%
3
13%
3
38%
總計
12
100
%
26
100
%
24
100
%
10
100
%
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問題 1：從起始線到軌道裡最長且帄直部分的開始處，其大約距離為何？
解題說理表現
選項
答對
人數
表現
比率
選項
答錯
人數
選項
人數
總和
比率
未作答
1
8%
4
5
16%
0：作答但無法判別
3
25%
3
6
19%
1：答案對（說明不完整）或
答案錯（簡單說明）
0
0%
2
2
6%
2：答案對（單一陳述）或
答案錯（使用語文或數學說明）
2
17%
6
8
25%
3：答案對（語文或數學說明）或
答案錯（語文、數學表示說明清楚）
2
17%
5
7
22%
4：答案對（語文、數學表示且說明清楚）
3
25%
0
3
9%
5：答案對（語文、數學表示且說明清楚
且完整）
1
8%
0
1
3%
總計
12
100%
20
32
100%
______________________________________________________________
問題 2：在跑第二圈期間，哪個地方速度最低？
解題說理表現
選項
答對
人數
表現
比率
選項
答錯
人數
選項
人數
總和
比率
未作答
2
8%
2
4
13%
0：作答但無法判別
1
4%
3
4
13%
1：答案對（說明不完整）或
答案錯（簡單說明）
0
0%
0
0
0%
2：答案對（單一陳述）或
答案錯（使用語文或數學說明）
6
23%
1
7
22%
3：答案對（語文或數學說明）或
答案錯（語文、數學表示說明清楚）
6
23%
0
6
19%
4：答案對（語文、數學表示且說明清楚）
6
23%
0
6
19%
5：答案對（語文、數學表示且說明清楚
且完整）
5
19%
0
5
16%
總計
26
100%
6
32
100%
______________________________________________________________
問題 3：你能說明在2.6 km到2.8 km之間的車速代表什麼意思嗎？
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解題說理表現
選項
答對
人數
表現
比率
選項
答錯
人數
選項
人數
總和
比率
未作答
0
0%
0
0
0%
0：作答但無法判別
2
8%
2
4
13%
1：答案對（說明不完整）或
答案錯（簡單說明）
1
4%
1
2
6%
2：答案對（單一陳述）或
答案錯（使用語文或數學說明）
4
17%
5
9
28%
3：答案對（語文或數學說明）或
答案錯（語文、數學表示說明清楚）
7
29%
0
7
22%
4：答案對（語文、數學表示且說明清楚）
7
29%
0
7
22%
5：答案對（語文、數學表示且說明清楚
且完整）
3
13%
0
3
9%
總計
24
100%
8
32
100%
______________________________________________________________
問題 4：在此有五條軌道的圖形：沿著哪個軌道駕駛賽車，會繪出如前述的速度
變化圖？S：起點
解題說理表現
選項
答對
人數
表現
比率
選項
答錯
人數
選項
人數
總和
比率
未作答
1
13%
1
2
6%
0：作答但無法判別
0
0%
7
7
22%
1：答案對（說明不完整）或
答案錯（簡單說明）
0
0%
4
4
13%
2：答案對（單一陳述）或
答案錯（使用語文或數學說明）
2
25%
6
8
25%
3：答案對（語文或數學說明）或
答案錯（語文、數學表示說明清楚）
1
13%
4
5
16%
4：答案對（語文、數學表示且說明清楚）
2
25%
0
2
6%
5：答案對（語文、數學表示且說明清楚
且完整）
3
38%
0
3
9%
總計
10
100%
22
32
100%
九、 學生之「解題類型分析」與「解題示例萃取」：M159（賽
車速度）
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問題 1：從起始線到軌道裡最長且帄直部分的開始處，其大約距離為何？
選項
解題類型者
解題示例萃取
A： 0.5 km
26
從1.6km 到2.2km 的軌道裡，是最長而且是最帄
直的，2.2－1.6＝0.6，0.6km 大約是 0.5km。
31
最帄直且最長的開始處約是 1.8km，而尾端則是
2.3km。由此可知是 2.3－1.8＝0.5。
B： 1.5 km
（正確答案）
20
從圖而直線中有三個直線的地方，而直線最長的
地方在差不多 1.8km~2.2km 之間 1.5km 的地方雖
然還不是直的但在選擇中 1.5km 最靠近 1.8km 而
0.5km 是第二長的直線起點2.3km 和2.6km 似乎代
後面了，變成尾線了。
C： 2.3 km
23
第一段帄的是 0.6~1.1，1.1－0.6＝0.5。第二段
帄的是 1.7~2.3，2.3－1.7＝0.6。0.6＞0.5，所
以最長且最帄直的是在 2.2~2.4 中間，所以答案
就很明顯是 2.3。
D： 2.6 km
6
到了最長帄直的部分已經有 1.8km 了，還要加上
轉彎的地方，加起來就大約是 2.6km。
12
越直的線，代表越帄直，所以在大約 1.7km~2.3km
的地方是最直的距離是 2.6km。
______________________________________________________________
問題 2：在跑第二圈期間，哪個地方速度最低？
選項
解題類型者
解題示例萃取
A：在起跑線
16
起跑是 1.4 他是最低的。
B：約在 0.8
km 處
×
×
C：約在 1.3
km 處（正確答
案）
20
大彎的地方似乎比較慢，因為賽車中為了不被甩出
去，所以一定會放慢。而且小彎的地方或許速度也
會慢一點點，但可直接煞車打排檔應該就能轉彎
了。
26
1.2km 到1.4km 的轉彎處，車子的速度降到
80km/h，所以這段距離的速度最低。
23
第一次掉下來 90km/h，第二次掉下來 70km/h，第
三次掉下來 120km/h，所以 120（3）＞90（1）＞
70（2），最小的是第二次，大約在 1.2~1.4 中間，
所以只有 1.3 合格。
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D：約在軌道
的一半
8
用猜的
29
3÷2＝1.5
______________________________________________________________
問題 3：你能說明在2.6 km到2.8 km之間的車速代表什麼意思嗎？
選項
解題類型者
解題示例萃取
A：車速維持
不變
10
用想的
16
2.6，2.8，差 0.2，速度不變。
B：車速增加
（正確答案）
20
如果直線的速度是最快的，那在直線前的彎道應該
會衝刺而圖表上 2.6km~2.8km 中間有從低到高從
110km/h~160km/h 所以車速照推理來說是增加的。
2
M2.6→2.8 為正即車速增加。
33
100（km/h）＜ 160（km/h）的速度，就因為 2.6km
是100（km/h）， 2.8km 是160（km/h），我才認為
是B車速增加這個答案。
22
其中有三個彎的圖有 BCD 是可能的，前圖的第二個
彎最為彎曲，而 BCD 中的 B第二個彎也較微彎曲，
且B在第二個彎至第三個彎中間最長，所以我覺得
答案是 B。
5
開車時轉的角度越大，車速會越慢，可見一開始時
要過一個小彎，第二次過彎時角度要大一點，第三
次又是一個小的。
C：車速減少
28
因為到了轉彎的地方，車速會減少。
D：無法由圖
中判斷車速
×
×
______________________________________________________________
問題 4：在此有五條軌道的圖形：沿著哪個軌道駕駛賽車，會繪出如前述的
速度變化圖？S：起點
選項
解題類型者
解題示例萃取
A圖
24
因為它的圖形把它拉開較像。
B圖（正確答
案）
20
因為圖中有三個大小不一的彎和長度不同的直
線，所以一開始我就先選擇了 B和C圖。C圖的
三角形似正三角形、直線的差距也不大，而 B圖
的彎大小不一、長度也不同，跟圖相似，所以我
選擇 B。
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2
由三次減速可知轉三次彎，再由帄直部分判斷可
知為 B或C，由轉彎幅度可知為 B。
C圖
30
速度變化圖中有共三個可能在彎道而減速的地
方，B圖C圖則是最有可能的。轉彎處的角度越
大，速度變越慢，而 C圖轉彎後最長、最帄直的
地方，就我判斷與速度變化圖最相符。
D圖
17
（未回答）
E圖
33
就是沿著速度變化圖的線來比較 E圖的線啊！
14
E圖上方的軌道和上圖是一樣的。
23
如果把下面剪掉，就會剩上面，上面的圖形就會
和速度變化圖一樣了。
18
因為長的很像。
十、 分享與建議：
(一)、 了解學生學習與開放性 PISA 題目的表現：學生的判斷能力是有的基
本的物理認知與特性可以運用於日常生活中，因此在清楚的題意與
語意的分析下學生仍可以達到應有的作答內容。
(二)、 了解學生質性說明的學習思考能力與方式：透過學生先以紙筆方式
的寫作，將數學思考邏輯判斷方式寫出，比寫出計算算式更有難度
些，但是在透過未公布答案的公開討論分享後，學生很受肯定，因
為是分享想法，以口頭說明的方式簡單多了，而且透過分享也找到
相同的思考者，更是肯定、更愈急著發表，甚而私下要求再給寫作
時間。
(三)、 了解學生錯誤解題的思考模式與類型：透過質性的將解題類型分析
評量後，能歸納出學生解題模式，雖然耗時又耗力，或許不符合經
濟效益，但是在於了解學生的解題策略很有幫助。是想如果帄日教
學也如此一定能好好幫助學生了解自己的學習，但是這似乎又是現
實生活的不可能任務僅能偶而為之。
(四)、 讓學生能勇與於說明表達數學思考方式並以紙筆呈現：學生經由補
充的 PISA 數學題目後，樂於挑戰與分享想法，並且迫不及待的想要
更多的練習，是一件樂於學習的學習成果。
(五)、 教師能以參考QUASAR 方式進行評量與解題類型分析將解題說理的層
次釐清分析：藉由釐清此次的補充資料目的是為了鼓勵呈現思考的
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脈絡及以紙筆方式呈現，因此與正式的學習評量測驗的評分方式迥
異，主要以陳述的完整性及清楚性，再輔以正確性來評定分數。但
是整個評分過程中是為主觀的認知評定，容易受時間、受評分員的
影響，因此經常性的回顧及探討思量變成了十分重要的教師功課。
(六)、 學生學習內容以部編版的六年級下學期第一單元速率的課程為主
體，課程中以「速率＝距離÷時間」及「帄均速率＝總距離÷總時間」
兩個主要學習概念。因此，有關摘選自 PISA 兩個題目（練習──M432
（反應時間）、正式──M159（賽車速度）），在小學課程中已超出課
程綱要與能力指標之外，尤其是牽涉到曲線圖形的座標表徵，其中
的曲線之變化是指距離對於時間的改變比率。因此藉由討論分享的
方式，可延伸學習內容，增加學習的廣度。
十一、 參考資料：
(一)、 部編版國小教科書 99 學年度六年級下學期第一單元速率 吳清山等
編撰 翰林出版事業股份有限公司
(二)、 Ford Foundation（1989）. Quantitative Understanding：Amplifying
Student Achievement and Reasoning.Kansas：University of
Pittsburgh.
(三)、 PISA 2006 Mathematics Released Items
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