活動名稱 | 質數、合數與質因數分解 | 適用年級 | 六年級 | 教學節數 | 約2節 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
設計者 | 桃園縣(市)大業國小趙念魯、陳韻雯老師 桃園縣(市)南美國小何姍容老師 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教學學校 | 教學班級 | 教學者 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教學日期 | 教學節次 | 教學重點 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2004. . | 第一節 | 認識質數與合數 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2004. . | 第二節 | 質因數的分解 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教材地位 | 五年級 六年級 七年級 【第×單元】 • 【本單元】 •認識質數與合數 •認識質因數，並作質因數的分解 【第×單元】 •能理解質數的意義，並認識100以內的質數。 【第×單元】 •能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數 •熟練質因數分解的計算方法。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
數學本質之概念 | 一、因數 在國小數學中，因數的討論，以正整數為範圍。因數及其關係，在數學結構上，是由「除法原理」去判斷兩整數相除，其餘數是否為零而定。而所謂的歐幾里得的除法原理是指：若有a、b兩個正整數，則必可找到q、r兩個非負整數，滿足a＝b×q＋r的關係，且b＞r≧0，此時，a為被除數、b為除數、q為商數，而r稱為餘數；並且可記為：a÷b=q…r當r＝0，我們可以說「b整除a」或「a被b整除」；由此定義「b是a的因數」。因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量。 二、質數與合數 所謂質數或稱素數，就是一個正整數，除了本身和1 以外並沒有任何其他因子。例如2，3，5，7 是質數，而4，6，8，9 則不是，後者稱為合成數。從這個觀點可將整數分為兩種，一種叫質數，一種叫合成數。 一個正整數如果只有1和自己兩個因數，我們叫它「質數」，一個正整數如果除了1 和自己兩個因數以外，還有其它的因數，我們叫它「合數」。在數學上，定義 1 不是質數，因為如果 1 是質數，則違反算術基本定理：每一個正整數，都可以表示為質數的連乘積，且若不計質因數的次序，其表示法為唯一。 三、質因數 一個質數如果是某一個整數的因數，簡稱它是該整數的「質因數」，例如：2是質數，2也是20的因數，所以2是20的質因數。1不是質數，所以１不會是任何整數的質因數。 四、質因數的分解 將一個整數表示成其質因數連乘積的活動稱之為「質因數分解」，依據算術基本定理（Fundamental
Theorem of
Arithmetics）：每一個正整數，都可以表示為其質因數的連乘積，且若不計質因數的出現次序，其表示法為唯一。以60為例，60的質因數分解紀錄可以是3×2×2×5，也可以是2×5×2×3或5×2×2×3…，若不計質因數的次序，它們都是表示2個「2」、1個「3」和1個「5」的連乘積。著名的高斯「唯一分解定理」說，任何一個整數。可以寫成一串質數相乘的積。例如 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
迷思概念 | 在質數與合數的單元中，是相當抽象的概念學習，很多小朋友在質因數分解法的時候，常常會忽略要把每一個因數都化做是質數來相乘，這可能是一方面他們對質數的定義還未充分了解，另一方面可能是練習不足所造成的結果。要解決這個問題除了加強小朋友對質數的認識外，也要讓他們有充分練習的機會，如此一來有了充分的了解之後，小朋友遇到問題自然會由最小的質因數開始找起來相乘，這樣錯誤的機會也會減少了。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
處理的特色 | 對學童而言，質數和合數本身是相當抽象的概念，本單元以因數概念的舊經驗導入，漸而讓學生透過生活情境的關係洞察及連結親身經驗，帶入抽象的質數與合數的概念。並透過找因數的活動分辨合數與質數的差別，強化概念。而利用「終極密碼」的遊戲設計，讓學生在分組遊戲競賽中能熟練並應用已學概念。而在質因數的迷思當中，可以利用精熟練習來解決。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
能力指標 | 具體目標 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6-n-01能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 |
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，這就是說，任何數都由質數構成的。教學活動流程 | |||||||||
第一節 | |||||||||
具體 目標 | 活動主題 及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | 評量 | |||||
能找出某一整數的因數 | 複習舊經驗 情境問題設計 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U在黑板上放12個磁鐵 想想看，12顆糖果要分給多少人能夠剛好分完？ 請學生用算式紀錄所有可能的分法(可以磁鐵輔助運算或說明)
這裡的1、2、3、4、6、12跟12有什麼關係?
| 教師教具黑板、12個磁鐵 學生教具 每組12個磁鐵 | 學生能利用舊經驗找出某一整數的因數 | |||||
能透過找因數的過程，了解質數與合數的概念 | 關係洞察 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | 找一找， 6的因數有哪些？ 請學生在小組內輪流發表，並將算法及答案記錄在小白板上 將各組小白板放在黑板上進行比較及討論
所以6的因數有1、2、3、6。 找一找，7的因數有哪些？ 請學生在小組內輪流發表，並將算法及答案記錄在小白板上
在比0大的數當中，有的數像6一樣有2種以上的分解方式;有的數像7一樣只有一種分解方式，你能不能依據找因數的方式把10以內的數做分類？ 請學生分組討論並將答案紀錄在小白板上，口頭發表
1、2、3、5、7是一類，4、6、8、9、10是另外一類。 | 學生教具 每組12個磁鐵、 1個 小白板 | 學生能覺察出生活中質數與合數的區分 | |||||
1.能分辨1-10之中的質數和合數 2.能了解0和1不是質數也不是合數 | 正誤區辨 定義概念 ↓ 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | 教師由因數概念引導學童認識質數與合數的定義 像2、3、5、7這些數字，除了1和自己本身之外，就沒有其他的因數，像這種數我們可以稱他為「質數」。 至於像4、6、8、9、10這些數字，他們的因數除了1和自己本身以外，還可以找到其他的，像這種數我們就稱他為「合數」。 ※ 教師特別說明1有特殊性，不屬於質數和合數的討論範圍內。所以1不是質數也不是合數。 現在說說看，3是不是質數？為什麼？ 請學生小組討論後發表並說明理由。
現在說說看，7是不是合數？為什麼？ 請學生小組討論後發表並說明理由。
| 小白板 | 能分辨數字1~10中的質數與合數 能了解0和1不是質數也不是合數 | |||||
1.能分辨1-10之中的質數和合數 | 概念確認 情境問題設計 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | 現在說說看，1~10哪些是質數？哪些是合數？ 請學生各自思考1分鐘後，以抽籤方式作答，師生共同訂正
想一想，偶數都是合數嗎？為什麼？2是不是合數？ 想一想，質數都是奇數嗎？為什麼？9是不是質數？ 學生思考後發表自己的意見，全班共同討論 | 能記憶數字1~10中的質數與合數 | ||||||
能找出20以內的質數 | 概念再製 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班討論 | 想一想，我們已經知道1~10的質數與合數，請問有什麼方法找出11~20的質數？ 請小組共同討論思考，並將答案寫在小白板上，並請各組特別說明如何找到這些質數。
| 小白板 | 學生能利用推理找出20以內的質數 | |||||
概念應用 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U全班分成兩大組，進行終極密碼遊戲 現在我們來進行一個遊戲，看看哪一組可以最快猜出老師心裡想的數字？在這個遊戲中，數字的範圍在1~20之間 教師講解遊戲規則並進行遊戲: 全班分成兩大組，輪流作答，學生可以依據老師給的條件及分析其他同學錯誤的答案來判斷正確的數字是多少？最先猜出正確答案的小組則得分 ~本節課結束~ | 能應用質數與合數的概念於遊戲中 | |||||||
教學活動流程 | |||||||||
具體 目標 | 活動主題 及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | 評量 | |||||
第二節 | |||||||||
能將小於100的整數(其質因數小於10)作質因數分解 | 複習舊經驗 及 概念延伸 問題設計 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | 「之前大家已經學過如何把一個數做因數分解了，那麼現在我們來試試看把一個數分解成3個數的連乘積，所以請大家想想看如何把36表示成3個比1大的數的連乘積？」 學生在小白板中寫出答案，並發表。 | 黑板、粉筆、小白板、白板筆 | 學生能把某一合數表示成3個比1大的數的連乘積。 | |||||
關係洞察 問題設計 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | 2是20的因數嗎？ 學生在小白板上作答並發表。 2是質數嗎？ 學生在小白板上作答並發表。 歸納質因數的定義：老師歸納出2是20的因數且又是質數，所以2是20的質因數，讓學生能瞭解質因數的定義。 找出36的所有質因數。 學生分組討論並在小白板上作答後發表。 試試看能不能把36分解成質因數的連乘積。 學生思考後作答：可以分解成2233。 溝通質因數分解的意義：老師說明將一個合數分解成質因數的連乘積的活動叫做「質因數分解」。 | 學生能瞭解質因數的定義。 學生能瞭解質因數分解的定義。 | |||||||
正誤區辨 問題設計 ↓ 小组討論 ↓ 全班分享 | U老師在黑板上揭示 28=47和28=227這兩個式子。 28=47和28=227這兩個因數分解式子中，有什麼不同？ 學生思考後回答並說出理由。 延續之前問題：那麼哪一個才是28的質因數分解？ 學生思考後回答並說出理由。 | 學生能辨別質因數分解式。 | |||||||
概念確認 問題設計 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | 把24作質因數分解。 學生在小白板中作答，並揭示答案。 把98作質因數分解。 學生在小白板中作答，並揭示答案。 | 學生能作質因數分解。 | |||||||
概念應用 問題設計 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U老師在黑板上揭示五個數字(48、50、60、66、72)，請學生完成質因數分解 現在進行遊戲，看看誰比較快能完成黑板上的五個題目？ 學生思考並發表理由與作法。 | 學生能辨別質因數分解。 | |||||||
質數、合數與質因數
大業國小 六 年6 班 _____號 姓名：______________
靜香的爸爸買了一張彩券，號碼分別是 7、9、13、15、17、20，靜香說：「爸爸選的號碼都是質數喔！」你認為對嗎? (請勾選)
對 不對
理由是：
教室裡有5個學生，他們的座號分別是1、4、10、11、16，「他們的座號都是合數」，你認為這句話正確嗎？〈請勾選〉
正確 不正確
理由是：
你認為1是質數嗎？〈請勾選〉
是 不是
理由是：
大業國小六年ㄆ班共有28位學生，老師要排隊伍，每一排人數一樣多，排列方式有1排、2排、4排、7排、14排、28排，請問28的質因數有哪些？
小叮噹說：「4、14、28。」
大雄說：「1、2、7。」
胖虎說：「2、7。」
請問誰說的對？ 小叮噹大雄胖虎
理由是：
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