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發現兩全等三角形可組成一個平行四邊形
阮靜雯/臺北市國語實驗國民小學教師
「全等圖形」這個名詞，對四年級學生而言雖然陌生，但其實在日常生活中，
卻是他們隨處可見的簡單觀念。學生可以輕易的舉出「形狀、大小等一模一樣」
的圖形為例證，因此，帶入「全等圖形」的觀念，對學生而言並不困難。
而平行四邊形也是學生新學到的幾何圖形，除了認識它的定義與學習如何繪
製它之外，我們還可以讓學生透過操作，學習到更多的概念。例如：從對角線分
割平行四邊形，能發現分割出的兩個圖形，具備有全等的特色。當然，也可以反
過來，讓學生從他們熟知的三角形中，透過拼圖、配對等圖形操作，去發現原來
利用三角形也可以組成平行四邊形，而且還有蘊藏其中的觀念和秘訣喔！
設計理念
國家教育研究院所編寫的數學教科書，在第八冊第六單元「平面圖形」的教
材中，教導學生認識「銳角、鈍角及直角三角形」
、
「等腰三角形、正三角形的邊
角性質」、
「平行四邊形、梯形的定義，及如何繪製」，以及「平面圖形全等的意
義」等多項內容。
其中，在該單元 6-4「全等圖形」該小節中，除認識全等圖形的相關定義外，
課本內容中還提到「將平行四邊形沿對角線分割出來的兩三角形彼此全等」的概
念，這是要藉由分割平行四邊形，讓學生學習全等圖形的概念。而本教案設計，
則是用一個與課本顛倒過來的作法，在學生還沒上到該小節前進行本教學活動，
讓學生從眾多三角形中，尋找彼此可拼為平行四邊形的配對組合，進而從拼好的
圖形中，他們可以發現，這些能配對的組合，彼此都是頂點、邊、角完全重合的
三角形，學生也同時學習到了「全等」的概念。
如何描繪拼好的平行四邊形
課本教材 6-3「畫四邊形」該小節中，指導學生兩種畫圖形的方法：1.用直
尺和三角尺繪製正方形或長方形；2.利用方格，透過已知的兩邊繪製平行四邊形。
但在此次的教學活動設計中，利用 10 個大大小小的三角形圖卡，要學生自己操
作拼出圖形的各種可能性，因此需要學生能有在紙上描繪各種拼好組合的能力，
故在教案設計時，
「教導學生如何描繪拼好的平行四邊形」成為一個設計的重點。
同樣的 10 張三角形圖卡，我們特別製作了一份放大的「教具版」
，除了在課
堂上說明時方便學生觀看外，同時在引導學生如何操作時，能夠具體的使用。教
師在「引入階段」確認學生知道如何利用三角形拼出平行四邊形後，緊接著進入
「探索階段」要引導學生能夠在紙上記錄過程（把圖形描繪下來）
。
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一開始，學生想到的方法，就是用筆小心的沿著圖卡的邊線描下來，因圖卡
是紙製的，材質軟不好描，所以學生花了很久的時間，且描繪出的圖形邊線也是
不平整的。教師請學生再想一想，還有沒有比較快又比較好的方式？經過動腦後，
學生果然想出了老師想要教導他們的描繪圖形方法：
將四個頂點點出來，再用
直尺連接各個頂點；
連出兩三角形貼合的邊線（即對角線），並註明圖卡的編
號。當上台示範的學生用了這個方法後，只要標好頂點，就可以移開圖卡，用直
尺描繪出工整美觀的圖形，學生都覺得這個方法實在太棒了！
同一組圖卡，均可拼出三種平行四邊形
學生開始進行拼圖形與作記錄的過程時，老師發現學生多數都能迅速的從
10 張三角形圖卡中，找到 3 組的配對組合（
和、和、和），找到配對
組合後，學生很快的在紙上描繪了 3 種組合分別拼出的平行四邊形各 1 個。許多
學生此時認定任務完成了。
不久後，有些組別的學生，因持續玩圖卡或動腦筋思考，進而發現了同一配
對組合中，竟可拼出形狀不同的平行四邊形，於是老師才進一步詢問是否還有其
他的可能性？並將同學的發現展示給全班看，促使大家第二次動腦筋。
老師觀察，即使已知每種組合可能有不只一種拼法後，多數學生在找尋其他
拼法可能時，仍是用任意旋轉圖形的方式「碰運氣」
。但有約 3、4 組的學生，發
現了用「2 個全等三角形等長的邊去互相貼合」
（形成了平行四邊形的對角線）
的方式，並輪流用 3 邊去彼此貼合，快速的找到「同一配對組合的圖卡，均可能
有三種拼法」的小結論。
學生表現
為了讓人人都能參與，但又能有對象以資討論，故此次是以 2 人一組，分得
一套圖卡。教導如何記錄後，各組開始進行拼圖形與作記錄的階段。教師行間巡
視後發現，一開始，學生皆能很快的在 10 張圖卡中找到有 3 組（6 張）的配對
組合，但描繪圖形時，有許多組都只記錄了 3 種（也就是各組合只拼出一個平行
四邊形）就作罷，認定自己已經完成任務了。後來，是因同組的兩人，用同一個
配對組合卻各自拼出不同形狀的平行四邊形後，感到疑問而詢問老師，老師此時
才將此情況用來問全班並引導全班思考，於是，剛剛停工的學生們才開始又動了
起來！
於多數學生而言，即使在已被提示的狀況下知道了「每種組合可能有不只一
種拼法」
，但卻只有少數組別的學生（約 3、4 組）發現，可用 2 個全等三角形等
長的邊去彼此貼合（以形成平行四邊形中間的對角線）的特性，而發現這種特性
的學生，基本上他們減少了摸索的時間，拼圖形的速度明顯的快，因他們知道只
要找等長的邊互相貼合，又知道三個邊要彼此輪流用，所以他們能很快的找出「每
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種組合可有三種拼法」的可能。
上述的「秘訣」也是有學生發現卻誤用的情況，因「秘訣」是「2 個全等三
角形等長的邊去彼此貼合」
，有少部分學生找到了兩個三角形（並未全等）的某
個邊等長，就直接將之貼合拼成一個圖形，但卻忘了檢查拼出來的是不是平行四
邊形？應當要檢查拼好的圖形是否符合「兩雙對邊互相平行」的基本定義。
教學省思
在「引入階段」
，要確認學生如何用三角形拼出平行四邊形時，老師示範用
的 4 個三角形，除了形狀要有明顯差異外，能配成對的那一組，也要三邊明顯不
等長（避免等腰三角形及正三角形，因那樣無法拼出三種不同形狀的平行四邊
形）
，故經由實際試教後的經驗，會建議選 8、10 配對較佳。
另外，原本在「探索階段」
，我們是打算要先發下 A3 紙和圖卡讓學生實作，
之後再問他們要如何記錄。但實際教學時發現，這樣會用到非常多的導入時間，
影響教與學的順暢度，故建議教師先在黑板上以教師版的教具圖卡引導示範，讓
學生再進行實作，整體效果較佳。
在我們原本設計的附件圖卡中，
「1 和 5」及「6 和 7」這兩組看似都屬於等
腰三角形（其實「6 和 7」並沒有完全等腰，但學生目測時極易看錯）
。故建議附
件圖卡只留下一組等腰三角形，另一組改為明顯邊長不等的銳角三角形。
最後，在「分享討論階段」時，可請學生將 9 種平行四邊形都拼畫在黑板
上。我們建議可由同組的兩人互相合作，一個人專門負責拼出圖形，並點上 4 個
頂點；而另一人則負責拿教具大尺，根據 4 個頂點來描畫邊線（且要畫出分割的
對角線），並標上圖卡編號。經實作經驗，如此分工確實可以節省學生在黑板上
繪製的時間，更方便後續全班可透過黑板上的大圖，共同進行「分類」的討論。
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探究教學簡案設計
教學年級 四年級
教材來源 國教院版第八冊
單元名稱 平面圖形
教學節次 第 6 節（共 7 節）
教學設計
阮靜雯、蘇慧娟、丁維
貞
指導教授 鍾靜 教授
探究主題 兩全等三角形可組成一個平行四邊形
主探究問題
均均想要利用 10 個大大小小三角形圖卡（如附件）
，拼出平
行四邊形，請問他可以拼出哪些平行四邊形？
教學內容
階段
教學流程
關鍵性問話
引入階段
( 提 出 問 題
情境，引發
學 生 探 究
動機，確認
任務)
澄清問題、確認任務：
均均想要利用 10 個三角形圖卡（如
附件），拼出平行四邊形，請問他要
如何拼？
1.
確認學生了解題意。
（三角形圖卡設計概念：10 個三
角形圖卡中有不等邊的銳角三角
形，有既是等腰又是鈍角的三角
形和直角三角形，盡量包含各類
的三角形。）
2.
複習平行四邊形的定義。
（四邊形的兩雙對邊互相平行）
3. 確認學生知道如何利用三角形拼
出平行四邊形。
（老師在黑板上貼出 3 個圖卡
、、，請學生找出何者可以
和老師手上的圖卡
，拼成一個
平行四邊形。）
1-1
你認識這些圖卡嗎？
各是什麼三角形？
2-1 說說看什麼樣的圖形
叫做平行四邊形？
3-1 請問老師手上的這個
三角形圖卡，可以和黑
板上的哪個圖卡，拼成
一個平行四邊形？
3-2 如何確定你拼出的圖
形 是 一 個 平 行 四 邊
形？
( 請 學 生 拿 出 直 尺 或
三角板量一量，平行
四邊形的兩雙對邊邊
是否互相平形？平行
線之間是否等距？)
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探索階段
( 提 問 或 提
示，來引導
學 生 探 索
問題)
1.
兩人一組，每一組發下 10 個圖
卡、一張 A3 紙，開始實作出一個
平行四邊形。
（幫學生準備 16 組圖卡）
2.
將拼出的平行四邊形描畫在 A3 紙
上。
教導學生如何記錄：
(1)
將四個頂點點出來，再用直尺
連接各個頂點。
(2)
連出兩三角形貼合的邊線，並
註明圖卡的編號。
3.
將所有拼出的平行四邊形全部拼
出，並描畫在紙上。
1-1 如果想拼出一個平行
四邊形，你需要選幾
個三角形呢？
1-2 你 會 怎 麼 選 ？ 為 什
麼？
2-1 你如何將平行四邊形
描畫在紙上？
2-2 有沒有更快的描畫方
法？
3-1 你已經將所有拼成的
平行四邊形都描畫出
來？
分享討論
階段
( 學 生 分 享
和說明探索
的結果)
1.
先請一組上台，用教具和排
出不同於黑板上最先拼出的一種
拼法，並將此平行四邊形描在黑
板上。
（全等三角形：
和、
和
、和，每一個組合應該
可以拼出三種不同形狀的平行四
邊 形 ， 但 是
和為 等腰三角
形，雖然有三種不同組合方法，
但是所拼出的其中兩個平行四邊
形，形狀相同，所以
和只能
拼出二種不同形狀的平行四邊
形。）
2.
各小組重新確認是否已經找出全
部形狀的平行四邊形?再將第二
次找出的平行四邊形描畫下來。
3.
將全部的平行四邊形進行分類。
( 將 圖 卡 編 號 相 同 的 平 行 四 邊
形，
和、和、和，用
同色的彩色筆圈起來)
1-1 有沒有哪一組使用和
黑 板 相 同 編 號 的 圖
卡，卻拼出不同形狀
的平行四邊形？
1-2 哪一組還可以使用圖
卡
和再拼出不同
形狀的平行四邊形？
2-1 經過剛剛的發表後，你
是否還有發現其他形
狀的平行四邊形呢?
2-2 說說看，你們總共拼出
幾個平行四邊形？
3-1 你們的紙上已經畫出
了這麼多個平行四邊
形，你會怎麼圈選，
能夠表示他們是用同
樣編號圖卡所拼出的
平行四邊形呢?
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4.
請各小組帶著紀錄紙上台，發表
該組分類的情形。
（以號碼為分類的組合共有三
組：1.
和可以拼出三種平行
四邊形 2.
和可以拼出二種
平行四邊形 3.
和可以拼出
三種平行四邊形）
4-1 共有幾種號碼組合？
4-2
和共可以拼出幾
種平行四邊形？
和
呢？和呢？
結論階段
(指導學生
總結學到什
麼概念、方
法及關鍵的
想法)
指導學生做出結論:
1.以「號碼」做分類原則時，每一個
平行四邊形的號碼組合，均可能
有三種不同的拼法（兩個正三角
形、兩個等腰三角形除外）
。
2.
(1)
帶入全等的概念：
「形狀和大小
一樣的平面圖形，叫做全等圖
形」
。
(2)
帶入「兩個全等三角形可以組
成一個平行四邊形」的概念。
3.拼成平行四邊形的要訣：兩三角形
等長的邊要貼合在一起，就會形
成平行四邊形(指導學生注意不
要因為兩個三角形中，各有一條
邊等長，將它貼合即認定為平行
四邊形，要檢查這兩個三角形是
否為全等三角形)。
1-1 號碼
和、和、
和請問它有幾種
拼法? 為什麼
和
只能拼出兩種平行四
邊形？
和、和
卻可以拼出三種平行
四邊形？
2-1 請觀察號碼
和、
和
、和這幾組三
角形和它們所拼出的
平行四邊形，你發現
什麼?
3-1 要把兩個三角形拼成
一個平行四邊形的時
候，要注意什麼?
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