串珠中的數學奧祕：多面體與尤拉公式探討

中華民國第 49 屆中小學科學展覽會

作品說明書

國小組數學科

最佳(鄉土)教材獎

080407

「珠」絲馬跡-串珠與數學原理之探討

學校名稱：嘉義市東區蘭潭國民小學

作者：

指導老師：

小六黃馨儀

小六黃湘樺

翁秀玉

李佩馨

關鍵詞：串珠、多面體、尤拉公式

1

壹

壹、

、

、摘要

摘要

身邊常見美麗的串珠作品，但

但

但卻未見有關串珠的數學研究

卻未見有關串珠的數學研究

卻未見有關串珠的數學研究。我們進行二年時間來探討串

珠。結論如下：

研究一：相同大小的珠珠，以「點→線→面」的方式操作，若以某顆珠為中心點，周圍角

度和是 360°的有：四邊形

四邊形

四邊形＋

＋

＋四邊形

四邊形

四邊形、

、

、六邊形

六邊形

六邊形＋

＋

＋三角形

三角形

三角形，這二種串法可以形成平面。

研究二：五邊形組合的「二十面十二面體」(稱為五邊形球體)只要增加四邊形

四邊形

四邊形或六邊形

六邊形

六邊形就

可以擴充。而且使用六邊形較節省珠數，這也是串珠中最常見的作法。

研究三：增加六邊形擴大球體時，五邊形維持 12 面，六邊形以 5 的倍數增加。而且串珠

作品只要進行名詞轉換，也符合尤拉公式：

珠珠數

珠珠數(稜邊數) ＋２

２

２＝三角形連接處

三角形連接處

三角形連接處(頂點數) ＋面數

面數

面數。

研究四：沙發或盒子轉角處的串法，以畢氏定理檢驗證實為直角。

貳

貳、

、

、研究動機

研究動機

有一次在義工媽媽的指導下，用珠珠串成由五邊形構成的球體，於是我們開始思考：

為

什麼五邊形會拱起來，可以串成一個球體？

其他的多邊形也會拱起來嗎？我們研究哪幾種正

多邊形的組合會變成平面。後來，又陸續串了一些動物的造型，義工媽媽教我們使用六邊形

來擴充球體，我們竟然從珠數和面數的關係中找到尤拉定理。更因為義工媽媽教導我們沙發

造型的串珠，引發研究立體三面直角中的問題。但是因為沒有相關的參考資料，我們總是在

摸索中學習，一直遇到瓶頸，不過我們也一一克服。這期間，也讓我們驚訝這個小小的串珠

中竟然隱含了這麼多秘密。

＊教材相關性：南一版數學科第八冊第五單元長方體與正方體

参

参、

、

、研究

研究

研究目的

目的

研究一

研究一：

：

：正多邊形組合的串珠與平面的關係

正多邊形組合的串珠與平面的關係

研究二

研究二：

：

：擴充串珠球體的設計

擴充串珠球體的設計

研究三

研究三：

：

：串珠

串珠

串珠立體造型與尤拉公式的關係

立體造型與尤拉公式的關係

研究

研究四

四

四：

：

：串珠產生立體三面直角

串珠產生立體三面直角

肆

肆、

、

、器材

器材

珠珠、釣魚線、量角器、直尺、立體模型片、電腦軟體。

伍

伍、

、

、研究過程

研究過程

研究過程、

、

、結果

結果

結果、

、

、與討論

與討論

2

研究

研究一

一

一：

：

：正多邊形組合的串珠與平面的關係

正多邊形組合的串珠與平面的關係

一

一、

、

、「

「

「點

點

點→

→

→線

線

線→

→

→面

面

面」

」

」的

的

的組合

組合

組合方式

方式

實際串珠的動作中，我們發現串珠中的珠珠經由釣魚線連接，由點變成了線，只要在

最後一顆珠交換線，就可以隨意決定由幾顆珠串成一個平面，然後平面再與平面進行組合

連接，所以串珠基本上是由「點→線→面」的方式形成各種造型。

點：一顆珠

線：二顆珠以上

面：最後一顆珠交換線

2 個五邊形面與面的組合

二

二、

、

、大小相同的珠珠串成的是正多邊形

大小相同的珠珠串成的是正多邊形

珠珠串成的多邊形，因為珠珠大小相同，所以串成的多邊形是正多邊形，那我們很容易

推算各種多邊形串珠的內角。內角分別為：三角形是 60°、四邊形是 90°、五邊形是 108°、六

邊形是 120°、七邊形是 129°…。

圖片

內角

60°

90°

108°

120°

129°

三

三、

、

、分析正多邊形組合

分析正多邊形組合

分析正多邊形組合形成平面的條件

形成平面的條件

進行串珠時，我們會決定以幾顆珠串成一個平面，以此平面繼續做面與面的組合。

觀察串珠作品，發現大多是各種正多邊形和三角形的組合，我們發現

發現

發現到一些常見的組合會

到一些常見的組合會

形成平面

形成平面，

，

，但某些組合卻無法形成平面

但某些組合卻無法形成平面

但某些組合卻無法形成平面，因此，我們針對此現象進行探討。

以某顆珠為中心點

以某顆珠為中心點，

，

，分析其周圍角度

分析其周圍角度

分析其周圍角度，

，

，如果角度和是

如果角度和是

如果角度和是 360

360

360°°°°，

，

，就可以

就可以

就可以形成

形成

形成平面

平面

平面；

；

；如果

如果

角度和不是

角度和不是 360

360

360°°°°，

，

，就會拱起

就會拱起

就會拱起。

。

3

((((一

一

一))))以

以

以 nnnn 顆珠為一組

顆珠為一組

顆珠為一組，

，

，串成一個平面

串成一個平面

串成一個平面，

，

，再繼續面與面的組合

再繼續面與面的組合

再繼續面與面的組合。

。

1.

1.以

以

以 3333 顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面((((三角形

三角形

三角形))))

組合方式

圖片

說明

三角形

＋

三角形

以 O 為中心點，

周圍有 3 個正三角形。

其周圍的角度

60°×3＝ 180°

＜360°

180°小於 360°，所以會拱起。

2.

2. 以

以

以 4444 顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面((((四邊形

四邊形

四邊形))))

組合方式

圖片

說明

四邊形

＋

四邊形

以

O 為中心點，

周圍有

4 個正方形，

90°

╳

4＝360°，

等於 360°，所以會形成平面。

四邊形

＋

三角形

以

O 為中心點，

周圍有

2 個正四邊形、

2

個正三角形。

周圍的角度

90°

╳

2＋60°

╳

2 ＝ 300°

＜360°

300°小於 360°，所以會拱起。

4

3.

3. 以

以

以 5555 顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面((((五邊形

五邊形

五邊形))))

組合方式

圖片

說明

以 O 為中心點，

周圍有 2 個五邊形、2 個正三角形，

周圍的角度

(108°＋60°)

×2＝336°

＜360°

336°小於 360°，所以會拱起。

五邊形

＋

三邊形

從側面明顯看到拱起。

4.

4. 以

以

以 6666 顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面((((六邊形

六邊形

六邊形))))

組合方式

圖片

說明

六邊形

＋

三邊形

以 O 為中心點

，

周圍有 2 個六邊形、2 個正三角形，

（120°＋60°）

╳

2＝360°，

等於 360°，所以可以形成平面。

5.

5. 以

以

以 7777 顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面

顆珠串成一個平面((((七邊形

七邊形

七邊形))))

組合方式

圖片

說明

以 O 為中心點，

周圍有 2 個七邊形、2 個三角形，

（129°＋60°）

╳

2＝378°，

378°＞360°

無法形成平面，會凹凸不平。

七邊形

＋

三邊形

從側面可明顯看到凹凸不平。

5

((((二

二

二))))分析

分析

1.當我們在進行串珠時，通常以「面與面的組合」為主，當三個面接連時

當三個面接連時

當三個面接連時，

，

，自然形成一個

自然形成一個

三角形

三角形，

，

，我們稱為

我們稱為

我們稱為「

「

「連接處

連接處

連接處」

」

。但是，如果刻意四邊形+四邊形的組合，就不會形成三角

形。

2.以

以

以任一

任一

任一顆珠為中心點

顆珠為中心點

顆珠為中心點，

，

，其周圍角度和是

其周圍角度和是

其周圍角度和是 360

360

360°°°°，

，

，只有四邊

只有四邊

只有四邊形

形

形＋

＋

＋四邊形

四邊形

四邊形、

、

、六邊形

六邊形

六邊形＋

＋

＋三角形

三角形

三角形，

這二種平面的組合，可以使

可以使

可以使串

串

串珠

珠

珠形成平面

形成平面

形成平面；而其他的組合會使平面拱起；甚至七邊形以

上的串法就會造成凹凸不平。

四邊形＋四邊形

六邊形＋三角形

6

研究二

研究二：

：

：擴充串珠球體的設計

擴充串珠球體的設計

一

一、

、

、五邊形組合的

五邊形組合的

五邊形組合的「

「

「二

二

二十面十二面體

十面十二面體

十面十二面體」

」

義工媽媽教導我們串出的各種造型中，最常用的就是以五邊形為平面的串法，如果

繼續串下去，就會形成一個漂亮的球體。在串法上就是讓五顆珠為一組，如果遇到面與

面的組合時，必須扣除共用珠的數量，如此串出的成品就是正五邊形＋三角形組合而成

的「二十面十二面體」

，屬於阿基米得多面體的一種。

五顆珠為一組

扣除共用珠的數量

二十面十二面體

二

二、

、

、增

增

增加四邊形或六邊形可以擴充

加四邊形或六邊形可以擴充

加四邊形或六邊形可以擴充五邊形球體

五邊形球體

((((一

一

一))))觀察串珠成品

觀察串珠成品

二十面十二面體，我們自己稱為「五邊形球體」

，是串珠最基本入門的造型，後來再

繼續觀察其他造型，例：Kitty 的頭、豬的身體、沙發的扶手，發現如果要擴充變成橢圓

形球體或柱體等，可以增加四邊形或六邊形。

五邊形球體

Kitty 的頭

(橢圓形球體)

豬的身體

(圓柱體)

沙發的扶手

(五邊形柱)

無增加

增加六邊形

增加四邊形

7

((((二

二

二))))分析

分析

1.由研究一的結論恰巧也得知，四邊形或六邊形這二種串法的每一顆珠周圍的角度和是

四邊形或六邊形這二種串法的每一顆珠周圍的角度和是

360

360°°°°，

，

，會形成平面

會形成平面

會形成平面，

，

，所以就能達到擴大拉長的效果

所以就能達到擴大拉長的效果

所以就能達到擴大拉長的效果。

。

五邊形球體

增加四邊形

增加六邊形

2.雖然增加四邊形或六邊形都能達到擴大拉長的效果，但是，為了符合經濟效益，使用六邊

形可以節省珠珠的使用數量，所以串珠中最常見就是增加六邊形組合來擴大變形

增加六邊形組合來擴大變形

增加六邊形組合來擴大變形。

8

研究三

研究三：

：

：串珠立體造型與尤拉公式的關係

串珠立體造型與尤拉公式的關係

一

一、

、

、分析

分析

分析以

以

以五邊形

五邊形

五邊形球體

球體

球體擴大拉長後

擴大拉長後

擴大拉長後柱體的面數與珠數

柱體的面數與珠數

名詞解釋：

「連接處」的意思為

串珠中 3 顆珠的連接點形成的面(三角形)(如右圖)

((((一

一

一))))五邊形球體

五邊形球體

五邊形數量

第一層(頂層)：

1

個五邊形

第二層：

5

個五邊形

第三層：

5

個五邊形

第四層(底層)：

1

個五邊形

共

12

個五邊形

珠珠數

每個五邊形有

5

顆珠，而且

每顆珠都是 2 個五邊形所

共用

。

所以

12×5÷2＝30(顆)

三角形數量

(連接處)

第一層：

5

個三角形

第二層：

5

個三角形

第三層：

5

個三角形

第四層：

5

個三角形

共

20

個三角形

9

((((二

二

二))))增加

增加

增加 5555 個六邊形的球體

個六邊形的球體

我們以六邊形來擴充球體，發現每次增加的六邊形必須是 5 的倍數，最後才能串成一個完

整的立體造型。

五邊形、六邊形

的數量

第一層(頂層)：1 個五邊形

第二層：5 個五邊形

第三層：5 個六邊形

第四層：5 個五邊形

第五層(底層)：1 個五邊形

共

12

個五邊形和

5555

個六邊形

珠珠數

五邊形有

5

顆珠，

六邊形有

6

顆珠，

而且每顆珠都會被

共用一次

。

所以

珠珠數＝（5×12+6×5）÷2＝45(顆)

三角形數量

(連接處)

第一層：

5

個三角形

第二層：

5

個三角形

第三層：

5

個三角形

第四層：

5

個三角形

第五層：

5

個三角形

第六層：

5

個三角形

共

30

個三角形

((((三

三

三))))增加

增加

增加 10

10

10 個六邊形的球體

個六邊形的球體

拼湊結構的不同，會有二種形狀的球體。

1.

1.長球體

長球體

長球體：

：

五邊形、六邊形

的數量

第一層(頂層)：1 個五邊形

第二層：5 個五邊形

第三層：5 個六邊形

第四層：5 個六邊形

第五層：5 個五邊形

第六層(底層)：1 個五邊形

共

12

個五邊形和

10

個六邊形

10

珠珠數

五邊形有

5

顆珠，

六邊形有

6

顆珠，

而且每顆珠都會被

共用一次

。

所以

珠珠數＝（5×12+6×10）÷2＝60(顆)

三角形數量

(連接處)

第一層：

5

個三角形

第二層：

5

個三角形

第三層：

5

個三角形

第四層：

5

個三角形

第五層：

5

個三角形

第六層：

5

個三角形

第七層：

5

個三角形

第八層：

5

個三角形

共

40

個三角形

2.

2.扁球體

扁球體

扁球體：

：

五邊形、六邊形

的數量

第一層(頂層)：1 個五邊形

第二層：5 個六邊形

第三層：10 個五邊形

第四層：5 個六邊形

第五層(底層)：1 個五邊形

共

12

個五邊形和

10

個六邊形

珠珠數

五邊形有

5

顆珠，

六邊形有

6

顆珠，

而且每顆珠都會被

共用一次

。

所以

珠珠數＝（5×12+6×10）÷2＝60(顆)

三角形數量

(連接處)

第一層：

5

個三角形

第二層：

5

個三角形

第三層：

10

個三角形

第四層：

10

個三角形

第五層：

5

個三角形

第六層：

5

個三角形

共

40

個三角形

11

二

二、

、

、尤拉公式的套用

尤拉公式的套用

串珠造型本身也是一種多面體的組合，因此我們參考多面體的數學資料中發現「所

有的多面體都會符合尤拉公式

尤拉公式

尤拉公式」

，即以下：

稜邊數

稜邊數(E)

(E)

(E) ＋

＋

＋ 2

2

2 ＝

＝

＝頂點數

頂點數

頂點數(V)

(V)

(V) ＋

＋

＋面數

面數

面數(F)

(F)

我們嘗試根據研究二中的各種立體造型，分析五邊形和六邊形的面數、三角形(連接處)

個數、珠珠個數後，套用尤拉公式，竟然可以成立。只是一些名詞必須轉換：

尤拉公式中的

稜邊數

(E)

(E) ＝

＝

＝串珠中的

串珠中的

珠數

頂點數

((((V

V

V)))) ＝

＝

＝串珠中的

串珠中的

連接處

((((三角形

三角形

三角形))))

因此公式改寫如下：

尤拉公式

尤拉公式→

→

→ 稜邊數

稜邊數

稜邊數(E)

(E)

(E) ＋

＋

＋ 2

2

2 ＝

＝

＝頂點數

頂點數

頂點數(V)

(V)

(V) ＋

＋

＋面數

面數

面數(F)

(F)

串

珠

珠→

→

珠

珠數

數

＋

＋ 2

2

2 ＝

＝

連接處

＋

面數

我們將上述串珠成品整理如下表，完全符合公式。

面數

多面體

珠珠數

連接處

五邊形

六邊形

總面數

公式：

珠數

珠數＋

＋

＋ 2

2

2＝

＝

＝連接處

連接處

連接處＋

＋

＋面數

面數

五邊形球體

30

20

12

0

12

30＋2＝20＋12

增加 5 個六邊形

45

30

12

5

17

45＋2＝30＋17

增加 10 個六邊形

60

40

12

10

22

60＋2＝40＋22

五邊形球體

增加 5 個六邊形

增加 10 個六邊形

12

三

三、

、

、繼續

繼續

繼續增加六邊形的數量

增加六邊形的數量

增加六邊形的數量，

，

，球體變成

球體變成

球體變成柱體

柱體

柱體。

。

((((一

一

一))))觀察成品

觀察成品

由研究一得知，六邊形構成的串珠會變

六邊形構成的串珠會變

六邊形構成的串珠會變成平面

成平面

成平面，

，

，所以如果增加六邊形的數量

所以如果增加六邊形的數量

所以如果增加六邊形的數量，

，

就可以使原本的球體拉長

就可以使原本的球體拉長，

，

，變成

變成

變成柱體

柱體

柱體。

((((二

二

二))))分析

分析

1.擴充五邊形球體的六邊形之所以是以

擴充五邊形球體的六邊形之所以是以

5555

的倍數增加

的倍數增加，我們觀察到是以

延伸出來的連接

處

有幾個而定。例如下圖中，每一層會有 5 個連接處，所以每增加一層，就是增加 5

個六邊形。

13

2.我們計算出珠數

計算出珠數

計算出珠數、

、

、連接處

連接處

連接處、

、

、面數

面數

面數，

，

，可以套用尤拉公式

可以套用尤拉公式

可以套用尤拉公式。

。

面數

珠珠數

連接處

五邊形

六邊形

總面數

公式

珠數

珠數＋

＋

＋ 2

2

2＝

＝

＝連接處

連接處

連接處＋

＋

＋面數

面數

30

20

12

0000

12

30

30＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 20

20

20＋

＋

＋12

12

45

30

12

5555

17

45

45＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 30

30

30＋

＋

＋17

17

66660000

40

12

10

22

60

60＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 40

40

40＋

＋

＋22

22

75

50

12

15

27

75

75＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 50

50

50＋

＋

＋27

27

90

60

12

20

32

90

90＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 60

60

60＋

＋

＋32

32

105

70

12

25

37

105

105＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 70

70

70＋

＋

＋37

37

120

80

12

30

42

120

120＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 80

80

80＋

＋

＋42

42

135

90

12

35

47

135

135＋

＋

＋2222＝

＝

＝ 90

90

90＋

＋

＋47

47

150

100

12

40

52

150

150＋

＋

＋2222＝

＝

＝100

100

100＋

＋

＋52

52

165

110

12

45

57

165

165＋

＋

＋2222＝

＝

＝110

110

110＋

＋

＋57

57

180

120

12

50

62

180

180＋

＋

＋2222＝

＝

＝120

120

120＋

＋

＋62

62

14

研究

研究四

四

四：

：

：串珠產生立體三面直角

串珠產生立體三面直角

義工媽媽教導我們沙發造型的串珠，觀察到轉角處像是一個三面的直角，但真正的角

度為何？要如何證明？這引發我們研究立體三面直角中的問題。

我們先串簡單的盒子造型，再仔細觀察轉角處發現，它是由 3 個四邊形和 1 個三角形

構成一半的立方八面體。但是珠珠是圓球體，很難用眼睛觀察珠與珠的角度，所以改用組

合立體模型片，老師教我們畢氏定理，利用畢氏定理證明出直角。

沙發照片

盒子

3 個四邊形和 1 個三角形

立方八面體(一半)

證明過程如下

證明過程如下：

：

想法

想法：

：

：求出

求出

求出圖四-1 中△

△

△ABC

ABC

ABC 各邊長

各邊長

各邊長，

，

，如果

如果

如果 AB

2

＋

＋ AC

2

＝

＝ BC

2

，

能

能符合畢氏定理

符合畢氏定理

符合畢氏定理，

，

，則

則

則∠

∠

∠A

A

A＝

＝

＝90

90

90°°°°。

。

設立體模型的邊長為 1

(一)求 BC 長度?

BC 是六邊形的對角線，

設立體模型的邊長為 1，

所以 BC ＝2 (圖四-2)

(二)求 AB 、 AC 長度?

AB 、 AC 是正方形的對角線

由畢氏定理算出斜邊 AB ＝ AC ＝ 2 (圖四-3)

(三) AB 、 AC 、 BC 符合畢氏定理嗎?

AB

2

＝ AC

2

＝2

BC

2

＝2

2

＝4

AB

2

＋ AC

2

＝2＋2＝4

BC

2

＝4

AB

2

＋ AC

2

＝ BC

2

，符合畢氏定理，所以∠A＝90°。

由證明得知

由證明得知，

，

，沙發或盒子的造型

沙發或盒子的造型

沙發或盒子的造型轉角處確實是

轉角處確實是

轉角處確實是直角

直角

直角。

。

圖四-1

圖四-2

圖四-3

15

陸

陸、

、

、結論

結論

我們身邊常可以看到美麗的串珠作品，甚至手工藝店、網路、書籍也教大家如何串出美

麗的作品，但是卻未見有關串珠的數學研究，我們進行了二年時間的探索，從串珠作品探討

其中的數學原理。結論如下：

研究一：

相同大小的珠珠，由

「點→線→面」的操作方式串成平面

，若

以某顆珠為中心點，

其周圍角度和是 360°的有：四邊形

四邊形

四邊形＋

＋

＋四邊形

四邊形

四邊形、

、

、六邊形

六邊形

六邊形＋

＋

＋三角形

三角形

三角形，這些串法可以形

成平面；而其他的組合會使平面拱起，甚至七邊形以上的串法就會造成凹凸不平。

研究二：五邊形組合的「二十面十二面體」是最常見的造型，增加四邊形

四邊形

四邊形或六邊形

六邊形

六邊形可以擴

充五邊形球體。使用六邊形比四邊形更節省珠珠的使用數量，所以串珠中最常見

的就是增加六邊形組合來擴大變形。

研究三：增加六邊形擴大球體時，其中五邊形仍然維持 12 面，六邊形會以 5 的倍數增加。

而且串珠作品只要進行名詞轉換，也符合尤拉公式：

珠珠數

珠珠數((((稜邊數

稜邊數

稜邊數)))) ＋

＋

＋２

２

２＝

＝

＝三角形連接處

三角形連接處

三角形連接處((((頂點數

頂點數

頂點數)))) ＋

＋

＋面數

面數

面數。

。

研究四：利用四邊形再加上一個三角形的串法，就可以形成一個立體的三面直角，以畢氏

定理檢驗，證實確定為直角。

柒

柒、

、

、參考資料

參考資料

王麗芳(民 88)。串珠方程式

串珠方程式

串珠方程式。台北縣：民勝文化。

葉偉文譯(民 93 年)。典雅的幾何。頁 137-139。台北市：天下遠見。

萊昂哈德·尤拉 - 維基百科，自由的百科全書。民國 98 年 6 月 23 日取自

http://zh.wikipedia.org/w/index.php 。

16

附件

我們進行串珠的研究已經二年，其實不止只有上述的研究，還有其他的研究內容，我們

放在附件提供參考。

※

※串珠與

串珠與

串珠與「

「

「一筆畫

一筆畫

一筆畫」

」

」原理之間的關係

原理之間的關係

串珠的線只有一條，卻可以將珠珠連接起來，所以我們猜測這與「一筆畫」原理有關，

因此深入探討。

一

一、

、

、介紹

介紹

介紹「

「

「一筆畫

一筆畫

一筆畫」

」

」原理

原理

原理：

：

數學家尤拉提出，交於點的線如果是兩條或四條，那個點就稱為偶數點；交於點的線

如果是三條或五條，那個點就稱為奇數點。

一個圖形包括 3 個以上的奇數點，這個圖形就無法以一筆畫完成，所以一個圖形是否

能用一筆畫完成與奇數點數目有關，奇數點必定等於 2 或完全沒有。

組合情形:

1.圖形由偶數點組成，一定可以一筆畫完成，畫的時候可以任一偶數點為起點，最後仍

會回到這一點。

2.只有二個奇數點的圖形，其餘為偶數點，一定可以一筆畫完成，畫的時候必須以一個

奇數點為起點，以另一個奇數點為終點。

二

二、

、

、觀察偶數點的串珠成品

觀察偶數點的串珠成品

觀察偶數點的串珠成品：

：

四邊形球(4)

五邊形球(4)

KITTY 頭(4)

一串(2)

蟹老闆(底部)(4)

彩虹魚(4)

17

三

三、

、

、分析

分析

1.幾乎所有的串珠成品，交會處都是偶數點，不是 2、就是 4，並沒有奇數點。

2.串珠只由一條線串成，但沒有重複串珠的情形，所以完全符合一筆畫原理。

四

四、

、

、特殊情況

特殊情況

(一)以下作品是以同一條線，但是

重覆穿過珠珠，不符合一筆畫「不能重覆走」的條件

。

同一條線穿過下面銅色小珠後，必須繞過外側再穿回

綠珠，所以

重覆穿過珠珠。

1.由最下面的黃珠(第 1 顆)開始串，當最後一顆是綠

珠，它會連接到第 1 顆黃珠後，只是形成一個平

面，所以對綠珠而言，仍是偶數點(2)。

2.再

重覆將線穿過別的黃色珠

，才能將綠色珠固定在

黃色 3 顆珠的上方。

(二)我們發現有些串珠作品

出現奇數點

，但是這些作品是

採用另外

加線的方式完成的

。

（如右圖所示）

18

※

立體串珠球體中面和邊的角度

我們發現串珠成品並非是正多面體，大多是由二種以上的正多邊形所組合而成的立體造

型，而且通常含有三角形的存在。因此，我們嘗試將三角形＋三角形、三角形＋四方形、三

角形＋五邊形等組合，串成簡單的立體造型，分析邊與邊的角度、面與面之間的角度。

我們利用電腦軟體找到以下這些串珠造型在數學上的名稱，並且電腦軟體可以看到展開

圖和透視圖，有助於分析角度，我們再以 Phtoimpact 加上中線或角度數據來呈現報告。

探究一

探究一：

：

：邊與邊的角度

邊與邊的角度

我們發現串珠多面體的造型中，是正多邊形＋三角形的組合，因此分析邊與邊的角度很

簡單，只要計算多邊形的內角即可。但是，我們也發現串珠造型的中線(稱為立體中線)，也會

形成一個多邊形，所以，以下針對這二種進行分析：

一

一、

、

、平面形狀為三角形

平面形狀為三角形

平面形狀為三角形：

：

：三角錐體

三角錐體

串珠

柏拉圖四面體

邊與邊的角度

因為邊線都是三角形的邊，所以

邊與邊的角度是 60 度。

二

二、

、

、平面形狀為三角形

平面形狀為三角形

平面形狀為三角形：

：

：立體菱形

立體菱形

邊與邊的角度

串珠

八面體網格球

展開圖

立體中線

因為邊線都是三角形的邊，

所以邊與邊的角度是 60 度。

中間有一個正方形，

所以是 90 度(橘線)。

19

三

三、

、

、平面形狀為三角形和正方形

平面形狀為三角形和正方形

平面形狀為三角形和正方形：

：

：立方八面體

立方八面體

邊與邊的角度

串珠

立方八面體

展開圖

立體中線

平面形狀有三角形、

正方形二種，所以邊與邊的角

度分別有 60 度、90 度。

中間六邊形，

所以是 120 度(紅線)。

四

四、

、

、平面形狀為三角形和五邊形

平面形狀為三角形和五邊形

平面形狀為三角形和五邊形：

：

：二十面十二面體

二十面十二面體

邊與邊的角度(3 種)

串珠二十面十二面體

展開圖

立體中線

半球

1.三角形：60 度(綠線)

2.五邊形：108 度(紅線)

3.正 10 邊形：計算得知一個

角為 144 度(藍線)

20

探究二

探究二：

：

：面與面的角度

面與面的角度

串珠多面體中大多是正多邊形＋三角形的組合，所以求相鄰面與面之間的角度，先畫二

個平面的中線，測量二個平面的中線的夾角，但是，因為都不是很特殊的角度，所以只能使

用立體模形片拼出相同的造型後，以量角器及尺測量 10 次，取平均值，以得知面與面的角度。

一

一、

、

、平面形狀為三角形

平面形狀為三角形

平面形狀為三角形：

：

：三角錐體

三角錐體

二

二、

、

、平面形狀為三角形

平面形狀為三角形

平面形狀為三角形：

：

：立體菱形

立體菱形

串珠

(柏拉圖四面體)

面與面的角度

串珠

八面體網格球

面與面的角度

A 面和 B 面之間面與面

的角度是 70 度。

A 面和 B 面之間面與面

的角度是 110 度。

三

三、

、

、平面形狀為三角形和正方形

平面形狀為三角形和正方形

平面形狀為三角形和正方形：

：

：立體菱形

立體菱形

立體菱形((((立方八面體

立方八面體

立方八面體))))

面的形狀

串珠照片

模型圖

面與面的角度

三角形與四邊形

125 度

四

四、

、

、平面形狀為三角形和五邊形

平面形狀為三角形和五邊形

平面形狀為三角形和五邊形：

：

：圓球形

圓球形

圓球形（

（

（二十面十二面體

二十面十二面體

二十面十二面體）

）

面的形狀

串珠照片

模型圖

面與面的角度

三角形與五邊形

145 度

【評語】

080407

1、能由串珠球體中發掘出相關的幾何概念，並察覺其與尤

拉公式相關式，進而利用這個定理推算出製作各種成品造型

所需的珠數，立意頗佳，是個很道地的生活數學，惟數學的

內容方面可以再予以深化。

2、作者從不顯眼處察覺到立體角，並利用替代的模型片以

畢氏定理來驗證其角度，充分展現觀察的敏銳度及科學探究

的精神。